数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结

一、 等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2

()()前项和n S a a n na

n n d n n =

+=+

-112

12

{}性质：是等差数列a n

（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+

{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--

（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则

；421

21

a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52

a S an bn a

b n n n ?=+

0的二次函数）

{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2

项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11

000

0><≥≤??

?+

当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000

<>≤≥??

?+

{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123

（由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331

()又·，∴S a a a

a 3132

22

33113

=

+===

()()∴·S a a n a a n n

n n n =

+=+=+?? ???=-121221312

18 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：

（为常数，），a a q q q a a q n n

n n +-=≠=1

110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2

()

前项和：（要注意）n S na q a q q

q n n ==--≠???

??

111111()()!

{}性质：是等比数列a n

（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111

3、求差（商）法

{}如：满足

……a a a a n n n n 12121

2251122+++=+<>

解：n a a ==?+=11

22151411时，，∴

n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121

2

215

212211时，……

<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21

，∴a n n n n ==≥???+1412

21()()

［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=

=++1115

3

4 （注意到代入得：

a S S S S n n n n n

+++=-=111

4

{}又，∴是等比数列，S S S n n n

144==

n a S S n n n n ≥=-==--23411

时，……·

4、叠乘法

{}例如：数列中，，

，求a a a a n

n a n n n n 1131

==++ 解：

a a a a a a n n a a n

n n n 213211122311

·……·……，∴-=-= 又，∴a a n

n 133

== 5、等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?

??

?

?

??-22321321时，…………两边相加，得：()()()

a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 11

1132==+≥--

()

（）a n n

=

-12

31 6、等比型递推公式

()

a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1

()?=+--a ca c x n n 11

令，∴()c x d x d c -==-11

∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d

c c n +

-???

???+-11

1

∴·a d c a d c c n n +

-=+-?? ???-1111

∴a a d c c d

c n n =+-??

???-

--1111

［练习］

{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+

（）a n n =-?? ?

?

?

+-84311

7、倒数法

例如：，，求a a a a a n n n n 11122==

++ ，由已知得：1

221211a a a a n n n n

+=+=+

∴

111

21

a a n n +-

= ， ∴??????

=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴

=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21

三、 求数列前n 项和的常用方法 1、公式法：等差、等比前n 项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 {}

如：是公差为的等差数列，求

a d a a n k k k n

1

1

1+=∑ 解：()()由

·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?

?

?≠

∴11111111a a d a a k k k n

k

k k n

+=+=∑∑=-?? ?

??

=

-??

???+-?? ???++-?? ?????????=

-?? ?

?

?++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……

［练习］

求和：…………111211231123+

++++++++++n

（…………，）a S n n n ===-+21

1

3、错位相减法：

{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n

{}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -

如：……S x x x nx

n n =+++++<>-123412

3

1

()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341

()<>-<>-=++++--121121

：……x S x x x

nx n n n ()()

x S x x nx x

n

n

n

≠=---

-11112

时，

()x S n n n n ==++++=

+112312

时，……

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++???

?

?--121121…………相加

()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］

已知，则f x x x

f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ???=22

11212313414

（由f x f x x x x x x x x ()+?? ?

??=

++?? ??

?+?? ?

?

?=+++=1111111112

2

2

2222 ∴原式=++?? ?????????++?? ?????????++?? ??

??????

?f f f f f f f ()()()()1212313414

=

+++=12111312）

例1设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }前8项的和为（ ）

A ．128

B ．80

C ．64

D ．56 （福建卷第3题）

略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的和为64，故应选C ．

例2 已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）

A ．64

B ．81

C ．128

D ．243 （全国Ⅰ卷第7题）

答案：A ．

例3 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）

A ．30

B ．45

C ．90

D ．186 （北京卷第7题）

略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项和等于90，故答案是C ．

例4 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．7 （广东卷第4题） 略解：∵422412,3S S S d d --===,故选B. 例5在数列{}n a 中，542

n a n =-

，212n a a a an bn +++=+L ，*

n N ∈,其中,a b 为常数，则ab = ．（安徽卷第15题）

答案：－1．

例6 在数列{}n a 中，12a =， 11

ln(1)n n a a n

+=++，则n a =（ ）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++（江西卷第5题） 答案：A ．

例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________．（四川卷第16题）

此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口．

略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，

()2331n n a a n --=+-+，K ，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相

加，得()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++????L ()()11112

2

n n n n n -+=++=+，故

应填

(1)

2

n n ++1． 例8 若(x +12x

)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4

项的系数为

( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 (重庆卷第10题)

答案：B ．

使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差

异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．

例9 已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y =x 2

+1

的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2n a

，求证：

b n ·b n +2＜b 2n +1. （福建卷第20题）

略解：（Ⅰ）由已知，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2

+…

+2+1=2n

-1．∵. b n ?b n +2-b 21+n =(2n

-1)(2n +2

-1)-(2n+1

-1)2

= -2n

＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 21+n ．

对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：

∵ b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n

)(b n +1+2n +1

)- b 21+n =2n +1

·b n +1-2n

·b n +1-2n

·2n +1

＝2n

（b n +1-2n +1

）

=2n （b n +2n -2n +1）=2n （b n -2n ）=…=2n （b 1-2）=-2n <0，∴ b n -b n +2

n +1.

