编号46：用一元二次方程解决实际问题(5)
一元二次方程的实际运用(传播,变化率,单双循环,面积)
一元二次方程的实际运用一、本讲内容的教材地位一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型二、教学目标知识与技能：学会利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型。
过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
情感、态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
同时让学生在学习活动中培养合作精神和克服困难的勇气，从而使学生获得成功的体验，建立自信心。
三、重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
难点：将同类题对比探究，培养学习分析、鉴别的能力。
四、课时2小时五、教学环节安排（一）复习旧知，导入新课（二）师生合作，探究新知（三）自编自创，提升自我（四）课堂练习，巩固新知（五）归纳总结，知识升华（六）作业设计，延伸拓展六、教学过程（一）、复习旧知，导入新课俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能帮助学生复习旧知识，并起到激发兴趣的作用。
因此我们用学生已学的知识提出问题：列方程解应用题的一般步骤有几步？哪几步？（二）、师生合作，探究新知1、传播问题传播问题虽学生常见，但数量关系较为抽象，所以从谚语入手，让学生有感性认识：“一传十、十传百、百传千千万”在此基础上以学案为载体出示一下问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：让学生计算三轮后患流感的人数，使学生认识到传染病的危害性。
体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
问题：1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x人，则第一轮后，共有个人患了流感。
每每问题(用一元二次方程解决实际问题)
每每问题（用一元二次方程解决实际应用问题）基本公式：（1）单件利润=单件定价+单件进价（2）总利润=单件利润×卖出件数（3）总利润=卖出钱数-进货钱数习题应用：1.某水果批发商购进每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱；但若价格每箱再高一元，平均每天少销售3箱，要想平均每天获得900元的利润，销售价钱应该定为多少元？2.新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调查表明，当销售价定为2900元时，平均每天售出8台，而当销售价每降50元时，平均每天多销售4台，商场要使这种冰箱的销售利润达到5000元，每台冰箱应降价多少元？3.某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月可售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨一元，其销量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？4.某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批西瓜，以3元/kg的价格销售，每天可售出200kg，为了扩大销量，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种西瓜每降价0.1元/kg，每天就可多售出40kg，另外每天的房租等固定开支共计24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克西瓜的销售价降低多少元？5.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价60元出售，那么每天可售出50个，根据销售经验，售价每降低5元，销售量相应的增加10个，要想获得每天700元的利润，应降价多少元？6.水果批发商经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价钱不变的情况下，若每千克再涨价一元，日销售量减少20千克，现在将该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，平均可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？。
23.2.5_一元二次方程的解法(五)应用题1
23.2.5一元二次方程的解法(五)教学目标1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、培养学生数学应用的意识。
研讨过程一、复习旧知，提出问题1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。
2、用多种方法解方程22(31)69x x x -=++二、解决问题请同学们先看看Ｐ18页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程2109000x x +-=，同学谁能解这个方程吗？ 口答结果：x 1= x 2= ,提问：1、所求1x 、2x 都是所列方程的解吗？2、所求1x 、2x 都符合题意吗？说明了什么问题？我们应把实际问题转化为数学问题来解决，求得的方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。
（作为应用题，还应作答）。
三、例题例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
分析：设截去正方形的边长x 厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，S 底面= 。
解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得解方程得经检验， 不符合题意，应舍去，符合题意的解是答：截去正方形的边长为 厘米。
合作交流：列一元二次方程解应用题的步骤： 。
三、课堂练习1.学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？2.用一块长80cm 、宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为xcm 的小正方形，然后做成底面积为1500cm 的无盖长方体盒子。
为求出x ，根据题意，列方程并整理得（ ）A 、x 2-70x+825=0B 、x 2+70x-825=0C 、x 2-70x-825=0D 、x 2+70x+825=03.要用一条长为24cm 的铁丝围成一个斜边长为10cm 的直角三角形，则两条直角边的长分别为（ ）A 、4cm ，8cmB 、6cm ，8cmC 、4cm ，10cmD 、7cm ，7cm课后延伸：（典型习题）1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为x 米，根据题意，得答：本方案的道路宽为 米． ⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为x 米，根据题意，得答：本方案的道路宽为 米． ⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．解：设道路宽为x 米，根据题意，得答：本方案的道路宽为 米． 四、小结让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。
每每问题(用一元二次方程解决实际问题)
练习：
1.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单 价60元出售，那么每天可售出50个，根据销售 经验，售价每降低5元，销售量相应的增加10 个，要想获得每天700元的利润，应降价多少 元？
