《空间向量与立体几何》单元测试题3
2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何》章节综合训练及答案解析
2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何》章节测试卷
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a =(1,,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是( )
A.-1
B.
C.1
D.-
2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是( )
A.a+b=b+a
B.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c)
D.b=λa
3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于(
)
A. B. C. D.
4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.不等边锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β( )
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《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)
《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-， 平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥． 故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ， 因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线， 所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________． 【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______． 【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________． 【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==， 所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-， 因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量， 则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=， 即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0）， 设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立， 此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即 取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值． 【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（ ）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。
空间向量与立体几何-单元测试-有答案
第三章空间向量与立体几何单元测试(时间:９０分钟满分：1２0分)第Ⅰ卷(选择题，共５0分)一、选择题：本大题共１０小题,每小题5分，共50分.1．以下四组向量中,互相平行的组数为()①a＝（２,2,1）,b＝(３，-2，-2);②a＝(8,4,-6),b=(4,2,-３）；③a＝(０,-1，１），b=(0,３,-3);④a=（-3,２,0),ｂ=（4,-3,３)A.１组ﻩB．2组Ｃ．3组ﻩD．4组解析:∵②中a＝2b，∴a∥b；③中ａ=－错误!ｂ,∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a|－｜b|=|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥ｂ,则存在唯一的实数λ,使ａ=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若错误!=2错误!－2错误!-错误!，则P,A,Ｂ，C四点共面；④若｛a,b,c｝为空间的一组基底,则{a+b，ｂ＋c，c+ａ｝构成空间的另一组基底;⑤｜(a·ｂ）·ｃ｜=｜a|·|b|·|c|.Ａ．２个ﻩB.3个C．4个ﻩD．5个解析：①|a|-|ｂ｜＝|a＋b｜⇒ａ与b共线,但a与b共线时｜a|－|b|＝|a+b|不一定成立,故不正确;②ｂ需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠１，由共面向量定理知,不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确.答案:Ｃ３.如图，已知四边形ＡBCD为矩形,PＡ⊥平面ABCD,连接ＡC,BD,ＰB，PC，PD,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（)A.错误!与错误!B．错误!与错误!C.错误!与错误!D.错误!与错误!解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ＡBCD的长、宽分别为a,b，P A长为ｃ,则Ａ(0,0,0),Ｂ(b,0，0）,Ｄ(0,ａ,０)，Ｃ（b,ａ，0)，P（0,0，c)．则错误!＝(b，a,－c),错误!＝（-b，a，0),错误!=(0，-a，0)，错误!＝(b,0,-ｃ),错误!＝（0,a,－c),错误!=(ｂ,0,0)，错误!=(0,0,－c）,错误!＝（-b,0，０).∴＼ｏ(PC,＼ｓ＼up1５(→）)·错误!=－b２＋a2不一定为0.错误!·错误!=０，错误!·错误!＝0，错误!·错误!=0.答案：A４.已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且ａ＝3e1+2ｅ2-e3,b＝e1＋2ｅ3，则（6a)·错误!等于()A．15 Ｂ.3C．-3 ﻩＤ．5解析:(6a）·错误!＝3a·b=３（3e1＋2ｅ2-ｅ3)·(ｅ1＋2e３)=9|ｅ1｜２-6|ｅ３|2＝3．答案：Ｂ５.如图,AＢ＝AC=BD＝1，AＢ⊂面α，AＣ⊥面α,BＤ⊥AＢ，BD与面α成30°角,则Ｃ、D间的距离为()A．1 B．2C.2ﻩD. 3解析：|错误!|２＝|错误!＋错误!＋错误!|2＝|错误!|2＋|错误!|2+｜错误!|２+２错误!·错误!+２错误!·错误!＋2错误!·错误!=1＋1＋1＋0+0+2×1×1×cos１20°=2.∴|错误!|=错误!.答案:Ｃ6.已知空间三点O(0,0,0),A（－1,1,0）,B(0,1,1）在直线OA上有一点H 满足ＢH⊥OＡ，则点Ｈ的坐标为( )A.(-2,2，0) Ｂ．(２,－2,０)Ｃ．错误!ﻩD.错误!解析：由错误!＝(-１,1，0)，且点H在直线OA上,可设H(-λ，λ,０),则错误!＝（-λ,λ-1，－1).又ＢＨ⊥OＡ,∴错误!·错误!=０，即（-λ,λ－１，－１)·(-1，1,0)＝０,即λ＋λ－1=0,解得λ=＼f(1,2）,∴H错误!.答案：Ｃ７.已知a＝(cosα,1,ｓinα)，b=(ｓinα，１,cosα)，则向量a＋ｂ与a-b的夹角是（)Ａ.90°Ｂ．60°C．３0°ﻩＤ．０°解析：（a+b)·（ａ－b)=a2－b２＝(cｏs２α＋sｉn2α+１)-(sin2α+1＋cｏs２α)=0，∴(a+b）⊥(ａ－b).答案：A8.已知E、Ｆ分别是棱长为１的正方体ＡＢCD-Ａ1B1Ｃ1D1的棱BC、ＣC1的中点,则截面AＥＦD１与底面ＡＢCＤ所成二面角的正弦值是( )A.错误!ﻩB.错误!C.错误!ﻩＤ.错误!解析：以Ｄ为坐标原点，以ＤA、ＤC、DD１分别为x轴、ｙ轴、z轴建立空间直角坐标系,如图．则A(1,0,0),E错误!，F错误!，D1(0，0,1)，ｌ所以错误! =(－1,0，1)，错误!＝错误!．设平面AEF Ｄ1的法向量为n ＝(ｘ，y ,z ），则错误!⇒错误!∴x ＝2y =z ．取ｙ＝1,则n ＝(2，1,2)，而平面A ＢC Ｄ的一个法向量为ｕ=(0，0，1）,∵ｃos 〈n ，ｕ〉=＼f （2,3),∴ｓi ｎ〈n ，u 〉＝53.答案:C9．在三棱锥P -A ＢC 中,△ABC 为等边三角形,P A ⊥平面ＡBC ,且P A ＝AB ,则二面角Ａ-ＰB -Ｃ的平面角的正切值为（ )A ．错误!B ．错误!C ．＼r(6)６ D.错误!解析:设P Ａ=AB =２，建立如图所示的空间直角坐标系.则B (0,2，0）,C (3，１,0),P (0，0,2),∴错误!=(0,－2,2)，ＢＣ＼s ＼u ｐ15(→)＝(错误!,-1,0)．设n ＝（x ,y ,z )是平面PBC 的一个法向量．则错误!即错误!令ｙ＝1，则x =错误! ,ｚ＝1.即n ＝错误!.易知m =(1,0,0)是平面P A Ｂ的一个法向量.则cos 〈m ,n 〉＝＼f(m·n ，｜m ||n ｜)＝错误!＝错误!.∴正切值tan 〈m ,n 〉=错误!.答案:A10.已知错误!＝（1,2,3)，错误!＝(2,１,2），错误!＝（1，１,2)，点Q 在直线ＯＰ上运动，则当错误!·错误!取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A.错误! ﻩＢ.错误!C.错误!D.错误!解析：∵Q 在OP 上,∴可设Q (x ,x,2x ）,则错误!=(１－ｘ,２-x ，3-2x ),＼o(QB ,→）=（2－x,1－x ，2－2ｘ)．∴错误!·错误!＝6ｘ2－1６x ＋１0，∴x =＼ｆ（4，3）时，QA →·错误!最小，这时Q 错误!.答案:C第Ⅱ卷（非选择题,共７0分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共２０分.１１.已知a ＝(3，－2,－３)，b ＝(－1,x －1,1),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，于是－1＜cos 〈ａ,b 〉<０，因此a·b <0，且ａ与b 的夹角不为π，即cos 〈ａ，b 〉≠－1.解得x ∈错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!12．如图所示,已知正四面体Ａ-ＢＣD中,AE=1４AB，CF=错误!CＤ，则直线ＤE和ＢＦ所成的角的余弦值为___＿＿_＿___.解析：ED→=错误!+错误!＝错误!错误!+错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!+错误!错误!,coｓ〈错误!,错误!〉＝错误!=错误!＝错误!.答案：４１313.已知a ＝(x,2,-4)，ｂ=(-1，y,3）,c =(1,-2，z ),且a ,ｂ,c 两两垂直，则(x ，ｙ，z )＝______＿__＿.解析:由题意知错误!解得x =－６4,y =－26,ｚ＝－１7．答案:(-６４，－26，-1７)14.