概率论与数理统计考研复习题8
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
概率论与数理统计考研真题_百度文库
考研真题一1.在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电,以E表示事件"电炉断电",设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于( ).数三、四考研题2.设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( ).(A)A与BC独立;(C)AB与AC独立;(B)AB与独立与独立.00数四考研题01数四考研题3.对于任意二事件A和B,与不等价的是( ).设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明是事件A与B独立的充分必要条件.5.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:掷第一次出现正面},则事件( ).(A)A1,A2,A3相互独立;(C)A1,A2,A3两两独立;6.对于任意两个事件A和B( ).(A)若则A,B一定独立;(C)若则A,B一定独立;(B)A2,A3,A4相互独立;(D)A2,A3,A4两两独立.03数四考研题02数四考研题掷第二次出现正面正、反面各出现一次正面出现两次},03数三考研题(B)若则A,B有可能独立;(D)若则A,B一定不独立.7.从数1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从中任取一个数, 记为Y, 则三、四考研题.1.考研真题二1.设随机变量X的概率密度为,其它以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数,则94数三考研题2.假设随机变量X的概率密度为,其它现在对X进行n次独立重复观测,以Vn表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量Vn的概率分布.94数四考研题3.设随机变量X服从正态分布2),则随的增大,概率95数三、四考研题(A)单调增大;(B)单调减少;(C)保持不变;(D)增减不定.4.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求:(1)全部能出厂的概率(2)其中恰好有两件不能出厂的概率其中至少有两件不能出厂的概率95数三、四考研题5.假设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明在区间(0,1)上服从均匀分布.95数四考研题6.一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i个零件是不合格品的概率p1以X表示3个零件中合格品的个数,则96数四考研题.3.7.假设随机变量X的绝对值不大于4;在事件出现的条件下,X在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数97数三考研题8.设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布.若59,则数四考研题9.假设随机变量X的绝对值不大于4;在事件出现的条件下,X在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求(1)X的分布函数取负值的概率p.97数四考研题10.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ).5;.98数三、四考研题11.设随机变量X的概率密度为其它若k使得3,则k的取值范围是__________.00数三考研题12.设随机变量X的概率密度为,其它F(x)是X的分布函数,求随机变量的分布函数.03数三、四考研题.4.则这两个数之差的绝对值小于12的07数三、四考研题.5. 考研真题三1.随机变量X和Y的联合分布是正方形上的均匀分布,试求随机变量的概率密度p(u).01数三考研题2.假设一设备开机后故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机,试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).02数三考研题3.设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y),求随机变量的概率密度g(u).03数三考研题4.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布,求:(1)随机变量X和Y的联合概率密度;(2)Y的概率密度;(3)概率数四考研题5.设二维随机变量(X,Y)的概率分布XY0100.4a1b0.1若随机事件}与相互独立, 则数三考研题6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它..6.13.在区间(0,1)中随机地取两个数,概率为____________.求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y);的概率密度fZ(z);数三、四考研题7.设二维随机变量(X,Y)的概率分布XY0100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立, 则( ).05数四考研题设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则数三考研题9.随机变量x的概率密度为06数三、四考研题其它令为二维随机变量(X ,Y)的分布函数,求:(1) Y的概率密度设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为( ).07数三、四考研题(A)fX(x); (B)fY(y); (C)fX(x)fY(y); (D)fX(x)f.Y(y)11.