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施， 经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，平均 可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元， 每件衬衫应降价多少元？
在进货价钱不变的情况下，若
每千克再涨价一元，日销售量 减少20千克，现在将该商场要 保证每天盈利6000元，同时又
要使顾客得到实惠，那么每千 克应涨价多少元？
单件利润×卖出件数=总利润
解：设每千克水果应涨价x元， 依题意得方程： (10+x) (500-20x)=6000， 整理，得x2-15x+50=0， 解这个方程，得x1=5，x2=10． 要使顾客得到实惠，应取x=5． 答：每千克水果应涨价5元．
3.某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一
批西瓜，以3元/kg的价格销售，每天 可售出200kg，为了扩大销量，该经
营户决定降价销售，经调查发现，这 种西瓜每降价0.1元/kg，每天就可多 售出40kg，另外每天的房租等固定开 支共计24元，该经营户要想每天盈利 200元，应将每千克西瓜的销售价降 低多少元？
利润，销售价钱应该定为多少 元？
单件利润×卖出件数=总利润
解：设售价为x元，根据题意可 得： （x-40）[90-3×（x-50）]=900， 整理可得：x2-120x+3500=0， 解答得：：销x售1=价70钱，应x2该=5定0，为70元或 50元时，平均每天获得900元 如果每千克盈利10元，每天可 售出500千克，经市场调查发现，
一元二次方程应用题(传播问题)
共有121人患了流感探,究每,你轮对传类染似中的平传均播一
个人传染了几个人问? 题中的数量关系有
分 析
1
第一轮传染 后
第二新轮的传认染后识吗?
1+x
1+x+x(1+x)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_(_x_+_1_) 人患了流
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将 会有2187人患甲型H1N1流感
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干 又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的 总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x
个小分支,
小 分
小 分
……
小 分
小 分
…… ……
则1+x+x●x=91
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感?
121+121×10 =1331人
你能快 速写出
吗?
练习：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型 H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人 患甲型H1N1流感？
分析：第一天人数+第二天人数=9，1 x x(1 x) 9
解：设每天平均一个人传染了x人。
1 x x(1 x) 9 既 (1 x)2 9
解得：x1 4 （舍去）
x2 2
9(1 x)5 9(1 2)5 2187 或 (1 x)7 (1 2)7 2187
第06讲实际问题与一元二次方程(7种题型)(解析版)
第06讲实际问题与一元二次方程（7种题型）1.能运用一元二次方程解决实际问题.（重点）2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）知识点1：列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法题型1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb +=(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -=(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)题型2：面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.题型3：比赛统计问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环．题型4：传播问题传播问题：(1)na x A+=，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．题型5：销售利润问题利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数题型1：增长率问题例1．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5%B．10%C．20%D．21%【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可．【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增长率为10%．故答案为：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．例2．（2021•盐城）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为．【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），则列出的方程是300（1+x）2＝363．故答案是：300（1+x）2＝363．【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．题型2：面积问题例3．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例4．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，长方形花圃ABCD 面积为24m ，它的一边AD 利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m ．EF 处开一门，宽度为1m ．设AB 的长度是m x ，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．()524x x -=B ．()5124x x +-=C ．()5214x x --=D ．()2.54x x -＝【答案】B 【分析】根据题意可知，栅栏的总长度是5m ，门宽度为1m ，则三边的总长度是6m ，根据长方形的面积公式，列出方程即可．【详解】解：设AB 的长度是m x ，则BC 的长度是()512m x +-，列出方程为：()5124x x +-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形的面积公式列出方程．例5．（2022•泰州）如图，在长为50m 、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m 2，道路的宽应为多少？【分析】要求路宽，就要设路宽应为x 米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．【解答】解：设路宽应为x 米根据等量关系列方程得：（50﹣2x ）（38﹣2x ）＝1260，解得：x ＝4或40，40不合题意，舍去，所以x ＝4，答：道路的宽应为4米．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．题型3：比赛统计问题例9．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x 人，可列方程为____________________．