已知空间四边形ＯABC ,如图所示，其对角线为OB 、ＡC ,Ｍ、N 分别为OA 、BC 的中点,点G 在线段MN 上，且错误!＝3错误!,现用基向量错误!、错误!、错误!表示向量错误!，并设错误!＝x ·错误!＋y ·错误!+z ·错误!，则x 、ｙ、z 的和为___＿＿＿____．解析：错误!=错误!＋错误!=错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!+错误!错误!=错误!错误!-错误!错误!＋错误!错误!+错误!错误!-错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!,∴x ＝18,y ＝38，z =38.∴x +y +z ＝错误!.答案:７８三、解答题：本大题共4小题,满分50分．15.(12分)已知ａ＝(1，2,-2).(1)求与a共线的单位向量b；(2)若a与单位向量c＝（0，m，ｎ)垂直，求m、ｎ的值．解：(1)设ｂ=(λ,２λ,-２λ），而b为单位向量,∴|ｂ|＝1，即λ2＋4λ2+4λ2＝9λ２＝１．∴λ=±错误!.(４分）∴b＝错误!或ｂ=错误!.(6分)(２)由题意，知错误!⇒错误!解得错误!或错误!(１2分)１6.(1２分）如下（左）图,在Rt△ＡBC中,∠C＝90°，BC=3,ＡＣ＝6，D,Ｅ分别为AC、AB上的点,且ＤE∥ＢC,ＤE＝2,将△ＡDE沿DＥ折起到△A１DE的位置,使A1C⊥CD,如下(右）图.(１)求证:Ａ１Ｃ⊥平面ＢＣDE;(2)若Ｍ是Ａ1D的中点,求ＣＭ与平面A1ＢＥ所成角的大小.解：(１)∵AC⊥BＣ，DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A１D，DE⊥ＣD，∴DE⊥平面A1DC.∴ＤE⊥A1C.又∵A1C⊥CＤ,∴A1C⊥平面BＣDＥ.(４分）（２)如图所示，以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-ｘyz,则A1(0,０,2＼r(３)),D(0,2，0）,M(0,1,＼ｒ(3))，B(3,０,0）,E(2，2,0)．设平面Ａ1BE的法向量为n=(x,y，z),则ｎ·错误!=０，ｎ·错误!=０.又错误!＝(３,０，-2错误!），错误!＝(-1,2,0）,∴错误!令ｙ=１，则x＝2,z=3，∴n＝(2,1，＼r（３))．设ＣＭ与平面A1BＥ所成的角为θ．∵错误!=(0，1,错误!),∴sinθ=｜cｏs〈ｎ，错误!〉|=|错误!|＝错误!=错误!.∴CM与平面A1BＥ所成角的大小为错误!.(１2分）17．（12分)如图,已知正方形ABCＤ和矩形ACEF所在的平面互相垂直,A Ｂ=２，ＡＦ=1,M是线段EＦ的中点.(1)求证：AM∥平面BDE;(2)试在线段AC上确定一点Ｐ,使得PF与CD所成的角是6０°.解：(1)证明:如图,建立空间直角坐标系．设ＡＣ∩ＢD＝N，连接NE，则N错误!,E(０,0，１),∴错误!=错误!.又A（＼ｒ(2),错误!,0),M错误!，∴错误!=错误!．∴错误!=错误!，且NE与AM不共线．∴NE∥AM．又ＮE⊂平面ＢDE，AM⊄平面BDＥ，∴AM∥平面BDE．(6分)(2)设P （t ,t ，0)(0≤ｔ≤＼ｒ(2）),则错误!＝(错误!－t ,错误!－t,１),错误!=(错误!,0,0).又∵＼o(P Ｆ,→)与错误!所成的角为6０°.错误!＝错误!，解之得ｔ=错误!,或t ＝错误!(舍去).故点P 为A Ｃ的中点．（1２分)18．（1４分)如图，在圆锥P Ｏ中，已知PO =错误!，⊙O 的直径ＡB ＝2,Ｃ是错误!的中点，D 为AC 的中点.（1）证明：平面PO Ｄ⊥平面P AC ;(2）求二面角B -P Ａ-C 的余弦值．解: （１)证明:如图所示，以O 为坐标原点，OB ，OC ,ＯＰ所在直线分别为x 轴,ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，则O （0,0，0)，Ａ(-1，０,0），Ｂ（1，０,0),C(0,1，0)，P(0，０，错误!),D错误!.设ｎ１=(x1，y１,z１)是平面PＯD的一个法向量，则由n１·错误!=0,n1·错误!＝0，得错误!(4分)∴z1=0,ｘ1＝y１．取ｙ1＝1,得n1=(１,1，0)．设ｎ2＝(ｘ2,y2，z２)是平面P AC的一个法向量,则由n2·错误!=0，n2·错误!＝0，得错误!∴x2=－＼r(2）z２，ｙ2=＼r（2)z2，取ｚ2＝1，得n2=(-2,２，1).∵n１·n2=（１，1，０)·(-2,错误!,1)＝0,∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面P AC.（８分)（2)∵y轴⊥平面ＰAB．∴平面P AB的一个法向量为n3=(0，1,0)．由（１）知,平面PＡC的一个法向量为ｎ2=（-错误!,错误!,1）.设向量ｎ2和n3的夹角为θ,则cosθ=错误!＝错误!＝错误!.由图可知，二面角B-PＡ-C的平面角与θ相等,∴二面角B-P A-C的余弦值为错误!．(14分)。
(常考题)人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．903．在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，1AB BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．34-B ．34-C ．34D ．344．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( )A ．1B ．5C ．﹣1D ．﹣55．两直线14127x y z -+==-和623511x y z +--==-的夹角的余弦是（ ） A ．2227-B ．2227C ．227D ．227-6．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,, )222B ．222(, , )333C ．111(, , )333D ．222(,, )9997．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．439．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（ ） A ．105B ．125C ．145D ．16510．有下列四个命题：①已知1e 和2e 是两个互相垂直的单位向量，a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a ⊥b ，则实数k ＝6；②已知正四面体O ﹣ABC 的棱长为1，则（OA OB +）•（CA CB +）＝1；③已知A （1，1，0），B （0，3，0），C （2，2，3），则向量AC 在AB 上正投影的数量是55④已知1a e =-223e e +，1b e =-+32e +23e ，c =-31e +72e （{1e ，2e ，3e }为空间向量的一个基底），则向量a ，b ，c 不可能共面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个11．正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．-2B ．4C ．2D ．112．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）A ．111663a b c ++ B ．111333a b b ++C ．111663a b c +- D ．112663a b c ++ 13．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．23D ．4二、填空题14．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________.15．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___16．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）17．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．18．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．19．已知()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--.若BP ⊥平面ABC ，则||CP 的最小值为___________.20．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与1B C 所成的角为___________.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.22．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的值等于________.23．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．24．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于__________．25．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a =（1，﹣1，2），直线m 的方向向量b =（2，1，﹣12），则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量a =（0，1，﹣1），平面α的法向量n =（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为1n =（0，1，3），2n =（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n =（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u+t=1.其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D 【分析】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13PP 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.【详解】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设12AB BC CC ===，利用空间向量法可求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.【详解】设12AB BC CC ===，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC A C 且11AC A C =，O 、1O 分别为AC 、11A C 的中点，所以，11//AO AO 且11AO A O =，所以，四边形11AAO O 为平行四边形，11//OO AA ∴，1AA ⊥底面ABC ，1OO ∴⊥底面ABC ，AB BC =，O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由于120ABC ∠=，则()3,0,0A、()0,1,0B、()10,1,2B 、()13,0,2C -，()13,1,2AB =-，()13,1,2BC =--， 1111113cos ,42222AB BC AB BC AB BC ⋅===⨯⋅，因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为34. 