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为07数三、四考研题其它,.7.(Ⅰ)求Ⅱ)求的概率密度fz(z)..8.考研真题四1.设随机变量X在区间上服从均匀分布;随机变量若若若则方差00数三、四考研题2.设A,B是二随机事件;随机变量若A出现若A不出现若B出现;.若B不出现.试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.00数三、四考研题3.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f1其中和都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为113和它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零,方差都是1.(1)求随机变量X和Y的密度函数f1(x)和f2(y),及X和Y的相关系数可以直接利用二维正态密度的性质).(2)问X和Y是否独立?为什么?00数四考研题4.设随机变量X和Y的数学期望分别为和2,方差分别为1和4,而相关系数为则根据切比雪夫不等式P01数三考研题5.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977..9.其中是标准正态分布函数.)01数三、四考研题6.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式01数四考研题7.设随机变量X和Y的联合分布是以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的方差.01数四考研题8.设随机变量X和Y的联合概率分布为概YX0.080.320.20则X2和Y2的协方差02数三考研题9.假设随机变量U在区间上服从均匀分布,随机变量若若若若试求:(1)X和Y的联合概率分布;02数三考研题10.设随机变量X和Y的联合概率分布为概YX0.180.1510.080.320.20则X和Y的相关系数02数四考研题11.设随机变量相互独立则根据列维林德伯格中心极限定理,当n充分大时,Sn近似服从正态分布,只要02数四考研题(A)有相同的数学期望;(B)有相同的方差;(C)服从同一指数分布;(D)服从同一离散型分布..10.12.设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则( ).(A)X与Y一定独立;(B)(X,Y)服从二维正态分布;(C)X与Y未必独立;服从一维正态分布.03数四考研题13.设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若则Y与Z的相关系数为____________.03数三考研题14.设总体X服从参数为2的指数分布为来自总体Xn的简单随机样本,则当时1X2依概率收敛于__________.i03数三考研题15.设随机变量X和Y的相关系数为则E(X03数四考研题16.对于任意两个事件A和称做事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零;(2)利用随机变量相关系数的基本性质,证明数四考研题17.设随机变量X服从参数为的指数分布,则04数三考研题18.设A,B为两个随机事件,且,令发生,发生不发生,不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(2)X与Y的相关系数的概率分布.04数三、四考研题.11.19.设随机变量X服从参数为的指数分布,则04数四考研题20.设随机变量X独立同分布,且其方差为令随机变量1则( ).04数四考研题nn;21.设为独立同分布的随机变量列, 且均服从参数为的指数分布, 记为标准正态分布函数,则( ).05数四考研题22.设为独立同分布的随机变量, 且均服从N(0,1),记1nXi,求(1)Yi的方差(2)Y1与Yn的协方差05数四考研题23.设总体X的概率密度为x2e为总体的简单随机样本, 其样本方差S2, 则E(S2)=__________.06数三考研题24. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且则( )06数三、四考研题(A)(B)(C)(D)25. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为06数四考研题XY00.1c其中a,b,c为常数,且x的数学期望记求:(1)a,b,c的值；(2)Z的概率分布；26.设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为07数四考研题X12P记求(Ⅰ)(U,V)的概率分布;(Ⅱ)U与V的协方差Cov(U,V)..13.考研真题五1.设是来自正态总体的简单随机样本,X是样本均值,记nn1n2则服从自由度为的t分布的随机变量是( ).94数三考研题;s4/n.2.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量9服从_______分布,参数为_______. 97数三考研题3.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,则当时,统计量X 服从分布,其自由度为________. 98数三考研题4.在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同 服从正态分布N(a,0.22).若以Xn 表示n 次称量结果的算术平均值,则为使n 的最小值应不小于自然数_________. 99数三考研题 5.设是来自正态总体X 的简单随机样本, .14.9证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.99数三考研题6.