苏教版2018年高考数学一轮复习 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用
一、填空题
1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位 【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π
2
的部分图象如图所示，则φ＝
3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π
6个单位长度，再把所得图象上
所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为
【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)
的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6(x ∈R)．
4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π
2图象上每一点的横坐标伸长为原
来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π
3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为
【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的
图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －
π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集
合为________．
【答案】 ⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ＝k π－π
3，k ∈Z
【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝
⎛⎭
⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经
过点⎝
⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．
6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－
g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3
，则φ＝
7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1
)
＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.
【答案】
3
2
【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3
＋φ＝0， 即－π
3
＋φ＝k π，k ∈Z ，
由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12
.
又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，
∴
x 1＋x 22＝π
12，即x 1＋x 2＝π
6
， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.
8．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π
2x
的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________． 【答案】 5
【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差1
4个
周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝ x 0＋1－x 0 2
＋ －1－1 2
＝ 5.
9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π
2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π
6＝________.
【答案】
2
2
10．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】14
3
【解析】依题意，x ＝π6＋
π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所
以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令
k ＝0，得ω＝143
.
二、解答题
11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π
2
的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x 0的值；
(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．
12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝
A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天
轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？ 解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π
3，
从而y ＝50sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3t ＋φ＋60.
由题设知t ＝0时y ＝10， 将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，
因此y ＝60－50cos 2π
3
t (t ≥0)．
(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π
3t >85，
即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π
3
，即1<t <2，
所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。