故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b . 5．B解析：B 【分析】写出直线的方向向量，求出方向向量的夹角的余弦值，其绝对值为两直线夹角余弦． 【详解】由题意两直线的方向向量分别为(1,2,7)m =-，(5,1,1)n =-，cos ,271m n m n m n⋅<>===-+∵两直线夹角为锐角或直角，∴所求余弦值为27． 故选：B ． 【点睛】本题考查求空间两直线的夹角，求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．6．D解析：D 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OA OB OC 表示出OG ． 【详解】因为E 是BC 中点，所以1()2OE OB OC =+，1G 是ABC 的重心，则123AG AE =， 所以122()33AG AE OE OA ==-， 因为12OG GG = 所以112224()()3339OG OG OA AG OA OE OA ==+=+-2422222()9999999OA OE OA OB OC OA OB OC =+=++=++， 若OG xOA yOB zOC =++，则29x y z ===． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键．7．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，1111,?2|?|m AAcos m AAm AA==.故1AA与平面11AB C所成角的大小为030，故选A．【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．8．C解析：C【分析】建立空间坐标系，设(),,P x y z，求出AP AD⋅关于,,x y z的表达式，根据球的半径得出,,x y z的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.【详解】设BC的中点为M，以M为原点建立如图所示的空间坐标系，则()326,0,,3,0,033A D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，设(),,P x y z，则326,,33AP x y z⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，2326,0,33AD⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，2326233AP AD x z∴⋅=-+，P在以M为球心，以1为半径的球面上，2221x y z∴++=，01y≤≤，2201x z≤+≤，令2326233x z m-+=，则直线23262033x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值，令2221232633m-=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0m =或4m =∴AP AD ⋅的最大值为4. 故选：C【点睛】本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.9．C解析：C 【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果. 【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++， 因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：①a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a b ⊥，2212121122(23)(4)2()(38)12()2120a b e e ke e k e k e e e k ∴=+-=+--=-=，解得6k =，所以①正确．②()()OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ++=+++11cos6011cos9011cos9011cos60001=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒++=，所以②正确．③(1,1,3)AC =，(1,2,0)AB =-，向量AC 在AB 上正投影2221||(1)20AC AB AB ⨯===-++③正确． ④假设向量a ，b ，c 共面，则a xb yc =+， 所以123123122(32)(37)e e e x e e e y e e -+=-+++-+， 1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++，所以13x y =--，237x y -=+，12x =， 得12x =，12y ， 所以向量a ，b ，c 共面，所以④不正确． 即正确的有3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．代入AE AF ⋅，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】 解：如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+ 221(2cos602cos60)4=︒+︒ 1=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示. 【详解】12CE ED =，()111111=333236CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭，()()11113636OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.13．B解析：B【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题14．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与解析：11【分析】首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠， 所以3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中， 当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ， 则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令3y =，得(2,3,3)n =. 因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯， 所以AD 与平面PBC 311. 311【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．15．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线 26【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E 、1B F 的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B、()0,2,2E 、()1,1,0F ， ()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，11111126cos ,2332A EB F A E B F A E B F⋅<>===⨯⋅， 因此，直线1A E 与直线1B F 26. 26. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．②④【分析】由题意知abAC 三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变B 点的运动轨迹是以C 为圆心为半径的圆以C 坐标原点以CD 为x 轴CB 为解析：②④ 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13故|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D 3，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a=（0，1，0），|a|＝1，直线b的方向单位向量b=（1，0，0），|b|＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′3θ3θ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB=3θ3θ，﹣1），|'AB|=2，设'AB与a所成夹角为α∈[0，2π]，则()()10103cos233，，，，θθα--⋅=='⋅cos sina AB|sin θ|∈[0，32]，∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确．设'AB与b所成夹角为β∈[0，2π]，()(1100c 33os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB θ|， 当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|3πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos 2β=|cos θ|2=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．17．【分析】化直线方程为斜截式求出直线的斜率得到直线的一个方向向量进而可求得直线的一个法向量得到答案【详解】由题意化直线的方程为斜截式可得直线的斜率为-2所以直线的一个方向向量为所以直线的一个法向量为故解析：()21， 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，） 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．18．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥， 所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.19．【分析】利用平面得到两个向量垂直从而利用坐标运算得到之间的关系然后再利用模的坐标表示求解最值即可【详解】因为平面都在平面内所以所以又因为所以解得所以所以所以的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：解答【分析】利用BP ⊥平面ABC ，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到y ，x ，z 之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可． 