设总体X 服从正态分布N(0,22),而是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量 2服从_________分布,参数为___________.01数三考研题7.设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则( ).02数三考研题服从正态分布服从分布; (C)X2和Y2都服从分布;(D)X2/Y2服从F 分布.8.设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的数满足若则x 等于( ).04数三、四考研题229.设总体X服从正态分布总体Y服从正态分布和分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则数三考研题10.设随机变量X的分布函数为,.15.其中参数设为来自总体X的简单随机样本,(1)当时,求未知参数的矩估计量;(2)当时,求未知参数的最大似然估计量;(3)当时,求未知参数的最大似然估计量.04数三考研题.16.考研真题六1.设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值则未知参数的置信度为0.95的置信区间是_______.96数三考研题2.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知服从正态分布(1)求X的数学期望EX(记EX为b);(2)求的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.00数三考研题3.设总体X的概率密度为,若若而是来自总体X的简单随机样本,则未知参数的矩估计量为_______.02数三考研题4.设一批零件的长度服从正态分布其中均未知. 现从中随机抽取16个零件, 测得样本均值样本标准差则的置信度为0.90的置信区间是( ).05数三考研题;;.5.设为来自总体的简单随机样本, 其样本均值为,记.17.(1)求Yi的方差求Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn);(3)若是的无偏估计量, 求常数c.05数三考研题设总体X的概率密度为其中是未知其它参数为来自总体的随机样本,记N为样本值x1, 中小于1的个数, 求的最大似然估计.06数三考研题7.设总体X的概率密度为0,其它其中参数未知是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(Ⅰ)求参数的矩估计量;(Ⅱ)判断4X2是否为的无偏估计量,并说明理由.07数三考研题.18.,其中参数的t检验使95数三考研题.19. 考研真题答案考研真题一1.C.2.A.3.D.5.C.6.B.7.13/48.8.C.考研真题二1.9/64.2.Cmn(0.01)m(0.99)若若若若若若若若若考研真题三其它其它其它其它其它.20.考研真题七1.设是来自正态总体的简单随机样本n1n22和未知,记则假设用统计量;(3)34.其它7.B.8.1983;(3)14.其它11.(Ⅰ)724;(Ⅱ0,其它考研真题四1.89.23.(1)f1e22e;(2)不独立.4.1/12.5.98.6.1/12.7.1/18.9.(1)(2)2.11/21/410.0.11.C.12.C.13.0.9.14.1/2.15.6.17.1.18.(1)XY01;Z0102/31/12(2)15;(3)2P2/31/41/12.11/61/1219.1/e.20.C.21.C.22.(1);12..21.23.2.24.A.1210.10.50.30; (3)0.4.P0.V26.(Ⅰ)U121;(Ⅱ) 4081.241考研真题五1.B.2.t;9.3.1/20,1/100,2.4.16.210.(1)n;(2)n;考研真题六1.(4.412,5.588n3.4.C.5.(1)n.6.N. 7.(Ⅰ)12;(Ⅱ)不是.考研真题七1.XQ.22.。
考研数学概率论和数理统计第一章测试题(卷)(含答案解析)
考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B BA不等价．．．的是（）(A)B A (B)A B(C)BA (D)BA 2.设事件A 与事件B 互不相容，则（）(A)0)(B A P (B))()()(B P A P AB P (C))(1)(B P A P (D)1)(B AP 3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是（）(A)若AB ，则B A,一定独立 (B)若AB ，则B A,有可能独立(C)若AB ，则B A,一定独立 (D)若AB，则B A,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）(A)A 与B 互不相容(B)A 与B 相容(C))()()(B P A P AB P (D))()(A P B AP 5.设B A,为任意两个事件，且B A ，0)(B P ，则下列选项必然成立的是（）(A))|()(B A P A P (B))|()(B A P A P (C))|()(B A P A P (D))|()(B A P A P 6.设B A,为两个随机事件，且0)(B P ，1)|(B A P ，则必有（）(A))()(A P B A P (B))()(B P B A P (C))()(A P B A P (D))()(B P B AP 7.已知1)(0B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P ，则下列选项成立的是（）(A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P (B))()()(2121B A P B A P B A BA P (C))|()|()(2121B A P B A P A A P (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P 8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件（）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为（）(A)2)1(3p p (B)2)1(6p p (C)22)1(3p p (D)22)1(6p p 10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是（）(A)B A与C (B)AC 与C (C)B A与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足1BP A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