【答案】()11100x x x +++=【分析】由每轮传染中平均一个人感染x 人，可得出第一轮传染有x 人被传染，第二轮传染有(1)x x +人被传染，结合经过两轮传染后共有100个人感染，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解： 每轮传染中平均一个人感染x 人，∴第一轮传染有x 人被传染，第二轮传染有(1)x x +人被传染．依题意得：1(1)100x x x +++=．故答案为：1(1)100x x x +++=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例10．（2022秋·江苏连云港·九年级阶段练习）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x 人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x 的值为___________．【答案】7【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意得：()221128x =+，解得：1279x x ==-，（不合题意，舍去）．故答案为：7．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系列出方程是关键．题型5：销售利润问题例11．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产38件，每件的利润为12元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x ，若该产品一天的总利润为756元，求这天生产产品的档次x 的值．【答案】这天生产产品的档次x 的值为6【分析】设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x ，则每件产品的利润为123(1)(93)x x +-=+元，一天可生产382(1)(402)x x --=-件，根据题意得，(93)(402)756x x +-=，进行计算即可得．【详解】解：设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x ，则每件产品的利润为123(1)(93)x x +-=+元，一天可生产382(1)(402)x x --=-件，根据题意得，(93)(402)756x x +-=，整理得，217660x x -+=，(6)(11)0x x --=解得，16x =，211x =（不符合题意，舍），即这天生产产品的档次x 的值为6．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确的列出一元二次方程．例12．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．．．．．．，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．(1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；(2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【答案】(1)1250元(2)20元【分析】（1）根据题意“每天可售出20件”和“假设在一定的范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件”，得到答案；（2）设衬衫的单价降了x 元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润1200=，根据等量关系列出方程即可．【详解】（1）当单价降了15元时，盈利为()()4015202151250-+⨯=(元)，答：这批衬衫每天盈利1250元．（2）设衬衫的单价降了x 元．由题意得：()()402021200x x -+=，解得：120x =，210x =，要尽快减少库存，20x ∴=，答：衬衫的单价降了20元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是由题意找到等量关系并列出方程．例13．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：()21a x b +=，列式计算即可；（2）利用总利润=单件利润⨯销售数量，列方程求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x ，由题意得：()22561400x ⨯+=，解得：0.25x =或 2.25x =-（舍）；∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）解：设降价y 元，由题意得：()()402540054250y y --+=，整理得：2653500y y +-=，解得：5y =或70y =-（舍）；∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．题型6：图表信息题例14．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）A．2s B．2s 【答案】B【答案】55+，55-或2【分析】根据运动特点先求出(2Q t ()22624BQ t =-+，222PQ t =；再根据直角三角形的特点，分类三种情况讨论即可作答．【详解】根据运动特点可得：OQ =一、单选题1．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ，若设道路的宽为m x ，则所列的方程为（）A ．2322032202570x x x ⨯--+=B ．322032220570x x ⨯--⨯=C ．(322)(20)570x x --=D ．(32)(202)570x x --=A ．()()322242--x x C ．()()13224x x --=【答案】A【分析】用含x 的代数式表示出花圃的面积，再根据题中所给等量关系列出等式即可．【详解】解：由图可知，花圃的的长为 花圃的面积与四周绿地的面积相等，∴花圃的面积等于整块土地面积的∴()()322242--=x x 故选A ．【点睛】本题考查列一元二次方程，积的12．3．（2023秋·江苏无锡·2022年的新注册用户数为A ．212302xx -⋅=C ．2121302x x --⋅=【答案】B【分析】解：设AD 的长为【详解】解：设AD 的长为2121302x x -+⋅=，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二、填空题5．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）为建设美丽句容，改造老旧小区，我市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率____．【答案】20%【分析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，利用2022年投入资金金额＝2020年投入资金金额×()21x +，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，依题意得：()2100011440x +=，解得：10.220%x ==，1 2.2x =-（不合题意，舍去），∴该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．6．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步?设矩形的宽为x 步，由题意，可列方程为____________．【答案】()12864x x +=【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为()12x +步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为()12x +步．依题意，得：()12864x x +=．