2017北师大版高中数学1.6《正切函数》word教案.doc

§6 正切函数（2课时）
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板
第一课时正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】
正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为 三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。

从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。

分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 我们称有向线段AT 为角α的正切线。

2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+
≠2
π
π
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： ()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛∈+≠∈=--=++=
+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且
∴⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈+
≠∈=z k k x R x x y ,2,tan π
π且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择⎪⎫
⎛-,ππ的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且
()z k k x ∈+≠
ππ
的图像，称“正切曲线”
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x ＝2
π
＋k π(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3．正切函数y ＝tanx 的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+
2
π
π，2
π
+π−→−k x 时，∞−→−x tan
当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→
−2
时，-∞−→−x tan 。

（3）周期性：π=T
（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。

（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】 同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。

在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？ 【探究新知】
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？
我们可以归纳出以下公式：π－α， tan(2π＋α)＝tanα tan(－α)＝－tanα tan(2π－α)＝－tanα tan(π－α)＝－tanα tan(π＋α)＝tanα 【巩固深化，发展思维】 例题讲评
【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1．若tan α＝3
2
，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

解：∵tan α＝
3
2
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝3
2
可知，角α终边上必有一点P （3，2）.
所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sin α＝
r y ＝13132， cos α＝r x ＝13
133.
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝
r y ＝－13132， cos α＝r x ＝－13
133. 例2．化简：
()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan
解：原式＝
()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()
αααααtan tan tan tan tan ---＝－αtan 1.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P45习题A 组1—11 四、课后反思。