人教版,数学,高一,必修一13-1函数的单调性
人教版必修1函数的单调性教学设计课件.ppt
概念生成——单调性的定义
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 : I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意
记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了有趣
的数据：
艾宾浩斯的记忆遗忘曲线
y 记忆的数量(百分数)
100
80
60 40
20
o
1
2
3 天数 t
问题：观察下图中各个函数的图像，你能说说 它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？
概念生成——“形”的观察
y 4 3 2 1 -2 -1 O 1 2 x
概念生成——“形”的观察
例1下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y f (x) , 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单 调区间上，它是增函数还是减函数?
概念生成——“数”的抽象
探究一： 根据函数的定义，当一个函数在某一 区间上是单调递增（或递减）时，相应的，自变 量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？
•若函数在定义域的某个区间D上函数值随着自变量的 _增__大__而__增__大__,则函数在D上是增函数； •若函数在定义域的某个区间D上函数值随着自变量的 _增__大__而__减__小__，则函数在D上是减函数.
x1
f
x2 时，都有 (x) 在区间 D
上是减函数．
如果函数 y f (x) 在区间 D上是增函数或减 函数，那么就说函数 y f (x) 在这一区间具有
（严格的）单调性，区间 D叫做 y f (x) 的单 调区间．
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
人教版高中数学必修一课件：1.3.1函数的单调性 (共23张PPT)
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
例2. 写出单调区间
数形结合的思想
y
1 y x
(1) y
能不能说y
1 ( x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x 是单调减函数? 不能
y kx b(k 0) 在(-∞,+∞) y kx b(k 0) 在(∞,+∞)是 是减函数 o x o x 增函数
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
x
x1 O x2 设函数y=f(x)的定义域为I, 上的任意两个自变量 x1,x2 当 x1<x2 时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 那么就说在f(x)这个区间D上是单调 增函数，D称为f(x)的单调 增 区间.
如果对于属于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量 x1,x2 当x1<x2时，都有 f (x1 )
f ( x1 ) f ( x2 )
2
这时我们就说函数 f ( x) x 在区间（0，+∞）上是增函数
x …0 f(x) … 0
1 2 3 4 … 1 4 9 16 …
在区间D内
y
在区间D内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
x
函数的单调性 教案-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
函数的单调性【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．【教学过程】一、新知初探条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M⊆A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2）都有f（x1）＜f（x2）结论y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增）y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）图示思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小，通常规定x1＞x2；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y＝1x在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝1x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．最大值最小值条件一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D 都有f（x）≤f（x0）都有f（x）≥f（x0）结论称f（x）的最大值为f（x0），记作f max ＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点称f（x）的最小值为f（x0），记作f min＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点二、初试身手1．函数y＝f（x）的图像如图所示，其增区间是（）A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]答案：C解析：由题图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1]，选C．2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A．y＝－1x B．y＝xC．y＝x2D．y＝1－x答案：D解析：函数y ＝1－x 在区间（0，＋∞）上是减函数，其余函数在（0，＋∞）上均为增函数，故选D ．3．函数y ＝f （x ）在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2D ．12，2答案：C解析：由题图可知，f （x ）的最大值为f （1）＝2，f （x ）的最小值为f （－2）＝－1．4．函数f （x ）＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 答案：（－∞，1]解析：因为f （x ）＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f （x ）的单调减区间是（－∞，1]． 三、合作探究类型1：定义法证明（判断）函数的单调性例1：证明：函数f （x ）＝x ＋1x 在（0，1）上是减函数． 思路点拨：设元任取x 1，x 2∈0，1且x 1＞x 2―→作差：fx 1－fx 2――→变形判号：fx 2>fx 1――→结论减函数证明：设x 1，x 2是区间（0，1）上的任意两个实数，且x 1＞x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝（x 1－x 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝（x 1－x 2）＋x 2－x 1x 1x 2＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2，∵0<x 2<x 1<1，∴x 1－x 2＞0，0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴x1－x2－1＋x1x2x1x2＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）＝x＋1x在（0，1）上是减函数．规律方法利用定义证明函数单调性的步骤1．取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2．2．作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．3．定号：确定f（x1）－f（x2）的符号．4．结论：根据f（x1）－f（x2）的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．跟踪训练1．证明：函数y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．证明：设x1>x2>－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1．∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴x1－x2x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．