三角比与数列知识梳理

三角比的概念、诱导公式与二倍解公式1、象限角与轴线角：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角（坐标轴上的角）。

第一、二、三、四象限角分别可表示为：{}{}{}(){}36090360,,90360180360,180360270360,,2703603601,k k k Z k k k Z k k k Z k k k Z αααααααα<<+∈+<<+∈+<<+∈+<<+∈角α终边在x 轴的非负半轴上时可表示为：α＝360°k,k ∈Z, 角α终边在y 轴的非负半轴上时可表示为：α＝360°k+90°,k ∈Z,在x 轴的非正方向上，在y 轴的非正方向上可类似表示。

2、终边相同的角的表示： {}360,S k k Z ββα==+∙∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表成角α与整数个周角的和。

任意两个终边相同的角之差必是360°的整数倍。

相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

已知α是第几象限的角，如何确定,*n N nα∈所在象限的角的常用方法有二：（1）分类讨论法，先根据α的范围用整数k 把,*n N nα∈的范围表示出来，再对k 分n 种情况讨论。

（2）几何法：把各象限均先n 等分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则α原来是第几象限对应的标号即为,*n N nα∈的终边所在的区域。

3、角度制与弧度制的换算：00000180,10.01745,180180157.35718'rad rad rad rad πππ==≈⎛⎫=≈= ⎪⎝⎭弧度制下的弧长与扇形面积计算公式：211,22l r S lr r αα=== 注：在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。

如：()0245k k Z π+∈是错误的。

4、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，α的终边上任意一点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离是0r =>，那么()()()()()()sin ,cos ,tan ,0,cot 0,sec 0,csc 0y x y xx y r r x yr rx y x y αααααα===≠=≠=≠=≠正割余割5、象限角的三角函数符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。

根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。

余弦三、四增，一、二减。

正切只有增区间，余切只有减区间。

强调象限的区间内。

()()()512sin cos 224433tan cot ,,,424k k k k k k k Z ππααααααπαππππααπππππ>>>⇔+<<+⎛⎫⎛⎫>⇔++++∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意：为锐角时，tan sin ,6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

如：()()()()33sin cos ,sin cos ,cos sin ,cos sin ,2222sin sin ,sin sin ,cos cos ,tan tan x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫±=±=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=+=-±=-+= ()()()sin sin ,cos ,tan tan ,sin ,t tan 222222A B cos ,tan cot 2ABC A B C CosB A C C A B A B C B A C C A B SinCos Cos co ABC SinA B A Bπ∆=+=-+=-++++===∆>⇒>>中要注意：锐角中，＋熟记关系式：sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、同角三角函数的基本关系式：平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==，一般采用“切化弦”，但已知一个角的正切值，求正弦与余弦有关的代数式常采用“弦化切”。

8、特殊角的三角函数值：（见下表）9、两角和公式：()()()()()(),cos cos cos sin sin ,sin sin cos cos sin tan tan ,tan 1tan tan C S T αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ±±±±=±=±±±=对第三式的αβ的值使等式两边有意义。

注意公式的变形应用如：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±10、辅助角公式：()sin cos ,tan b a b a αααϕϕ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：32-)；（2）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=(答：－2)；11、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式如：巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），()()()()000,459045,2,2222αβαβαααββαααααβαβ+-=+-=+±=-=⨯=++-如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：322）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______；（答：43(1)55y x x =<<，注意：隐含y ＞0. 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。

12、二倍角的正弦、余弦、正切二倍角公式：222222sin 22sin cos ,cos 2cossin 2cos 112sin 2tan 1tan tan 2,cot 21tan 2tan αααααααααααααα==-=-=--==-降幂公式与升幂公式：22221cos 2cos 1cos 22cos 21cos 2sin ,1cos 22sin 2αααααααα+=⇔+=-=⇔-=半角公式：cos 2α=⎪⎪⎩sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+13、万能公式：()()()22222tan1tan 2tan2221sin ,2cos ,3tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-cos sin 22θθ=±三角函数的图象和性质1、正弦函数、余弦函数的图象和性质：(1)五点法作图：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

常选取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点。

(2)正弦函数y=sinx 是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈。

余弦函数y=cosx 是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈。

练习：已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （3）函数)co s (sin co s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈）；（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。

（答：6k (k Z )πθπ=+∈）(4)、单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减。

y=cosx 在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。

如：函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 2、()sin y A x ϖϕ=+的图象：(1)振幅、周期、频率、相位、初相：函数()[)()sin ,0,0,0y A x x A ϖϕϖ=+∈+∞，表示一个振动量时，A 表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T ＝2πϖ，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数12f T ϖπ==称为振动的频率，x ϖϕ+称为相位，x ＝0时的相位ϕ叫初相。

(2)、函数()sin y A x ϖϕ=+＋K 的图象与y=sinx 的图象的关系：把y=sinx 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）， y=sin （x+ϕ） 把y=sin （x+ϕ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的1ϖ， y=sin （ϖx+ϕ）注意：此处初相不变。

把y=sin （ϖx+ϕ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍， ()sin y A x ϖϕ=+把()sin y A x ϖϕ=+的图象横坐标不变，纵坐标向上（k >0）或向下（k <0）， ()sin y A x ϖϕ=++K 若由y=sin （ϖx ）得到y=sin （ϖx+ϕ）的图象，则向左或向右平移ϕϖ个单位。

注意：()y=sin x+ y=sin x+ϕϖϕϖϖ⎛⎫ ⎪⎝⎭应先化为 3、正切函数y=tanx 的性质： （1）定义域：,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，。

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值。

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。

（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈，无对称轴。