【详解】因为BP ⊥平面ABC ，,AB BC 都在平面ABC 内， 所以,BP AB BP BC ⊥⊥， 所以,BP AB BP BC ⊥⊥，又因为()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--，所以(1)20(1)0BP AB x y BP BC x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=---=⎩，解得1y x =--，2x z =所以(2,1,1)CP BP BC x y z =-=-+--， 所以2222||(2)(1)(1)CP x y z =-+++--()()()222212x x x =-+-+--2655x =+，所以||CP故答案为：5 【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.20．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为解析：3π【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC 与1B C 所成的角. 【详解】分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11//AC A C 且11AC A C =，O 、E 分别为AC 、11A C 的中点，1//AO A E ∴且1AO A E =，所以，四边形1AOEA 为平行四边形，1//OE AA ∴，则OE ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，O 为AC 的中点，则OB AC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()0,1,0C 、13,0,22B 、(10,1,22C ，(10,2,22AC =，(13,1,22B C =--，1111111cos ,22AC B CAC B C AC B C ⋅<>===-⋅， 因此，1AC 与1B C 所成的角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.21．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从 解析：1【分析】取AD 中点E ，过P 作PF BE ⊥于F 点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面PBE ，从而得到AD PF ⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF ⊥面ABCD ，由线面角定义可知30PBF ∠=，通过勾股定理可求得EF BE =，由此可知F 在直线CD 上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值.【详解】取AD 中点E ，连接BE 并延长，过P 作PF BE ⊥于F 点PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥ ,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBEPF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BFAD E = PF ∴⊥面ABCD ∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=在PBE ∆中，由余弦定理得：22233372cos 444222PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+-⨯= 223EF PE PF ∴=-=，又3BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1故答案为：1【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.22．【详解】连接AQ 取AD 的中点O 连接OQ ∵PA ⊥平面ABCDPA ⊥DQPQ ⊥DQ ∴DQ ⊥平面PAQ 所以DQ ⊥AQ ∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ∴BC 与【详解】连接AQ ，取AD 的中点O ，连接OQ ．∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊥DQ ，PQ ⊥DQ ，∴DQ ⊥平面PAQ ，所以DQ ⊥AQ ．∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上，又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，∴BC 与圆O 相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴OQ =AB =1，∴BC =AD =2，即a =2．故答案为：2．考点：直线与平面垂直的性质．23．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根 解析：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】 根据向量夹角为钝角，可知cos ,0a b <><且cos ,1a b <>≠-，解不等式可求得结果.【详解】由题意可知：2132cos ,013144k a b a b a b k --⋅<>==<⋅+且2132cos ,113144k a b k --<>=≠-⋅+ 解得：132k >-且12k ≠，即1311,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根. 24．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个 解析：16【分析】由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得()229BC AC AB==- 222AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅()42AB BF AC BF =+⋅-++⋅()1662BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=， ∴1cos ,6EF BC =，故答案为16. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题． 25．①④【解析】则则直线与垂直故①正确则则或故②错误与不共线不成立故③错误点向量是平面的法向量即解得故④正确综上所述其中真命题是①④点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用①求数量积利用数量积进解析：①④【解析】()112a =-，，，1212b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则11211202a b ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 则a b ⊥，∴直线l 与m 垂直，故①正确()011a =-，，，()111n =--，，，则()()()0111110a n =⨯+⨯-+-⨯-=则a n ⊥，l α∴或l α⊂，故②错误()1013n ，，=，()2102n =，，，1n ∴与2n 不共线， αβ∴不成立，故③错误点()101A -，，，()010B ，，，()120C -，， ()111AB ∴=-，，，()110BC =-，， 向量()1n u t =，，是平面α的法向量 00n AB n BC ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，即1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩，解得1u t +=，故④正确 综上所述，其中真命题是①，④点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积a b ，利用数量积进行判断，②求数量积a n ，利用数量积进行判断，③求利用1n 与2n 的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．26．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB == 所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b 则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知2cos3m n m n a π⋅==⋅ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a取得最大值为a = 所以tan 3AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠=故答案为:6π 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题.。
专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷(测)(解析版)
专题8.9 《空间向量与立体几何》单元测试卷一、单选题1．（2019·广东湛江·期末（文））已知两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①//αβ，m α⊂，n β⊂⇒//m n ； ②//m n ，//m α⇒//n α； ③//m n ，m α⊥⇒n α⊥； ④//αβ，//m n ，m α⊥⇒n β⊥. 其中正确命题的序号是：（ ） A ．①③ B ．①④C ．③④D ．②③【答案】C 【解析】对于①，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则n 与m 不一定平行，也可能异面，故①错误； 对于②，//m n ，////m n αα⇒或n ⊂α，故②错；对于③，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故③正确； 对于④，//m n ，m n αα⊥⇒⊥，又n αββ⇒⊥，故④正确．故选：C ．2．（2020·河北月考）下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面垂直 D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D3．（2020·北京开学考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】B 【解析】由三视图，在棱长为2的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为2的正四棱锥， 所以其体积为118222333V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：B.4．