《概率论》考研试题
2005-2012年全国硕士研究生入学统一考试概率论与数理统计部分试题2012考研数学(三)一、选择题（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则+ΡΧΥ≤22｛1｝()（A）14（B）12（C）8π（D）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X −的分布()（A）N （0，1）（B）(1)t （C）2(1)χ（D）(1,1)F 二、填空题（14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则(C)P ΑΒ=_________.三、解答题（22）已知随机变量X ,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X 012P121316Y 012P131313XY 0124P712130112求（1）(2)P X Y =;（2）cov(,)XY X Y Y −ρ与.（23）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.2012数学（一）一、选择题（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<Y X P (A)51(B)31(C)52(D)54(8)将长为1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为（）（A）1（B）21（C）-21（D）-1二、填空题(14)设C B A ,,是随机文件，A 与C 互不相容，()()11,,()23P AB P C P AB C ===三、解答题(22)设二维随机变量X 01201/401/4101/3021/121/12(Ⅰ)求{}Y X P 2=(Ⅱ)求()Y Y X Cov ,−.（23）设随机变量X 与Y 相互独立分别服从正态分布()2,σµN 与()22,σµN ，其中σ是未知参数且0>σ。
浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(随机变量及其分布)
第2章随机变量及其分布一、选择题1．设随机变量，且满足，则满足（）。
A．B．C．D．【答案】B【解析一】由。
又，从而有，可知。
而，故。
【解析二】由。
又，，当时，则有，从而。
2．设随机变量X服从参数为的指数分布，事件，则下列结论一定正确的是（）。
A．A，B，C相互独立B．A，B，D相互独立C．B，C，D相互独立D．A，B，C，D两两独立【答案】B【解析】X服从参数为的指数分布，得，概率为0或1的事件与任何事件都是相互独立的。
又且与均大于零，因此，即B与C不独立，因此答案选B。
3．设随机变量和相互独立且都服从参数为的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2的指数分布的是（）。
A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，服从参数为的指数分布，，其分布函数为。
A项，B项，C项，D项，即服从参数为的指数分布。
4．设，为随机变量，，，则（）。
A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，于是。
5．对任意正整数，随机变量都满足，记的是（）。
，则下列结论中一定不正确．．．A．B．C．D．【答案】D【解析】离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件。
若服从几何分布，则P=P{X＜1}=0，若服从指数分布，则P=P{X＜1}=1－e－λ，且0＜P＜1，因此P不可能是1，即P=1一定不成立。
6．设随机变量独立同分布，其分布函数为，则随机变量的分布函数为（）。
A．B．C．D．【答案】B【解析】7．假设随机变量X的密度函数f（x）是偶函数，其分布函数为F（x），则（）。
A．F（x）是偶函数B．F（x）是奇函数C．F（x）＋F（－x）=1D．2F（x）－F（－x）=1【答案】C【解析】AB两项，由于F（x）是单调不减的非负函数，所以不成立。
CD两项，已知f（x）是偶函数，因此有，则=1。
1。
8．假设随机变量X的分布函数为F（x），概率密度函数f（x）=af1（x）＋bf2（x），其中f1（x）是正态分布N（0，σ2）的密度函数，f2（x）是参数为的指数分布的密度函数，已知，则（）。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷83(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷83(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，Sn＝X1＋X2＋...＋Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2， (X)A．有相同期望和方差．B．服从同一离散型分布．C．服从同一均匀分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1＋1，X2＋2，…，Xn＋n，…C．X1，2X2，…，nXn，…D．