(精选)实验二 数值方法计算积分
MATLAB数值分析实验二(复合梯形、辛普森和龙贝格求积,以及二重积分计算等)
佛山科学技术学院实验报告课程名称_______________ 数值分析________________________实验项目_______________ 数值积分____________________专业班级机械工程姓名余红杰学号2111505010 指导教师陈剑成绩日期月日一、实验目的b1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分 a f ""X的近似值；2、学会复合梯形、复合Simpson和龙贝格求积分公式的编程与应用。
3、探索二重积分.11 f （x, y）dxdy在矩形区域D = ｛（ x, y） | a _ x _ b, c _ y _ d｝的数值D积分方法。
二、实验要求（1）按照题目要求完成实验内容；（2）写出相应的Matlab程序；（3）给出实验结果（可以用表格展示实验结果）；（4）分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
（5）写出实验报告。
三、实验步骤1、用不同数值方法计算积xln xdx =-- 0 9（1）取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。
（2）用龙贝格求积计算完成问题（1 ）。
2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分..e"y dxdy，其中积分区域D二｛0乞x岂1,0岂y乞1｝。
1.%lnt_t.m复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)%复化梯形求积公式% x1,x2为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。
%样点矩阵及其函数值：x = lin space(x1,x2 ,n+1);y = f(x);m = len gth(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零: y(1) = 0;y(m) = 0;%算岀区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*o nes(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfun cti on y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run 11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = In t_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = In t_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%l nt_s.mfun cti on F = In t_s(x1,x2 ,n)%复化梯形求积公式% x1,x2区间，分为n个区间。
数值计算方法数值积分共77页文档
数值计算方法数值积分
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
数值积分方法
数值积分方法
数值积分方法是解决数学问题的一种有效的技术。
它与其它数值技术不同，可以求出定义积分的鲁棒解决方案。
积分解决方案可以用来代替无法求解的积分操作，从而使得在积分分析中也能简化求解过程。
数值积分方法有多种，其中最常见的是数值微积分方法，也被称为精确积分法或有界积分法。
这种方法的核心思想是使用数值技术来模拟定义积分的过程，从而进行函数的数值求解。
常见的积分模拟技术有多元积分法、梯形公式法和拉格朗日积分法等，这些技术都可以用计算机实现，可以用来解决各种复杂的积分问题。
数值积分方法在科学研究、工程技术和统计分析等方面都有重要的应用。
其中，科学研究主要是利用数值积分方法进行数值模拟，模拟自然界中的物理、化学过程，从而分析其复杂的时空行为；工程技术则主要利用数值积分方法来解决力学、热力学等方面的计算问题；在统计分析方面，数值积分方法可以用来求解分布函数的统计量和拟合曲线的系数。
此外，在应用数值积分方法时，还应注意几点：首先，在使用数值积分方法前，需要对待求解函数进行适当的数值化处理，以保证得到准确的结果；其次，在求解定义积分时，需注意所用的数值计算方法及精度，以保证可以得到正确而又精确的结果；最后，要根据具体求解问题选择合适的数值积分方法，从而提高求解的效率。
综上所述，数值积分方法是一种有效的数值技术，在科学研究、
工程技术和统计分析等方面具有重要意义。
该技术的应用需要首先对函数进行数值化处理，然后根据具体问题，选择恰当的数值积分方法和计算精度，以确保定义积分的精确求解。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析实验二 数值积分1
数值分析实验二 数值积分组号 班级 学号 姓名 分数一：实验目的1、掌握用复化Simpson 公式，复化梯形求积公式计算积分的方法。
2、掌握用龙贝格Romberg 积分公式计算积分的方法。
3、掌握用高斯-勒让德Gauss-Legendre 公式计算积分法。
4、通过实例了解三种方法的联系与区别,并会利用适当的方法计算某函数在某个区间的积分值。
二：实验内容及基本知识介绍（1）复化Simpson 求积公式的原理：将区间[a,b]分为n 等分，在每个子区间[1,k k x x +]上采用辛普森公式：()()462b a a b s f a f f b -⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若记122k k x h x +=+，则得： ()()()()()111110246k kn bx ax k n k k k n k I f x dx f x dxh f x f x f x R f +-=-++===⎡⎤⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑⎰⎰∑。
则可以记得：()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑-=-=+-=++1010211012124646n k n k k k n k k k k n b f x f x f a f h x f x f x f h S，称为复化辛普森求积公式。
其余项为：()()()()4141,,1802n n n kkkk k h h R f I S f x x ηη-+=⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭∑，此外，由于nS中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定。
（2）复化梯形求积公式的原理：将区间[a,b]分为n 等分，分点,,2,1,0,,n k nab h kh a x k =-=+=在每个子区间[]()1,,1,0,1-=+n k x x k k 上采用梯形公式()()[]b f a f a b T +-=2计算，则得：()()()()[]()f R x f x f h dx x f dx x f I n n k k k n k x x bak k++===∑∑⎰⎰-=+-=+11121，记：()()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=∑∑-=-=+`11101222n k k n k k k n b f x f a f h x f x f h T ，称为复化梯形公式。