（2020·重庆市广益中学校期末）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17⎡⎣B ．[]4,5C ．[]3,5D ．17,5⎤⎦【答案】D 【解析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ， 则平面//CMN 平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ， P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 在长方体1111ABCD A BC D -中，16AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，22111()345max C P C E C F ∴===+=，42EF =，22211()25(22)17min C P PO C E EO ==-=-=．∴线段1C P 长度的取值范围是[17，5]．故选：D ．5．（2019·小店·山西大附中期中（文））如图，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，BC ，CD ，AD 的中点，截面PQMN 是正方形，则下列结论错误的为( )A ．AC⊥BDB ．AC∥截面PQMNC ．AC ＝CDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 【答案】C 【解析】对于选项A,由PQ∥AC，QM∥BD，PQ∥QM,MN⊥MQ,可得AC⊥BD，故A 正确；对于选项B,由PQ∥AC 可得AC∥截面PQMN ，故B 正确；对于选项C,由题得AC=2MN,BD=2MQ,因为MN=MQ,所以AC=BD,不能证明AC=CD,故C 不正确； 对于选项D,异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角为45°，故D 正确． 故选C.6．（2020·湖北荆州中学月考）已如三棱锥D-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若1AB AC BC DB DC =====，当三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）.A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π【答案】A 【解析】如图所示，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接,AG DG ，则,AG BC DG BC ⊥⊥，分别取ABC ∆与ΔDBC 的外心,E F ，分别过,E F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，可得正方形OEGF 的边长为36，则66OG = 所以四面体A BCD -的外接球的半径22226156212OG G R B ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 所以球O 的表面积为2554123S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选A.7．（2020·北京市平谷区第五中学月考）已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ）A ．32B ．233C ．55D ．255【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CA t ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA x tz n CD x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =故21,1,n t ⎛= ⎝⎭. 因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12， 所以直线AB 与平面ACD 5即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛= ⎝⎭，故B 到平面ACD 的距离为22551112AB n d n⋅===++.故选：D8．（2020·河北石家庄·高三月考）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A ．25︰1 B ．1︰25 C ．1︰5 D ．5︰1【答案】D 【解析】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则33MN a =，233MA a =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以33OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径33r a =， 233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径153R a =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D9．（2020·山西运城·月考（理））如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．12C ．22D ．34【答案】C 【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则//OD AC , 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角， 设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，可得223DF OD OF =-=，225EF OE OF =+=， 则2222DE DF EF =+=，因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥,进而可得OE ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥, 在直角ODE ∆中，可得2cos 2OD ODE DE ∠==， 即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22， 故选：C.10．（2020·河北衡水·月考（理））在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ） A ．2133B ．133C ．433D ．393【答案】A 【解析】如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角， 所以AOC △是边长为3423=23OE =在POE △中，30POE ︒∠=， 所以23PE =.又43CE = 所以213PC R ==故选：A. 二、多选题11．（2020·全国月考）已知α，β，γ是空间不同的三个平面，则正确的命题是（ ） A ．//αβ，////βγαγ⇒ B ．αβ⊥，βγαγ⊥⇒⊥ C ．αβ⊥，//βγαγ⊥⇒ D ．//αβ，βγαγ⊥⇒⊥【答案】AD 【解析】因为//αβ，//βγ，所以//αγ，故选项A 正确； 因为//αβ，βγ⊥，所以αγ⊥，故选项D 正确；在正方体1111ABCD A BC D -中，以平面ABCD 为平面α，以平面11AA B B 为平面β，以平面1111D C B A 为平面γ，则αβ⊥，βγ⊥，但是//αγ，故选项B 错误；在正方体1111ABCD A BC D -中，以平面ABCD 为平面α，以平面11AA B B 为平面β，以平面11AA D D 为平面γ，则αβ⊥，βγ⊥，但是αγ⊥，故选项C 错误； 故选：AD12．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC 【解析】如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形， AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ， AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确. 对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则32BM =，32PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC13．（2020·江苏省江浦高级中学月考）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为62D ．存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3【答案】ABC 【解析】对于A ：分别连接1C D 、BD 、11B D 、1AB 、1AD ，易得平面1//C DB 平面11AB D ，DP ⊂平面1C DB ，故对任意点P ，//DP 平面11AB D ，故正确；对于B ：分别连接PA 、1PD ，无论点P 在哪个位置，三棱锥11P A DD -的高均为1，底面11A DD 的面积为12，所以三棱锥11P A DD -的体积为1111326⨯⨯=，故正确； 对于C ：线段DP 在1C BD 中，当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，此时1DPBC ，在Rt BPD △中，DP ==故DP 的最小值为2对于D ：点P 在平面11ADD A 上的投影在线段1AD 上，设点P 的投影为点Q ，则PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin PQPDQ PD∠=，1PQ =，而2PD ≤≤DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是⎣⎦，而sin3π=>， 所以不存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3，故错误. 故选：ABC.14．（2020·辽宁月考）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，16AA =，则（）A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为3514C ．异面直线1AD 与1AC 70D ．//CD 平面11AB C 【答案】AC 【解析】A:因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =， 所以CD AB ⊥，因为1ABAA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥， A 正确；以D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(16A -，()1,0,0A -，(13,6C ,()11,0,6B ，所以()11,0,6A D =-，()11,3,6AC =，所以1111111670cos ,14710A D AC A D AC A D AC ⋅-===-⨯，所以异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为7014，B不正确，C 正确； 又因为()12,0,6AB =，()11,3,6AC =，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则11260360n AB x z n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即6222x z y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2,2n =--， 因为()0,3,0CD =-，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确； 故选:AC.