视导材料：直线与圆锥曲线位置关系教师版资料

课题：直线与圆锥曲线活动一：基础检测：1.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为 3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是________.2.椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________. 3.过点（0，－12）的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________. 答案：1.43 2. .±34 3.－14活动二：探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系例1（南通市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），且△12BF F 是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记△2ABF ，△2BCF 的面积分别为1S ，2S .若122S S =，求直线l 的斜率.训练1.（2015届南京、盐城市高三二模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为22，直线l ：x y 21=与椭圆E 相交于A ，B 两点，52=AB ，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N .（1）求b a ,的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.解（1）因为e ＝c a ＝22，所以c 2＝12a 2，即a 2－b 2＝12a 2，所以a 2＝2b 2.…… 2分故椭圆方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限.由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 22b 2＋y 2b2＝1，解得A （233b ，33b ）.又AB ＝25，所以OA ＝5，即43b 2＋13b 2＝5，解得b 2＝3.故a ＝6，b ＝3. ……………… 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1，从而A （2，1），B （－2，－1）.①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C （x 0，y 0）， 显然k 1≠k 2.从而k 1 ·k CB ＝y 0－1x 0－2·y 0＋1x 0＋2＝y 02－1x 02－4＝3(1－x 026)－1x 02－4＝2－x 022x 02－4＝－12.所以k CB ＝－12k 1. …………………… 8分同理k DB ＝－12k 2. 于是直线AD 的方程为y －1＝k 2（x －2），直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1（x ＋2）.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为（4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1）. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为（4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1）.………… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1 ＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1.即直线MN 的斜率为定值－1. ……… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C （2，－1）.仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－12k 2.此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2（x ＋2），它们交点M （2，－1－2k 2）.BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2（x－2），它们交点N （2－2k 2，－1），从而k MN ＝－1也成立.由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1. ………… 16分方法二：由（1）知，椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1，从而A （2，1），B （－2，－1）.①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2.显然k 1≠k 2.直线AC 的方程y －1＝k 1（x －2），即y ＝k 1x ＋（1－2k 1）.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋(1－2k 1)，x 26＋y 23＝1得（1＋2k 12）x 2＋4k 1（1－2k 1）x ＋2（4k 12－4k 1－2）＝0.设点C 的坐标为（x 1，y 1），则2·x 1＝2(4k 12－4k 1－2)1＋2k 12，从而x 1＝4k 12－4k 1－22k 12＋1.所以C （4k 12－4k 1－22k 12＋1，－2k 12－4k 1＋12k 12＋1）.又B （－2，－1），所以k BC ＝－2k 12－4k 1＋12k 12＋1＋14k 12－4k 1－22k 12＋1＋2＝－12k 1. ……………… 8分所以直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1（x ＋2）.又直线AD 的方程为y －1＝k 2（x －2）. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为（4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1）. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为（4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1）.……… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1 ＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1.即直线MN 的斜率为定值－1. ……………… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C （2，－1）.仍然设DA 的斜率为k 2，则由①知k DB ＝－12k 2.此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2（x ＋2），它们交点M （2，－1－2k 2）.BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2（x－2），它们交点N （2－2k 2，－1），从而k MN ＝－1也成立.由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1. ……………… 16分探究点二 中点弦问题【例2】过点P （－1，1）作直线交椭圆 x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在直线的方程.[审题视点] 已知弦的中点，常采用“点差法”求弦所在直线的斜率，进而求得直线的方程. 解 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② 由①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－2×(－1)4×2＝12.∴线段AB 所在直线的方程为y －1＝12（x ＋1），即x －2y ＋3＝0.中点弦问题常用“点差法”求解.在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中，以P （x 0，y 0）为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P （x 0，y 0）为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，以P （x 0，y 0）为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.【训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程. 解 设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入椭圆方程并作差得a （x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋b （y 1＋y 2）（y 1－y 2）＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程（a ＋b ）x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.探究点三 定值（定点）问题【例3】已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）且x 1＋x 2＝2.（1）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；（2）设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.[审题视点] （1）由x 1＋x 2＝2可得PQ 的中点横坐标，引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解.（2）建立PB 关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值.