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
数值微分与数值积分的计算方法
数值微分与数值积分的计算方法数值微分和数值积分是数学中一种非常重要的方法。
在实际生活和科学研究中，很多情况下，需要对函数进行微分或积分的计算。
然而，由于很多函数的解析式很难或者根本不能求出，因此需要采用一些数值方法来近似计算。
本文将讨论数值微分和数值积分的计算方法。
一、数值微分在数值计算中，常常会遇到需要求函数在某个点处的导数的问题。
这时候，我们就需要用到数值微分。
数值微分主要有三种方法：前向差分、后向差分和中心差分。
（一）前向差分前向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点和向前一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$$其中，$h$表示步长。
（二）后向差分后向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点和向后一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$$（三）中心差分中心差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。
其基本思想是求函数在当前点左右两个点的平均斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}$$对于三种方法，其截断误差的阶分别为 $\mathcal{O}(h)$、$\mathcal{O}(h)$ 和 $\mathcal{O}(h^2)$。
二、数值积分数值积分是指用数值方法对某个函数在某一区间上的定积分进行近似计算的过程。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法和龙贝格法。
下面将分别介绍这三种方法。
（一）梯形法梯形法是一种比较简单的数值积分方法。
其基本思想是将积分区间分成若干个小梯形，然后求出这些小梯形面积的和。
具体地，假设我们要对函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上进行积分，将该区间分成 $n$ 个小区间，步长为 $h=(b-a)/n$，则梯形法的计算公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$$梯形法的截断误差的阶为 $\mathcal{O}(h^2)$。
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实验二数值方法计算积分
学号：姓名：指导教师：实验目的
1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法；
2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用；
3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积
方法计算积分的原理。
一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94.
(1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关
于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小
的h，使得精度不能再被改善？
(2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。
二、实现实验
1、流程图：
下图是龙贝格算法框图：
2、 算法：
(1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h
2∑-=1
1
)](n k xk f ；
(2) 复合辛普森公式：Sn=6h
[f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1
)2/1(n k x f ]；
以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。
(3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式
1、Sn=
34T2n-31
Tn 2、 Cn=1516S2n-151
Sn
3、 Rn=6364C2n-631
Cn 从而实现算法。
3、 程序设计
（1）、复合梯形法：
function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n;
fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.
001*h);
t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));
（2）、复合辛普森法：
function t=natrapz(fname,a,b,n)
h=(b-a)/n;
fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0
.001*h);
f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2));
（3）龙贝格法：
function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps)
if(nargin==3) eps=1.0e-4;
end; M=1; tol=10; k=0;
T=zeros(1,1); h=b-a;
T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),
b));
while tol>eps
k=k+1;
h=h/2;
Q=0;
for i=1:M
x=a+h*(2*i-1);
Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);
end
T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;
M=2*M;
for j=1:k
T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1); end
tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));
end
I=T(k+1,k+1);
step=k;
4、实验结果；（1）复合梯形法
(2)、复合辛普森法结果：
(3)龙贝格法结果
四．总结由结果（1）、（2）可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即n 越大、h 越小时，积分精度越高。
实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。
又两个相应的关于h 的误
差（余项）Rn(f)=-12a b -h 2f ’’(η)；Rn(f)=-180
a
b -(h/2)4f (4)( η),其中η属于
a 到
b 。
可知h 愈小，余项愈小，从而积分精度越高。
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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