三、填空题15．（2020·北京市平谷区第五中学月考）在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =_________.（用a ，b ，c 表示）【答案】111244a b c ++ 【解析】∵在四面体O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点 ∴()()1111111222222244OA OD OE OA OD a OB OC a b c =+=+=+⨯+=++ 故答案为111244a b c ++ 16．（2020·湖北荆州中学月考）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π．若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为__________．【答案】12π 【解析】因为“牟合方盖”的体积为163， 又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π， 所以正方体的内切球的体积V 球164433ππ=⨯=，所以内切球的半径1r =，所以正方体的棱长为2，所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即223R =所以3R 2244(3)12S R πππ===． 故答案为：12π.17．（2020·云南其他（理））在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，顶角为120°，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为_________． 3π 【解析】据题意可得几何体的轴截面为边长为2，，邻边的一夹角为60°的菱形，即菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，可得内切圆的半径o o 3sin 30sin 30r AB =⋅⋅， 故34333V ππ==⎝⎭． 3π.四、双空题18．（2020·江苏兴化一中高一期中）已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为_________；这个圆锥的体积为__________. 【答案】1 3π【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线为R因为圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆， 所以222R ππ=，解得2R =，即圆锥母线长为2，又因为2Rr ππ=，所以1r =，所以圆锥的体积22222211312133V r R r πππ=⨯-⨯- . 故答案为：1，3π319．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学高二期末）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是_____，最长棱长为_____．【答案】3 14【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD =，2AB =，1BC =，PA x =，//AD BC ，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， ∴底面的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴几何体的体积1333V x ==， 可得3x =，最长棱长为：22212314PC ++ 故答案为：314．20．（2020·包头市第九中学高一期末）设三棱锥S ABC -的底面和侧面都是全等的正三角形，P 是棱SA 的中点.记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则α，β，γ中最大的是_________，最小的是________. 【答案】αβ【解析】作//PD CA 交SC 于D ，由于AB BC CA ==，SA SB SC ==， 所以S ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =，取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH ， 作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF ， 作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥， 由于//PD AC ，所以BPD α=∠， 由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠，由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠，222sin BE EH BH EH EH BP BP BP BPα+==>=，因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ， 所以EH PF =.所以sin PF EHBP BPβ==.所以sin sin αβ>， 由于,αβ都是锐角，所以αβ>，由于P 在SA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PFPG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>， 由PB BG <,222sin BE EH BH EH EH PF BP BP BP α+==>==sin PF PGγ>=，所以αγ综上所述，三个角中的最小角是β，最大角是α. 故答案为：①α；②β.21．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高三其他（理））我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C ：2yx ，直线l 为曲线C 在点()1,1处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω．过()()0,01y y ≤≤作Ω的水平截面，所得截面面积S =______（用y 表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出Ω体积为______．【答案】()214y π-(01)y ≤≤12π【解析】 由2yx ，得2y x '=，所以直线l 的斜率212k =⨯=，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，所以2212y S y π⎡⎤+⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()214y π=-(01)y ≤≤.将一个底面半径为12，高为1的圆锥的底面与几何体为Ω的底面放在同一水平面上，则过()()0,01y y ≤≤的水平截面截圆锥所得截面的半径为12y -(01)y ≤≤，截面面积为()214y π-(01)y ≤≤,根据祖暅原理可知，该圆锥与几何体Ω的体积相等，所以几何体Ω的体积为21113212ππ⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：()214y π-(01)y ≤≤；12π.五、解答题22．（2020·北京开学考试）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是11AC 的中点，且12AC BC AA ===.（Ⅰ）求证：11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；3【解析】（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABC A B C -，得11//A B AB ， 又因为11A B ⊄平面ABD ，AB平面ABD ，所以11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0B ，()2,0,0A ，()10,2,2B ，()1,0,2D ， 所以()12,2,2AB =-，()12,2,0AB =-，()1,0,2AD =-， 设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，由0AB n ⋅=，0AD n ⋅=，得220,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得()2,2,1n =.设直线1AB 与平面ABD 所成角为θ，则1113sin cos ,9AB n AB n AB nθ⋅=<>==⋅所以直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值为39.23．（2020·云南师大附中月考（理））如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2243AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且26PB =.（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：由等腰梯形2243AB CD AD ===60ABC ∠=︒， 又2AB BC =，所以AC BC ⊥， 又23PC BC ==，26PB = 则222CB CP PB +=， 所以BC CP ⊥， 又AC CP C ⋂=，所以BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC . （2）如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒， 则AC DE ⊥，记垂足为O ，由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ， 又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，如图，建立分别以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，则6AC =，3DO =所以()3,0,0A ，()3,23,0B -，()3,0,0C -，(3P ， 所以(3,23,3BP =-，()6,23,0BA =-，()0,23,0BC =-， 设平面ABP 的法向量为()1111,,n x y z =，所以1100BA n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111623032330x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令13y =1113x z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面ABP 的一个法向量为()11,3,3n =； 设平面CBP 的法向量为()2222,,n x y z =，所以220,0,BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222223032330y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令23z =，得2210x y =-⎧⎨=⎩所以平面CBP 的一个法向量为()21,0,3n -=； 令二面角A PB C --为θ，由题意知θ为钝角， 所以121227cos 727n n n n θ⋅=-=-=-⨯，所以二面角A PB C --的余弦值为77-. 