X1，X2， (X)正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计3．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n →∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的数学期望．B．有相同的方差．C．服从同一泊松分布．D．服从同一连续型分布，f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)．正确答案：C解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项A、B缺少同分布条件．选项D虽然服从同一分布但期望不存在，因此选C．知识模块：概率论与数理统计4．设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于Xn～B(n，)，且EXn＝np＝，DXn＝npq＝，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选C．知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}＝α，若P{X≤χ}＝1－α，则χ＝A．B．C．Fα(4，3)．D．F1－α(4，3)．正确答案：A解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1－α＝P{X≤χ}＝P{X＜χ}＝，所以＝F1-α(4，3)，即χ＝．因此选A．知识模块：概率论与数理统计6．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y ＝a(X1－2X2)2＋b(3X3－4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则A．n必为2．B．n必为4．C．n为1或2．D．n为2或4．正确答案：C解析：依题意Xi～N(0，22)且相互独立，所以X1－2X2～N(0，20)，3X3－4X4～N(0，100)，故且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)：(2)当a＝，b＝0，或a＝0，b＝时，Y～χ2(1)．由上可知，n＝1或2，即应选C．知识模块：概率论与数理统计7．设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则A．服从标准正态分布．B．Xi2服从自由度为n－1的χ2分布．C．n服从标准正态分布．D．(n－1)S2服从自由度为n－1的χ2分布．正确答案：D解析：显然，(n－1)S2服从自由度为n－1的χ2分布，故应选D．其余选项不成立是明显的，对于服从标准正态分布的总体，，n～N(0，n)．由于X1，X2，…，Xn相互独立并且都服从标准正态分布，可见Xi2服从自由度为n的χ2分布．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}＝1一d－α(0＜α＜1) ．若已知P{｜X｜＞χ}＝b(b＞0)，则χ等于A．t1-b．B．．C．tb．D．．正确答案：D解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知χ＞0．从而P{X≤χ}＝1－P{X＞χ}＝1－P{｜X｜＞χ}＝1－．根据题设定义P{X≤tα}＝1－α，可知χ＝．应选D．知识模块：概率论与数理统计填空题9．将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_______．正确答案：解析：以Xk(k＝1，2，3，4)表示第k次掷出的点数，则Xk独立同分布：P{Xk＝i}＝(i＝1，2，…，6)．所以EXk＝(1＋2+＋…＋6)＝，EXk2＝(1＋22＋…＋62)＝，DXk＝EXk2－(EXk)2＝．又由于X＝X1＋X2＋X3＋X4，而Xk(k＝1，2，3，4)相互独立，所以EX＝4×＝14，DX＝4×．因此，根据切比雪夫不等式，有P{10＜X＜18}＝P{－4＜X－14＜4}＝P{｜X －14｜＜4} ＝P{｜X－EX｜＜4}≥1－．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi＝μ，DXi＝8(i＝1，2，…，n)，则概率P{μ－4＜＜μ＋4}≥_______，其中正确答案：1－解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有E＝μ，．应用切比雪夫不等式，有P{μ－4＜＜μ＋4}＝P{｜－μ｜＜4}≥1－，即P{μ－4＜＜μ＋4}≥1－．知识模块：概率论与数理统计11．已知随机变量X与Y的相关系数ρ＝，且EX＝EY，DX＝DY，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X－Y｜≥}≤_______．正确答案：解析：由于E(X－Y)＝EX－EY＝0，D(X－Y)＝DX＋DY－2Cov(X，Y)＝DY＋DY－2.ρ＝所以P{｜X－Y｜≥知识模块：概率论与数理统计12．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于_______．正确答案：7／2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX＝21／6＝7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：概率论与数理统计13．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn＝X2n－X2n-1根据辛钦大数定律，当n→∞时Yi2依概率收敛于_______．