类型2：求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－1x；（2）f（x）＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥1，5－x，x<1；（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．解：（1）函数f（x）＝－1x的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．规律方法求函数单调区间的方法1．利用已知函数的单调性求函数的单调区间． 2．利用函数图像求函数的单调区间．提醒：1．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．2．理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系． 跟踪训练2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．解：函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． 解：先画出f （x ）＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－（x 2－2x －3），－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为（－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞）．类型3：函数单调性的应用 探究问题1．若函数f （x ）是其定义域上的增函数，且f （a ）>f （b ），则a ，b 满足什么关系．如果函数f （x ）是减函数呢？提示：若函数f （x ）是其定义域上的增函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a >b ；若函数f （x ）是其定义域上的减函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a <b ．2．决定二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．例3：（1）若函数f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）已知函数y ＝f （x ）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），则实数x 的取值范围为________．思路点拨：（1）分析fx 的对称轴与区间的关系数形结合，建立关于a 的不等式――→求a 的范围（2）f2x －3>f5x －6f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，建立关于x 的不等式――→求x 的范围答案：（1）（－∞，－4] （2）（－∞，1）解析：（1）∵f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3的图像开口向下，要使f （x ）在（－∞，3]上是增函数，只需－（a ＋1）≥3，即a ≤－4．∴实数a 的取值范围为（－∞，－4]．（2）∵f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），∴2x －3>5x －6，即x <1．∴实数x 的取值范围为（－∞，1）．]母题探究1．（变条件）若本例（1）的函数f （x ）在（1，2）上是单调函数，求a 的取值范围．解：由题意可知－（a ＋1）≤1或－（a ＋1）≥2，即a ≤－3或a ≥－2． 所以a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）．2．（变条件）若本例（2）的函数f （x ）是定义在（0，＋∞）上的减函数，求x 的取值范围．解：由题意可知，⎩⎨⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32．∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．规律方法函数单调性的应用1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．类型4：求函数的最值（值域）例4：已知函数f （x ）＝2x ＋1x ＋1．（1）判断函数在区间（－1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：（1）f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2（x 1＋1）（x 2＋1），因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f （x 1）－f （x 2）<0⇒f （x 1）<f （x 2）， 所以f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数． （2）由（1）知f （x ）在[2，4]上单调递增，所以f （x ）的最小值为f （2）＝2×2＋12＋1＝53， 最大值为f （4）＝2×4＋14＋1＝95． 规律方法1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤 （1）判断函数的单调性．（2）利用单调性求出最大（小）值． 2．函数的最大（小）值与单调性的关系（1）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，则f （x ）在区间[a ，b ]上的最小（大）值是f （a ），最大（小）值是f （b ）．（2）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，在区间[b ，c ]上是减（增）函数，则f （x ）在区间[a ，c ]上的最大（小）值是f （b ），最小（大）值是f （a ）与f （c ）中较小（大）的一个．提醒：（1）求最值勿忘求定义域．（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．跟踪训练4．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x ≤1，1x ，x >1，求（1）f （x ）的最大值、最小值；（2）f （x ）的最值点．解：（1）作出函数f （x ）的图像（如图）．由图像可知，当x ＝1时，f （x ）取最大值为f （1）＝1．当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，故f （x ）的最大值为1，最小值为0．（2）f （x ）的最大值点为x 0＝1，最小值点为x 0＝0． 四、课堂小结1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：（1）图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值； （2）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识． 五、当堂达标1．思考辨析（1）若函数y ＝f （x ）在定义域上有f （1）<f （2），则函数y ＝f （x ）是增函数．（ ）（2）若函数y ＝f （x ）在区间[1，3]上是减函数，则函数y ＝f （x ）的单调递减区间是[1，3]．（ ）（3）任何函数都有最大（小）值．（ ）（4）函数f （x ）在[a ，b ]上的最值一定是f （a ）（或f （b ））．（ ） 答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2．下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（ ）A ．y ＝1x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝1－2x D ．y ＝（2x －1）2答案：B解析：对于A ，y ＝1x 在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝（2x －1）2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B ．3．函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0，3]的值域为________． 答案：[－1，3]解析：∵函数y ＝x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]．4．试用函数单调性的定义证明：f （x ）＝2xx －1在（1，＋∞）上是减函数．证明：f （x ）＝2＋2x －1，设x 1>x 2>1，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1－1－2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）．因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0， 所以f （x 1）<f （x 2），所以f （x ）在（1，＋∞）上是减函数．