24．（2020·江西其他（文））如图1，平面四边形ABPC 中，ABC 和PBC 均为边长为23的等边三角形，现沿BC 将PBC 折起，使32PA =，如图2.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABC ； （2）求点C 到平面PAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）55. 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，因为ABC 和PBC 均为边长为23 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥且3==OA OP ，因为32AP =，所以222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥，又因为⋂=OA BC O ，OA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ， 又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC . （2）由（1）知，OP ⊥平面ABC ， 三棱锥P ABC -的体积13P ABC ABCV S PO -=⋅⋅ 设点C 到平面PAB 的距离为h ，则13C PAB PABV S h -=⋅⋅由题意PAB △中，23AB PB ==，32AP =,PAB △中PA 边上的高为()2232302322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 13031532222PAB S ∴=⨯⨯=△,13=2323=3322ABCS ⨯⨯⨯, C P A ABC P B V V --=1133ABCPABS PO S h ∴⋅⋅=⋅⋅由（1）知，3PO =， 3ABCPABS Sh ∴⋅=⋅，3655ABC PAB S h S ⋅∴==. 所以，点C 到PAB 的距离为655.25．（2020·江西南昌二中月考（文））如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点.2CD DA AF FE ====，4AB =.（1）求证：//DF 平面BCE ； （2）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （3）求多面体AFEBCD 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）833【解析】（1）证明：因为//CD EF ，且CD EF =， 所以四边形CDEF 为平行四边形， 所以//DF CE .因为DF ⊄平面BCE ，EC ⊂平面BCE 所以//DF 面BCE .（2）证明：连接FG .因为平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD平面ABEF AB =，AD AB ⊥所以AD ⊥平面ABEF ，所以BF AD ⊥. 因为G 为AB 的中点，所以//AG CD ， 且AG CD =，//EF BG ，且EF BG =， 所以四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形. 所以//AD CG ，所以BF CG ⊥.因为EF EB =，所以四边形BEFG 为菱形，所以BF EG ⊥. 所以BF ⊥平面GCE . 所以平面BCF ⊥平面GCE . （3）设BFGE O =.由（1）得//DF CE ，所以//DF 平面GCE ， 由（2）得//AD CG ，所以//AD 面GCE ， 所以平面//ADF 平面GCE ， 所以几何体ADF GCE -是三棱柱. 由（2）得BF ⊥平面GCE . 所以多面体AFEBCD 的体积ADF GCE B GCE V V V --=+13GCEGCE SFO S BO =⋅+⋅43GCE S FO =⋅△833=. 26．（2020·湖南月考）如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒. 【解析】（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ， 所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ，所以1111020ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.27．（2020·江西上高二中月考（理））四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π，求二面角E BF A --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7【解析】 （Ⅰ）//BC DF∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.又CD AD ⊥，BF AD ∴⊥.又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =，BF ⊂面ABCD BF ∴⊥面PAD且BF ⊂面BEF∴平面BEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）连结PF ，PA PD =，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =，()1,1,PC t =--，()0,1,0B ， 11sin3n PC n PCπ⋅∴=⋅，2322t =+，6t ∴=()0,0,6P ∴，116,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，2211602220n FE x y z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩，令1z =， 6x ∴=，()26,0,1n =.设二面角E BF A --的平面角为θ12127cos 7n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos 7θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为77-.。
高二数学空间向量与立体几何单元测试卷三
高二数学《空间向量与立体几何》单元测试卷三姓名：_________班级：________ 得分：________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是 （ ） （A ） 有相同起点的向量 （B ）等长向量 （C ）共面向量 （D ）不共面向量3、若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件4、已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角,〈〉a b 为 （ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）以上都不对5、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c6、已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为 （ ） （A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°7、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） （A ）627 （B ）637 （C ）647 （D ）6578、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）59、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是 （ ） （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不确定10、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ） （A ）131(,,)243 （B ）123(,,)234 （C ）448(,,)333 （D ）447(,,)33311．已知a = ( 2, –1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 则以a , b 为邻边的平行四边形的面积是 ( ) (A)65. (B)265. (C) 4 . (D) 8.12.已知a =(3，－2，－3)，b =（－1，x －1，1），且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．（－2，+∞） B ．（－2，53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2）D ．（53，+∞）FE D 1C 1B 1A 1DCBAy二、填空题（每小题4分，共16分）13、若A(m ＋1,n －1,3)，B(2m,n,m －2n)，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m+n= ． 14、在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．15、设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ， 则,〈〉a b ＝ ．16、已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ． 三、解答题（共74分）17、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和 BB 1的中点．（1）证明：AEC 1F 是平行四边形；（2）求AE 和AF 之间的夹角；（3）求四边形AEC 1F 的面积． 18、在棱长为1正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，试求CE 与平面BCD 所成的角．19、ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．20．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小． （2）求A 1到平面ABD 的距离．21.在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值； ⑶求FH 的长。