故答案为：()12864x x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2021秋·江苏常州·九年级统考期中）已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为___．【答案】6或-5【分析】设这个数为x ，根据题意，列出一元二次方程，进而即可求解．【详解】解：设这个数为x ，根据题意得：x 2-30=x ，解得：x =6或x =-5，故答案是：6或-5．【点睛】本题主要考查一元二次方程，根据题意，列出方程是解题的关键．8．（2021秋·江苏苏州·九年级校联考期中）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x 元，可列出方程为__________________．【答案】（30﹣x ﹣10）（20+2x ）＝450【分析】首先设每件应降价x 元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程．【详解】解：设设每件应降价x 元，则每件定价为（30﹣x ）元，根据题意，得：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程．三、解答题(1)如果P，Q分别从一、单选题1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．()2501182x +=B ．()50501182x ++=C ．()()2501501182x x +++=D ．()()250501501182x x ++++=【答案】D【分析】根据平均每月的增长率分别求出该厂五、六月份生产零件的个数，再根据四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个即可列出方程．【详解】解：由题意得：该厂五月份生产零件的个数为()501x +个，六月份生产零件的个数为()()()25011501x x x ++=+个，则可列方程为()()250501501182x x ++++=．故选：D ．3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x 人，可列方程为____________________．【答案】()11100x x x +++=【分析】由每轮传染中平均一个人感染x 人，可得出第一轮传染有x 人被传染，第二轮传染有(1)x x +人被传染，结合经过两轮传染后共有100个人感染，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解： 每轮传染中平均一个人感染x 人，∴第一轮传染有x 人被传染，第二轮传染有(1)x x +人被传染．依题意得：1(1)100x x x +++=．故答案为：1(1)100x x x +++=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）如图，在一块长32m 、宽24m 的矩形荒地上，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为m x ，所列方程式是【答案】2或48．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．(1)求平均每天植树的增长率？(2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？【答案】(1)40%(2)109棵CQ=解得：20m =．答：该商品的进价是20元；（2）依题意得：()()20105002000x x --+=，整理得：27012000x x -+=，解得：123040x x ==，．答：该商店需将商品的售价定为30元或40元．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
用一元二次方程解决问题(含答案)
4.3用一元二次方程解决问题（1）目标导航：知识要点：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．学习要点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．基础巩固题1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．37B．5 C．38D．74、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm26、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？九 年级 练数 学 习同步9、如图，在ΔABC 中，∠B=90º，AB=4cm ，BC=10cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以1cm/s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1？AB P C思维拓展题10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。
一元二次方程实际应用题
一元二次方程实际应用题
一元二次方程应用题
题目一：物体自由落体问题
1.已知一个物体从高度为ℎ的位置自由落下，经过t秒后着地。
设重
力加速度为g，求ℎ与t的关系式。
2.如果ℎ=100米，g= m/s2，求着地所需的时间。
题目二：公式推导
1.已知一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，请推导出其
求根公式。
2.使用上述求根公式，求解方程2x2+3x−5=0的解。
题目三：抛物线问题
1.一个喷泉的水柱呈抛物线形状，已知喷泉的高度ℎ，以及抛物线
的顶点坐标(x0,y0)，求抛物线方程。
2.如果ℎ=10米，(x0,y0)=(5,8)，求抛物线的方程。
题目四：面积计算
1.已知一个矩形的长度为x米，宽度为y米，求矩形的面积。
2.如果x=5米，y=3米，求矩形的面积。
题目五：速度问题
1.一辆汽车以匀速v米/秒行驶，已知在t秒内行驶的距离为d米，求
速度v和时间t的关系式。
2.如果d=500米，t=50秒，求速度v。
题目六：投射问题
1.炮弹从地面发射，抛物线方程为y=ax2+bx+c，已知炮弹落
点与发射点水平距离为d，求抛物线方程的系数a、b和c。
2.如果d=100米，求抛物线方程。
以上为一元二次方程的一些常见应用题，希望能对你的命题工作有所帮助！。
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常州市中天实验学校八年级数学学案NO.46
用一元二次方程解决实际问题（5）
一．学习目标：班级：姓名：
能找到销售类问题中的等量关系并利用等量关系列出一元二次方程解决问题.
二．自学指导：
例1．某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5
元出售，其销售量就将减少100件，如果商店销售这批服装要获利润12000元，那么这种服装售价应定
为多少元？该商店应进这种服装多少件？
例2．某商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售
量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件．商店希望每天利
润为640元且价格尽可能惠及顾客，那么应将每件商品的售价上涨多少元？
三．自学检测：
1．在圣诞节前夕，几位同学到某文具店调查一种进价为2元的圣诞贺卡的销售情况，每张定价3元，每
天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过
商品进价的240%．据此，请你解答下面问题：要实现每天800元的利润，应如何定价？
2．某山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后
来经过市场调查发现，若单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核
桃要想平均每天获利2240元，请解决下面的问题：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？