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点） 2．掌握判断函数单调性的充要条件．（重点、难点）通过利用函数f （x ）的平均变化证明f （x ）在I 上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探 1．直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1为直线AB 的斜率；（若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，当Δx ≠0时，斜率记为ΔyΔx ），当x 1＝x 2时，称直线AB 的斜率不存在．（2）作用：直线AB 的斜率反映了直线相对于x 轴的倾斜程度． 2．平均变化率与函数单调性若I 是函数y ＝f （x ）的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I 且x 1≠x 2，记y 1＝f（x 1），y 2＝f （x 2），Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，则 （1）y ＝f （x ）在I 上是增函数的充要条件是ΔyΔx ＞0在I 上恒成立；（2）y ＝f （x ）在I 上是减函数的充要条件是ΔyΔx ＜0在I 上恒成立．当x 1≠x 2时，称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数y ＝f （x ）在区间[x 1，x 2]（x 1＜x 2时）或[x 2，x 1]（x 1＞x 2时）上的平均变化率．通常称Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义（1）把位移s 看成时间t 的函数s ＝s （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1．（2）把速度v 看成时间t 的函数v ＝v （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均加速度，即a ＝v （t 2）－v （t 1）t 2－t 1．二、初试身手1．已知点A （1，0），B （－1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A ．－12B ．12C ．－2D ．2 答案：A解析：直线AB 的斜率1－0－1－1＝－12．2．如图，函数y ＝f （x ）在[1，3]上的平均变化率为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：B解析：Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－33－1＝－1．3．一次函数y ＝－2x ＋3在R 上是________函数．（填“增”或“减”） 答案：减解析：任取x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2．∴y 1＝－2x 1＋3，y 2＝－2x 2＋3，∴Δy Δx ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2＜0，故y ＝－2x ＋3在R 上是减函数．4．已知函数f （x ）＝2x 2＋3x －5，当x 1＝4，且Δx ＝1时，求Δy 的平均变化率Δy Δx ．解：∵f（x）＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f（x2）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2x21＋3x1－5）＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx．当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21．则ΔyΔx＝211＝21．三、合作探究类型1：平均变化率的计算例1：一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．思路点拨：由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．解：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨胀率ΔSΔt＝200（a＋a2t）＋100a2Δt．规律方法1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．2．求平均变化率只需要三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．跟踪训练1．路灯距地面8m，一个身高为1．6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；（2）求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率．解：（1）如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝0．25x．（2）84m/min＝1．4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0．25×1．4t＝0．35t，所以10 s内平均变化率ΔyΔt＝3.510＝0．35（m/s），即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0．35m/s．类型2：利用平均变化率证明函数的单调性例2：若函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数且f（x）＞0，求证：g＝1f（x）在I上为减函数．思路点拨：由y＝f（x）在I上为增函数的充要条件可得ΔyΔx＞0，再证ΔgΔx＜0即可．证明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），∵函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，ΔyΔx＞0，∴Δg＝g（x2）－g（x2）＝1f（x2）－1f（x1）＝f（x1）－f（x2）f（x1）f（x2）．又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，∴Δg＜0，∴ΔgΔx＜0，故g＝1f（x）在I上为减函数．规律方法单调函数的运算性质若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则：1．f（x）与f（x）＋C （C为常数）具有相同的单调性．2．f（x）与a·f（x），当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性．3．当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与1f（x）具有相反的单调性．（4f（x）g（x）f（x）＋g（x）f（x）－g（x）增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数跟踪训练2．已知函数f（x）＝1－3x＋2，x∈[3，5]，判断函数f（x）的单调性，并证明．解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f（x）＝1－3x＋2为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－3x2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1－3x1＋2＝3x1＋2－3x2＋2＝3（x2－x1）（x1＋2）（x2＋2）．∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，∴Δy＞0，∴ΔyΔx＞0，故函数f（x）在[3，5]上是增函数．类型3：二次函数的单调性最值问题探究问题1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．例3：已知函数f （x ）＝x 2－ax ＋1，求f （x ）在[0，1]上的最大值． 思路点拨：解：因为函数f （x ）＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a2， 当a 2≤12，即a ≤1时，f （x ）的最大值为f （1）＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f （x ）的最大值为f （0）＝1． 母题探究1．在题设条件不变的情况下，求f （x ）在[0，1]上的最小值．解：（1）当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，1]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （0）＝1．（2）当a2≥1，即a ≥2时，f （x ）在[0，1]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （1）＝2－a ．