正确答案：2σ2解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn＝X2n－X2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以{Yn2，n≥1}独立同分布且EYn2＝DYn＋(EYn)2＝2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时Yi2依概率收敛于2σ2．知识模块：概率论与数理统计14．设随机变量序列X1，Xn，…相互独立且都在(－1，1)上服从均匀分布，则＝_______(结果用标准正态分布函数Ф(χ)表示)．正确答案：Ф()解析：由于Xn相互独立且都在(－1，1)上服从均匀分布，所以EXn＝0，DXn＝，根据独立同分布中心极限定理，对任意χ∈R有取χ＝，得．知识模块：概率论与数理统计15．设随机试验成功的概率p＝0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α＝_______．正确答案：0．84解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n＝100，p＝0．20，且EX＝np＝20，＝4．由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理，知随机变量Un＝近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α＝P{16≤X≤32}＝≈Ф(3)－Ф(－1)＝Ф(3)－[1－Ф(1)]＝0．9987－(1－0．8413)＝0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．知识模块：概率论与数理统计16．设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2， (X)的联合概率密度f(χ1，χ2，…，χn)＝_______．正确答案：解析：总体X的概率密度f(χ)＝由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此f(χ1，χ2，…，χn)＝知识模块：概率论与数理统计17．设总体X～P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2， (X)的样本均值的概率分布为_______．正确答案：解析：由泊松分布的可加性可知，当X1，X2独立时，X1＋X2－P(2λ)，继而有X1，X2，…，Xn独立同为P(λ)分布时，Xi＝n～P(nλ)．于是，对任意n＞2，n的概率分布为P{n＝k}＝e－nλ，k＝0，1，2，…，而P{n＝k}＝，所以知识模块：概率论与数理统计18．已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)＝_______．正确答案：n解析：由χ2分布的典型模式χ2＝X12＋X22＋…＋Xn2＝Xi2知，E(χ2)＝E(χi2)，而χi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)＝D(Xi)＋[E(Xi)]2＝1＋0＝1，所以E(χ2)＝E(Xi2)＝n．知识模块：概率论与数理统计19．已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_______．正确答案：解析：记Y1＝X2＋X3，Y2＝X2－X3，则Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)＝E(Y1Y2)－E(Y1)E(Y2)＝E[(X2＋X3)(X2－X3)] ＝E(X22)－E(X32)＝σ2－σ2＝0，所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立．又由X1＋X2＋X3＝X1＋Y1～N(0，3σ2)，可知(X1＋X2＋X3)～N(0，1)，～χ2(1)，且X1＋X2＋X3与X2－X3相互独立，于是按t分布定义有知识模块：概率论与数理统计20．设总体X的密度函数f(χ)＝又，S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则E＝_______；D＝_______；ES2＝_______．正确答案：0，解析：由于E＝EX，，ES2＝DX，由题设有EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－11χ｜χ｜dχ＝0．DX＝EX2－(EX)2＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－11χ2｜χ｜dχ＝2∫01χ2dχ＝所以E＝0，，ES2＝．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
西安交大西工大 考研备考期末复习概率论与数理统计 区间估计
解 10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10时, 1 0.95,
2 查表得 u / 2 u0.05 1.645,
x
n u / 2
502.92
10 1.645 498.17, 12
E(ˆ ) 为估计量 ˆ 的偏差。
例1 设总体 X 的k 阶矩k E( X k ) (k 1)存在,
又设 X1, X2 ,, Xn 是 X 的一个样本，试证明不论
总体服从什么分布, k 阶样本矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
是
k 阶总体矩k的无偏估计.
证 因为 X1, X2 ,, Xn 与 X 同分布，
则 称 随 机 区 间[ˆ1,ˆ2 ]是 的 置 信 度 为1 的 置 信 区 间,ˆ1和ˆ2分 别 称 为 置 信 度 为1 的 双 侧 置 信 区 间 的置 信下 限和 置信 上限, 1 为置 信度.
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间[ˆ1,ˆ2 ]是随机的.
例5 若总体 X 的 E( X ) 和D( X ) 存在,则样
本均值 X 是总体均值的相合估计.