（1）证明 ∵P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 2＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N （1，n ），∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n （x －1），∴（2x －1）n －y ＝0，则直线恒过一个定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. （2）解 由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B ⎝⎛⎭⎫－12，0. ∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0，2]，PB 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋122＋y 21＝12（x 1＋1）2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为（0，±2）时，PB min ＝32.以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值.而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.【训练3】（2011·四川）如图过点C （0，1）的椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A （a ，0）、B （－a ，0）.过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .（1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值.（1）解 由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为（3，0），此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫837，－17. 故CD ＝⎝⎛⎭⎫837－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167.（2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1（k ≠0且k ≠12）.代入椭圆方程化简得（4k 2＋1）x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1.又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k （x ＋2），联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为（－4k ，2k ＋1）.又P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·（－4k ，2k ＋1）＝4. 故OP →·OQ →为定值.活动三：自主检测： 一、填空题1.（2009·重庆）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为________.2.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为________.3.已知直线y ＝k （x ＋2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点.若F A ＝2FB ，则k ＝ .4.（2011·镇江模拟）若直线y ＝kx ＋1（k ∈R ）与焦点在x 轴上的椭圆 x 25 ＋ y 2t ＝1恒有公共点，则t 的范围是 .5.（2010·全国Ⅱ）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，过M （1，0）且斜率为 3 的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.自主检测： 1. y ＝x 2.2 解析由抛物线y 2＝4x 知直线l 2为其准线，焦点为F （1，0）.由抛物线的定义可知动点P 到直线l 2的距离与P 到焦点F （1，0）的距离相等，所以P 到直线l 1的距离与P 到焦点F （1，0）的距离之和的最小值为焦点F （1，0）到直线l 1的距离（如图），则d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.3.2234.[1，5）5.2 二、解答题：6.（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F ：22(3)5x y +=.（1）设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=u u u u r u u u u r，求点M 的坐标；（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值.（第6题）TQPF 'HO yxF7.（2010·天津）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为（－a ，0），点Q （0，y 0）在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值. 解 （1）由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，ab ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.（4分）（2）由（1）可知A （－2，0），且直线l 的斜率必存在.设B 点的坐标为（x 1，y 1），直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x ＋2）.于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得（1＋4k 2）x 2＋16k 2x ＋（16k 2－4）＝0. 由根与系数的关系，得－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，所以x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为（－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2）.（6分） 以下分两种情况讨论：①当k ＝0时，点B 的坐标是（2，0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝（－2，－y 0），QB →＝（2，－y 0）.由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.（8分）②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k （x ＋8k 21＋4k 2）.令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2. 由QA →＝（－2，－y 0），QB →＝（x 1，y 1－y 0）， QA →·QB →＝－2x 1－y 0（y 1－y 0）＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2（4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2）＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.所以y 0＝±2145.（13分） 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.（14分）8.（2015年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线分别交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 和AB 于点P ，C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.解：（1）22c e a ==，又23a c c+=，解得：2,1,1a c b ===，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=.（2）设AB 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)22x x y y C ++. 其中1,2x x 满足方程2222(1)20x k x +--=，即2222(12)4220k x k x k +-+-=.故22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，即2222(,)1212k k C k k -++.而1PC k k=-，所以 PC 方程为：22212()1212k k y x k k k =---++.故22252,(12)x y k P P k k +=-=+. 根据题意，224PC AB =， 22222222225(2)[]12(12)12k k k PC k k k k +=++++++22222126()12k k k k ++=+， 2221212(1)[()4]AB k x x x x =++-22228(1)(1)(12)k k k +=++， 所以2222222222(1)(26)32(1)(1)(12)(12)k k k k k k k +++=+++，得到21k =，所以1k =±. 故直线AB 的方程为1y x =-或者1y x =-+.9.（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1F （－1，0）和右焦点2F （1，0），且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =.（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围。