（3）当0<a 2<1，即0<a <2时，f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递增，故f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f （x ）在[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值．解：当a ＝1时，f （x ）＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f （x ）在其上是增函数，∴f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f （x ）在其上是减函数，∴f （x ）min ＝f （t ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34．规律方法二次函数在闭区间上的最值设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大对称轴与区间的关系－b2a＜m＜n，即－b2a∈（－∞，m）m＜－b2a＜n，即－b2a∈（m，n）m＜n＜－b2a，即－b2a∈（n，＋∞）图像最值f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f⎝⎛⎭⎪⎫－b2af（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）四、课堂小结1．平均变化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解（1）函数f（x）应在x1，x2处有定义；（2）x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；（3）注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy ＝f（x1）－f（x2）；（4）平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．2．判断函数y＝f（x）在I上单调性的充要条件（1）y＝f（x）在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx＞0恒成立；（2）y＝f（x）在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立．五、当堂达标1．思考辨析（1）一次函数y＝ax＋b（a≠0）从x1到x2的平均变化率为a．（）（2）函数y＝f（x）的平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1的几何意义是过函数y＝f（x）图像上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））所在直线的斜率．（）（3）在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意两点的平均变化率都相等．（）答案：（1）√（2）√（3）×2．函数f（x）＝x从1到4的平均变化率为（）A．13B．12C．1 D．3 答案：A解析：Δy＝4－1＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为ΔyΔx＝13．3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h（t），则函数h（t）的图像可能是（）答案：B解析：由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．求该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．解：该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－3（1＋Δt）2－8＋3×12Δt＝（－6－3Δt）（m/s）．。
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
人教版数学必修一1.3.1《函数的单调性》 课件
过程分析
结合的能力.
评价分析
教材分析 3.情感目标：
学情分析
目标分析 教法分析
让学生积极参与观察、分析、探索等课堂 教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会 成功的喜悦，以此激发求知欲望。
领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的 方法去观察分析事物。
过程分析
评价分析
教材分析 教学重点难点：
学情分析 目标分析
t (小时)
-2
问题：1.全天的最高、最低气温分别是多少？气
温随着时间的变化趋势？
2.提出问题，引出困惑。 需要从新的高度来认识函数. 对此提出进一步学习函数单 调性的必要性。（板书课题）
2.如何用数学语言说明随着t的变化,T的变化趋势
(二)提出直观定义
(1) y x 1
y
观察下列函数的图象变化
评价分析
教材分析
教学方法：问答式和探究式
学情分析 目标分析 教法分析
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距 离，激发学生主体参与的积极性．
过程分析 评价分析
教材分析
学情分析 目标分析
2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教 师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范 书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的 推理，并成功地完成书面表达．
重点： 函数单调性的概念与判断
教法分析
难点： 利用函数单调性定义或者图象判
断简单函数的单调性
过程分析
评价分析
教材分析 重点难点解决策略：
学情分析 目标分析 教法分析 过程分析
本课在设计上采用了由特殊到一般、 从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比划归的思想，层层 深入；通过学生自主观察，分析、探究得 单调性概念,同时,借助多媒体的直观演示， 帮助学生理解，并通过范例后的变式训练 和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合， 从而突出重点、突破难点．
最新人教版高一数学必修1第一章“单调性与最大(小)值”教学重难点分析
《单调性与最大（小）值》教学重难点分析
本节的教学重点是函数的单调性.教学的难点是领悟函数单调性的本质、用定义证明函数的单调性．
函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点．。
人教版高中数学必修一 1.3.1 函数的单调性 教学设计(一等奖)
教学设计中学数学教学设计：§1.3.《函数的单调性》教学设计一【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力.二【学生分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
三【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.四【教学重点与难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．五【学法与教学用具】1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
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一、函数单调性的概念
y
y
y f(x)
f(x)在这一区间 y f(x) 具有单调性
f (x1) f (x2)
f (x1) f (x2)
O
x1 x2 x
O
x1 x2
x
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
1、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就 说函数f (x)在区间D上是增函数
定义法：利用定义判定(证明)函数的增、减性——
①设元②作差③变形④判号⑤定论
例2.物 理 学 的 玻p 意k(耳 k为定 正律 常 )告数 诉 我 , V
对 于 一 定,当 量体 的 V减 积 气少 体 ,压 时强 p将 增. 大 试 用 函 数 的 明单 之 . 调 性 证
评 :函 数 f ( x ) = k ( k 为 正 常 数 ) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上 是 减 函 数 . x
则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2), 由x1<x2,得x1-x2<0 , 于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)=3x+2在R上是增函数.