解：E( X ) E( X )
D( X )
lim D( X ) lim
0
n
n n
一般地,样本的 k 阶原点矩
Ak
1 n
n
X
k i
i 1
是总体 X
的 k 阶原点矩 E(X k ) 的相合估计.由此可见,矩
由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(大数定律与中心极限定理)【圣才出品
设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且 E（Xi）＝μ，Var（Xi）＝σ2＞0 存在，若记
Y n
X1 X2 X n n n
，则对任意实数 y，有
lim
n
P(Yn
y)
(
y)
1 2
y t2 e 2dt
2．棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p（0＜p＜1），记 Sn 为 n
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Var（Xi）≤c，i＝1，2，…，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，，nlim P(
Sn n
p
)
1
成立。
（2）马尔可夫大数定律
对随机变量序列{Xn}，若
1 n2
Var (
n i1
Xi)
0
，成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意
即 X n Yn P X Y 成立。
（2）先证
X
2 n
P
X
2
，∀ε＞0，δ＞0，取
M
足够大（譬如ε/M≤1），使有
P{|X|
＞（M-1）/2}＜δ成立，对于选择的 M，∃N，当 n＞N 时，有
P{|Xn-X|≥1}≤P{|Xn-X|≥ε/M}＜δ
此时
P{| X n X | M } P{| X n X | | 2X | M } P({| X n X | | 2X | M } I {| X n X | 1}) P({| X n X | | 2X | M }I | X n X | 1) P{| 2X | M 1} P{| X n X | 1} 2
U P( X
Y)
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概率论与数理统计考研复习题（8）
假设检验
1．某地早稻收割根据长势估计平均亩产310kg，收割时，随机抽取了十块，测得十块地
的平均亩产为320kg，如果早稻亩产的产量X服从正态分布)144,(N，试问所估的产
量是否正确？
2．自动装瓶机装酒，每瓶定重500克，标准差不超过10克，某天抽取9瓶，测得平均
重量为X=499克，标准差为16.03克。假设瓶装酒的重量服从正态分布，问这台机器工
作是否正常？（=0.05）
3．已知某炼钢厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,55.4(2N，现在测了
五炉铁水，其含碳量分别为4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37，问若标准差不变，总体平均值
有无变化？（=0.05）
4．电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔化时间，得到如下数据：
42，65，75，78，71，59，57，68，55，54
设整批保险丝的熔化时间服从正态分布，是否可以认为总体方差
)10.0(1222
？
5．已知动车床加工零件的长度服从正态分布),(2N，车床正常时，加工零件的长
度均值为10.5，经过一段时间生产后，要检验这车床是否工作正常，为此抽取该车床加
工的零件31个，测得数据如下：
零件长度
10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0
频数
1 3 7 10 6 3 1
若加工零件长度方差不变，问此车床工作是否正常？（=0.05）
6．某砖厂制成两批机制红砖，抽样检查测量砖的抗折强度（公斤），得到结果如下：
第一批：4.6,3.27,1011Sxn
第二批：8.3,5.30,812Syn
已知砖的抗折强度服从正态分布，试检验：
（1）两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异（=0.05）；
（2）两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异（=0.05）.
7．某大城市为了确定城市养猫灭鼠的效果，进行调查得：119养猫户中有老鼠活动的有
15户，418户无猫户中有老鼠活动的有58户，文养猫与不养猫对大城市家庭灭鼠有无显
著差异？（=0.05）.
8．设总体X~N（，1），从中抽取一个容量为16的简单随机样本，检验假设为
00:H，01
:H
。在检验水平=0.05下，如果检验的拒绝域为
R={)}2()(aXaX，求a与0的值.
9．在一个正20面体的20个面上，分别标以数0，1，2，3，．．．9，每个数字在两个面
上标出。为了检验其均匀对称性，工作了800次投掷试验，数字0，1，2，3，．．．9朝山
的次数如下：
数字
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数
74 92 83 79 80 73 77 75 76 91
问该20面体是否均称？（=0.05）
10．检查了一本书的100页，记录了各相中印刷错误的个数，其结果如下：
错误个数n
0 1 2 3 4 5 6 >=7
出现n个错误的页数
36 40 19 2 0 2 1 0
问能否认为一页的印刷错误的个数服从泊松分布？（=0.05）.