例10 在数列{}n a 中，11a =，122n

n n a a +=+．（Ⅰ）设1

2

n

n n a b -=

．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（全国Ⅰ卷第19题）

略解：（Ⅰ）1n n b b +-=1122n n n n a a +--=122n n n

a a +-=22n

n =1，则{}n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．

（Ⅱ）

0121

1222(1)22n n n S n n --=+++-+g g L g g ，12121222(1)22n n

n S n n -=+++-+g g L g g ．

两

式

相

减

，

得

01121222221n n n n n S n n -=----=-+g g L g =(1)21n n -+．

对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．

例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．

例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，

{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)求和：12111

n

S S S +++L ．（江西卷第19题）

略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有222

33(6)64,

(93)960.

S b d q S b d q =+=??

=+=?解之，得2,8;d q =??=?或6,

540.

3d q ?=-????=??

(舍去，为什么)故132(1)21,8n n n

a n n

b -=+-=+=．

（

Ⅱ

）

35(21)(2)

n S n n n =++++=+L ，∴

121111111

132435(2)

n S S S n n +++=++++???+L L 111111

(1232435

=-+-+-+11)2n n +-+L 1111

(1)2212

n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++．

“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．

使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．

例12 设数列{}n a 的前n 项和为22n n n S a =-，（Ⅰ）求14,a a ；（Ⅱ）证明： {}

12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式．（四川卷第21题）

略解：（Ⅰ）∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，

1

1122n n n a S +++=+

1

12n n n a S ++=++得，

1

12n n n a S ++=+ ①∴

222122226,8a S S =+=+==，

3332328216,24

a S S =+=+==，

443240a S =+=．

（Ⅱ）由题设和①式知，()()

11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴

{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅲ）

()()()21112211222222n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+L ()112n n -=+?

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．

例13 数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos

)4sin ,1,2,3,,22

n n n n a a n ππ+=++=L （I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=+++L ，

242k k T a a a =+++L ， 2(2k

k k

S W k T =

∈+)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．（湖南卷第20题）

略解：（I ）

2

2

311(1cos )4sin 44,

2

2

a a a π

π

=++=+=22422(1cos )4sin 24,

a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *

-∈=时，

2

2212121(21)(21)[1cos

]4sin 4,22

k k k k k a a a ππ

+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当

2()n k k N *∈=时，2

2222222(1cos )4sin 2,22

k k k k k a a a ππ

+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k

k a =故数列{}n a 的通项公式为

22(1),21(),2,2().

n n n n k k N a n k k N **?-=-∈?=??=∈?

（II ）由（I ）知，

1321

k k S a a a -=+++L =

044(1)2(1),k k k +++-=-L 242k k

T a a a =+++L 2122222,k k +++=-L 1

2(1)

.22

k k k k S k k W T --=

=+ 于是，10,W =21,W =33,2W =

43,2W =55,4W =61516

W =. 下面证明: 当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，

11(1)(1)(3)0,222

k k k k k

k k k k k k W W +-+---=

-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时，1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.

数列知识点回顾

第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．

2．数列的通项公式

一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a n =)(n f 来表示，就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。若给出数列{ a n }的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ a n }的前n 项和记为S n ，则S n 与

a n 的关系是：a n =???≥-=-2.1,

11n S S n S n n

。

第二部分：等差数列

1．等差数列定义的几个特点：

⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a n －a 1-n (n ≥2)或d = a 1+n －a n (n ∈N +)．

⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n ∈N +，a n －a 1-n = d (n ≥2)或d = a 1+n －a n 都成立．一般采用的形式为：

① 当n ≥2时，有a n －a 1-n = d (d 为常数)． ②当n +∈N 时，有a 1+n －a n = d (d 为常数)． ③当n ≥2时，有a 1+n －a n = a n －a 1-n 成立．

若判断数列{ a n }不是等差数列，只需有a 3－a 2≠a 2－a 1即可． 2．等差中项

若a 、A 、b 成等差数列，即A=2b a +，则A 是a 与b 的等差中项；若A=2b

a +，则a 、A 、

b 成等差数列，故A=2

b

a +是a 、A 、

b 成等差数列，的充要条件。由于

a n =

2

1

1-++n n a a ，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 3．等差数列的基本性质

⑴公差为d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d ．

⑵公差为d 的等差数列，各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列，其公差

为kd ．

⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列，则{ a n ±b n }与{ka n ＋b}(k 、b 为非零常数)也是等差数列．