回顾
想一想：通过增减函数概念的形成过程， 你学到了什么
增函数、减函数定义，函数单调区间的有关概念； 证明或判断函数的单调性.
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间 上， y=f(x)是增函数还是减函数。
评：判断函数单调性的一种方法——图象法：
从左向右看图象的升降情况
说明：图象法不能用来证明函数的单调性，只 适用于判断单调性，常用于选择、填空题、以 及解答题中的粗判单调性问题。
注意：函数是增函数还是减函数，是对定义域内
某个区间而言的.有的函数在一些区间上是 增函数，而在另一些区间上不是增函数.例 如函数 y=x2 ，当x∈[0,+ ∞)时是增函数， 当x∈(- ∞,0)时是减函数，即单调区间是定 义域的子集。同时当一个函数有多个增区
间（或减区间）时，单调区间之间不用
“或”与“U”，而用逗号一一列出。
义域内的上升与下降情况。
y=x2
y=x3
y= -3x+2
在（-∞， +∞）上函数值y 在（-∞，0)上函数值y随x
随着x的增大而减小。
增大而减少，在[0， +∞）上 y随x的增大而增大。
在 （-∞ ， +∞ )上 函 数 值 y随 x 增 大 而 增 大 。
这种函数在其定义域的某一个区间上函数 值随着自变量的增大而增大的性质我们称之为 “函数在这个区间上是增函数”；函数在其定 义域的某一个区间上函数值随着自变量的增大 而减少的性质我们称之为“函数在这个区间上 是减函数”.
(D)y2x2x1
x1 x 0 x 1 x 0
________
常见函数的单调性：
(1)一次函数y=kx+b k>0时(-∞,+∞)增; k<0时(-∞,+∞)减
(2)反比例函数 y k x
k0 时 (,0 )(,0,)减 ; k0时 (,0 )(,0,) 增
(3)二次函数y=ax2+bx+c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量说的函值 数xf 1(，x)x在2，区当间x1D<x上2时是，减都函有数f(x1)>f(x2),那么就
注：增、减函数是相对于定义域内某个区间而言的。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） 单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．
1.3 函数的基本性质 之单调性 第1课时
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如 果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握 了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质， 如函数在什么时候递增或递减，有没有最大值 和最小值，函数图象有什么特征等，是非常重 要的。
y=x2
y=x3
y= -3x+2
问题：观察上面函数的图象，并指出在定
对函数单调性的理解
1).在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是 f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2));
2).函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部性质;
3).学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是 双向使用的.
4.判断符号
5.得出结论
思考
若二次函数 f(x)x2ax4的单调增区
间是 ,1 ， 则a的取值情况是 （ ）
A. a 2B. a 2C. a 2D. a 2
变式1
若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1
上单调递增，求a的取值范围。
(A)y2x1 (B)y3x21
(C ) y 2 x
议一议：增减函数的图象有什么特征？ 如何根据图象划分函数的单调区间？
考一考：怎样用定义证明函数的单调性？ （证明的基本步骤）
小结:
1.函数单调性的定义：
2.函数单调性的判定：
1.图象法 2.定义法
一般步骤：
1.任取这个区间上的两个自变 量x1, x2, 且x1< x2
2.作差（作商）比较 f(x1), f(x2) 3.变形
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个 单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中y=f(x)的减区间有：[-5, -2), [1,3) 增区间有[-2,1), [3, 5]
a0时 (, b]减 ,[b,) 增 ;a0时 (, b]增 ,[b,) 减
2a 2a
2a 2a
评 :函 数 f ( x ) = k ( k 为 正 常 数 ) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上 是 减 函 数 . x
思 考 : 函 数 f ( x ) = k ( k 为 正 常 数 ) 在 定 义 域 上 是 减 函 数 吗 ? x
练习. 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数. 证明：设x1,x2∈R，且x1<x2，