《空间向量与立体几何》章检测试卷(附答案)
《空间向量与立体几何》章检测试卷（附答案）试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 如图,在平行六面体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A. −12a +12b +c B. 12a +12b +c C. −12a −12b +c D. 12a −12b +c(第 1 题)2. 平面 α 的法向量为 (1,2,−2) ,平面 β 的法向量为 (−2,−4,k ) ,若 α//β ,则 k 等于 ( )A. 2B. -4C. 4D. -23. 若 a =(1,2,−3),b =(2,a −1,a 2−13) ,则 “ a =1 ” 是 “ a ⊥b ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知两个平面的法向量分别为 m =(0,1,0),n =(0,1,1) ,则这两个平面所成的二面角的大小为 ( )A. 45∘B. 135∘C. 45∘ 或 135∘D. 60∘ 5. 直线 l 的方向向量 a =(1,−3,5) ,平面 α 的法向量 n =(−1,3,−5) ,则有 ( ) A. l//α B. l ⊥α C. l 与 α 斜交 D. l ⊂α 或 l//α6. 已知平面 α 内有一点 M (1,−1,2) ,平面 α 的一个法向量为 n =(6,−3,6) ,则下列点 P 中, 1. 在平面 α 内的是 ( )A. P (2,3,3)B. P (−2,0,1)C. P (−4,4,0)D. P (3,−3,4) 7. 若 A,B 两点的坐标分别是 A (3cosα,3sinα,1),B (2cosβ,2sinβ,1) ,则 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的取值范围是 ( )A. [0,5]B. [1,5]C. (1,5)D. [1,25]8. 已知正四棱雉 S −ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角 的余弦值为 ( )A. 13B. √23C. √33D. 23二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。
空间向量与立体几何单元测试题(教师版)
3 2
B．
2 2
C．
1 2
）
D．
3 3
4，， 3) b (3， 2，z ) ，且 a ∥ b ，则 xz 等于（ 7、设 a ( x，
64 答案：Ｂ 9 8、已知△ABC 的三个顶点为 A（3，3，2） ，B（4，－3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC 边上中线长( A．2 B．3 C．4 D．5 9、下列各组向量中不平行的是（ ）
D． b a
2、已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么 a 3b 等于（ A． 7 B． 10 C． 13 D．4
C ）
3、 a 1, b 2, c a b, 且 c a ,则向量 a与b 的夹角为（ C A．30 B．60 C．120
3 2
Ａ． 4 Ｂ．9 Ｃ． 9 Ｄ． A． a (1,2,2), b (2,4,4) C． e (2,3,0), f (0,0,0)
B )
B． c (1,0,0), d (3,0,0) D． g (2,3,5), h (16,24,40)
→ → → → 10、直三棱柱 ABC－A1B1C1，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝(D) A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 11、已知 a＝(－5,6,1)，b＝(6,5,0)，则 a 与 b( A ) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 12、已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则 x 等于(B) 1 A．4 B．－4 C. D．－6 2 → 13、若 A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值等于( ) 8 8 19 A．19 B．－ C. D. 7 7 14
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《空间向量与立体几何》单元测试题3
一、选择题
1、空间四边形OABC 中，OB OC =，3
AOB AOC π
∠=∠=
，
则cos <,OA BC >的值是（ ）
A ．
21 B ．22 C ．－2
1
D ．0
2、若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A
取最小值时，x 的值等于（ ）
A ．19
B ．78-
C ．78
D ．14
19
3、若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形
4、若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为9
8
，则λ等于（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2-或
552 D ．2或55
2-
5、已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--
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6、下列各组向量中不平行的是（ ）
A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a
B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c
C ．)0,0,0(),0,3,2(==f e
D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g
二、填空题
7、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 。
8、已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b
，
c
表示N M ，则N M =_______________。
9、若19(0,2,
)8A ，5(1,1,)8B -，5
(2,1,)8
C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________。
10、若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a
-，则a 与b 的夹角为____________。
11、已知向量,3,5k r j i b k j i m a
++=-+=若//a b 则实数=m ______，=r _______。
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12、已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=
，若a ⊥b ，则=x ______；若//a b 则=x ______。
13、若向量,94,2k j i b k j i a
++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。
14、若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a
，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
以下是答案 一、选择题
1、D 解析：cos cos
()3
3cos ,0OA OC OA OB OA BC OA OC OB OA BC OA BC
OA BC
OA BC
π
π
--<>=
=
=
=
2、C
解析：(1,23,33),(1AB x x x AB x =---+=- 8
7
x =时，B A 取最小值
3、A 解析：(3,4,2),(5,1,3),(2,3,1)AB AC BC ===-，0AB AC >，得A 为锐角；
0CA CB >，得C 为锐角；0BA BC >，得B 为锐角；所以为锐角三角形
4、C 解析： 282cos ,,2,9
553a b a b a b
λλ<>=
=
==-或
5、A 解析：关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
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6、D 解析： 2//;3//;b a a b d c d c =-⇒=-⇒而零向量与任何向量都平行
二、填空题 7
、
3
解析：11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==- 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==令 则(,,)MN t t t =-，而另可设(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--
1,(0,2,),21,3m t
a m t N t t t t t
b t
-=-⎧⎪
-=+==⎨⎪=⎩
，1111(,,),333MN MN =-=
+=
8、1()2b c a +- 解析： 11()22
MN ON OM b c a =-=
+-
9、2:3:(4)- 解析：7
7(1,3,),(2,1,),0,0,44
AB AC AB AC αα=--=---==
2243
,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y
⎧=⎪⎪=-=-⎨
⎪=-⎪⎩
10、0 222222
716150,733200,4935,4935a a b b a a b b a b b a a b +-=-+===得
2
23535353549,,cos ,1494949b
a b
a b a b b a b b a b a b
a ==<>====
11、115,5- 解析： 511(,5,1),(3,1,),
,15,315
m a m b r m r r -=-=====-
12、10,63- 解析：若a ⊥b ，则10
8230,3
x x --+==；若//a b ，则2:(4)(1):23:,6x x -=-==-
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13、垂直 解析：(2,1,1),(4,9,1),0a b a b a b =-==⇒⊥
14、212- 解析：23(10,13,14)a b -=--，2(16,4,0)a b +=-。