⑷对任何m 、n +∈N ，在等差数列{ a n }中有：a n = a m + (n －m)d ，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．

⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．

⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比

n m m

l --=λ（λ≠－1），则a m =λ

λ++1n l a a ． 4．等差数列前n 项和公式S n =

2)(1n a a n +与S n = na 1＋

d n n 2

)

1(-的比较

5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质

⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．

⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，

偶

奇S S =

1

+n n

a a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，

偶

奇S S =

1

-n n

． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2．

⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则

n n

T S =2

1

21

++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=m

n m

n -+(a －b)． ⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2

d x + (a 1－

2

d

)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．

第三部分：等比数列 1．正确理解等比数列的含义

⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =

n

n a a 1+ (n +∈N )

或q =

1

-n n

a a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0．

⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，n

n a a 1+= q ；或1-n n a a

= q (n

≥2)都成立．

2．等比中项与等差中项的主要区别

如果G 是a 与b 的等比中项，那么

a G =G

b

，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，只要两个同号．．

的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=

2

b

a +，其中，a 与

b 没有同号．．

的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．

3．等比数列的基本性质

⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．

⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．

⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．

⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{

n

a 1

}也是

等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{

q

1

}． ⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．

⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n

·q 2

＞0．

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．

⑻当q ＞1且a 1＞0或0＜q ＜1且a 1＜0时，等比数列为递增数列；当a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q ＜0时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前n 项和公式S n 的基本性质

⑴如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n 项和公式是

S n =?

?

?

??≠--=.1,1)1(,1,11时当时当q q q a q na n

也就是说，公比为q 的等比数列的前n 项和公式是q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n 项和公式，必须要弄清公比q 是可能等于1还是必不等于1，如果q 可能等于1，则需分q = 1和q ≠1进行讨论．

⑵当已知a 1，q ，n 时，用公式S n =q q a n --1)1(1；当已知a 1，q ，a n 时，用

公式S n =

q

q

a a n --11．

⑶若S n 是以q 为公比的等比数列，则有S m n += S m ＋qS n ．⑵

⑷若数列{ a n }为等比数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等比数

列．

⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S

1与T

1

，次

n项和与次n项积分别为S

2与T

2

，最后n项和与n项积分别为S

3

与T

3

，则S

1

，

S

2，S

3

成等比数列，T

1

，T

2

，T

3

亦成等比数列．

二、难点突破

1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一

定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．

3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a

n }与a

n

是不同的，前者表示

数列a

1，a

2

，…，a

n

，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a

1

，a

2

，…，

a

n ，…，与集合{ a

1

，a

2

，…，a

n

，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序

排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．

4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：

⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq2-， aq1-，a，aq，aq2，…；

⑵对连续偶数个项同号

．．的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq3-， aq1-，aq，aq3，…．

5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究

等比数列时，要注意a

n ≠0，因为当a

n

= 0时，虽有a2

n

= a

1

-

n

·a

1

+

n

成立，但

{a

n

}不是等比数列，即“b2= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条

件；对比等差数列{a n }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．

6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．

数列基础知识定时练习题

（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ ）

（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）23 2．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，8174=+a a ，则20642a a a a ++++Λ的值为（ ） （A ）40 （B ）45 （C ）50 （D ）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套

书的年份是（ ）

（A ）1997 （B ）1999 （C ）2001 （D ）2003 4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且

中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）

（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 5．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是

a 1与

b 1的等差中项，则22b

a b

a ++的值是（ ） （A ）1或2

1

（B ）1或2

1- （C ）1或31 （D ）1或3

1- 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是（ ）

（A ）3

8

>d （B ）3

8≤3

8≤3 7．如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）

（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-9

8．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ）

9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）

C. 3

D. 2

10．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（ ）

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

11．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = （ ） A. 81 B. 27527 C. 3 D. 243 12． 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）

(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=

（ ）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

15．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12

＝ （ ）

（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1

9

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列}{n a 中，1

1++=

n n a n ，且9=n S ，则=n ．

2．等比数列}{n a 的前三项为x ，22+x ，33+x ，则=4a

3． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a Λ21 . 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ . 5．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知{}n a 为等比数列，32420

2,3

a a a =+=

，求{}n a 的通项式。 2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17,?n S S a ===求通项公式

3． 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2

+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .

4．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

1. A

解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B

解：在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B.

解：33025515

2051

1=???

?=+=+d d a d a ，故选C. 10. D 解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 解：因为数列｛a n ｝是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝ （a 2a 9）（a 3a 8）（a 4a 7）（a 5a 6）＝（a 1a 10）4

＝34

＝81，故选A

【解析】因数列{}n a 为等比，则1

2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，

则

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

【解析】{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则2

5a =，