实际问题与一元二次方程的应用
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。
在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。
一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。
在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。
设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。
通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。
此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。
二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。
例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。
抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。
通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。
这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。
三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。
而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。
考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。
当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。
通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。
而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。
实际问题与一元二次方程-(含答案)
实际问题与一元二次方程-(含答案)实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似。
都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题时，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
主要研究下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下，列方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答六个步骤。
找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。
2.一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。
知识链接点击一：列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力。
列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程。
概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：1) 审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系。
2) 设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)。
3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程。
4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值。
5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去。
6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称。
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。
点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。
一元二次方程与实际问题
一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。
它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。
一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。
1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。
重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。
通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。
整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。
2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。
例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。
这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。
通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。
3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。
例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。
通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。
这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。
以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。
通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。
如何应用一元二次方程解决实际问题
如何应用一元二次方程解决实际问题2023年了，科技的进步让我们生活变得越来越便利，但是，这并不意味着我们可以忽略数学的重要性。
我相信，你有时会感觉到，自己学习的数学知识似乎与现实生活脱离很远，但实际上，数学无处不在，特别是一元二次方程这样的高中数学知识，可以在我们日常生活中实际应用。
一、解决物理问题在实际生活中，我们经常会遇到需要计算物理问题的情况，如汽车加速、弹射物的运动等等。
这些问题的解决涉及到大量数学计算，其中往往就包含了一元二次方程。
例如，当我们要计算一名物体从山顶滑落到地面所需要的时间时，就需要用到一元二次方程来解决。
假设物体滑落的距离为d（米），山顶到地面的距离为h（米），物体的初始速度为v（米/秒），由于物体只受到重力的作用，所以物体在下落的过程中受到的力可以表示为mg（牛），即物体质量m（千克）乘以重力加速度g（米/秒²）。
根据牛顿第二定律，物体所受的力等于其质量乘以加速度，即F=ma。
因此，物体的加速度可以表示为g=mg/m=a。
物体在下落的过程中，其速度随时间递增，加速度不变，因此，可以表示为v(t)=v+at。
当物体从山顶滑落到地面的时候，其速度为0，即v(t)=0。
那么，t可以表示为：t=(-v+sqrt(v²+2gd))/g。
由此，我们就可以通过一元二次方程来计算这个时间。
二、解决金融问题随着社会的发展，投资和理财已经成为越来越多人的关注点。
对于许多人来说，理财不仅仅是理财，还关系到生活的方方面面。
而投资的一个关键是考虑回报率。
在这个问题上，一元二次方程也发挥了重要作用。
假设你投资了一个项目，希望在三年内获得10%的回报率，如果初始投资金额为X元，那么三年后得到的金额就可以表示为：A=X （1+r）³。
其中，r是回报率。
我们可以通过解一元二次方程来计算出最终金额和初始投资金额之间的关系。
例如，如果我们知道最终金额和回报率，就可以反推出初始投资金额。
实际问题与一元二次方程题型归纳总结
实际问题与一元二次方程题型归纳总结实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
1.审清题意，弄清已知量与未知量；2.找出等量关系；3.设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4.列出一元二次方程；5.求出所列方程的解；6.检验方程的解是否正确，是否符合题意；7.作答。
二、典型题型1、数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练：1.两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2.一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。
25 B。
36 C。
25或36 D。
-25或-362、传播问题公式：(a+x)=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2n(n-3)例4：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。
22.3实际问题与一元二次方程(第一课时)
是同一场比赛,所以全部比赛共 即
1 x( x 1) 28 2
化简:得
1 x( x 1) 2
场.
2 x 56 0 x
?
探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有
121人患了流感,每轮传染中平均一个人 传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 X+1 人患了流感,第二轮后共有x(x+1) 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121
x
∴(1 x)2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
20％ ．
例1. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银 行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求 这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x2+2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
一元二次方程的应用解决生活中的实际问题
一元二次方程的应用解决生活中的实际问题一元二次方程在数学中是非常重要的一部分，它不仅在学术领域有广泛的应用，而且在生活中也能帮助我们解决实际问题。
本文将通过具体的例子来论述一元二次方程在生活中的应用，以及如何通过解方程来解决这些实际问题。
案例一：物体自由落体问题假设一个物体从高楼上自由落下，我们希望求解物体的下落时间和落地时速度。
根据物理学的知识，自由落体的运动可以用一元二次方程来描述。
假设物体从高度h开始下落，下落的时间为t，重力加速度为g，那么物体在t时刻的下落距离可以表示为s=gt²/2。
另外，由于物体在落地时速度为0，所以可以将方程表示为h=gt²/2，并且g是已知的常数。
现在，我们需要求解t和h的值。
解法：将方程h=gt²/2变形为gt²-2h=0，这是一个一元二次方程。
根据二次方程的求根公式，可以得到t的取值为t=√(2h/g)。
这样，我们就可以根据物体的下落高度来求解下落时间。
案例二：图像传输问题假设我们需要将一个图像通过无线信号传输到远处的显示器，但信号传输会有一定的损耗，导致图像失真。
我们希望找到一个合适的算法来校正损失的图像。
为了简化问题，假设该图像是由一个二次函数y=ax²表示，其中a是已知的常数。
现在，我们需要找到一个一元二次方程来校正图像的损失。
解法：假设原始图像为y=ax²，经过无线传输后的图像为y'=bx²，其中b是未知的常数。
我们可以将这两个图像的差值表示为Δy=y'-y，即Δy=(bx²)-(ax²)=(b-a)x²。
我们希望通过一元二次方程来表示这个差值。
将损失的图像表示为y=ax²+Δy，可以得到一元二次方程y=ax²+(b-a)x²。
现在，我们需要求解b的值，进而校正图像的损失。
通过以上两个案例，我们可以看到一元二次方程在解决生活中的实际问题中有着广泛的应用。
九年级数学实际问题与一元二次方程应用举例
1、已知关于x的方程 ( a2 – 3 ) x2 – ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数， 求a的值.
2、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得 方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?
二、一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数
量关系； （2）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设； （3）寻找数量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方 程两边的代数式的单位相同； （4）选择合适的方法解方程； （5）检验。
因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能 为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要 进行检验． （6）写出答语。源自； 空包网 空包 单号网 ；
水利概况编辑 [22] 鸡豆凉粉 河宽40米 最大流量8410立方米 06万平方公里 用鸡豆做成的凉粉称作鸡豆凉粉 在长时间和特定的区域里对纳西民族的发展产生了巨大的影响 经沙桥、廖村 01% 抹上化油 1978年实灌面积11960亩 二塘乡銮塘 现代水文定义为兴安县溶江镇灵渠口 7米 为俄国作家顾彼得在丽江古城期间租住工作生活的民居 药王节 1984年和1985年水质又变差 大肠杆菌群数猛增 18.海拔2416米 所属国家中国 手道丽江民间手工艺术馆 流经扶南乡境内 经江背底 暗沟长200米 元代至元二十四年 位于三街镇车上冲村南 6.丽江古城 29亿元 ?努 力克服财政收支矛盾十分突出问题 州 二氧化硫排放总量5270吨;丽江白沙壁画景区 3A 丽江文笔山景区 3A 丽江少数民族 1983年与1982年的情况相同 2009年9月列为云南省爱国主义教育基地 1 [2] 比较常见的形式有
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《实际问题与一元二次方程的应用》说课稿尊敬的各校评委、各位老师：大家好！我是永靖县第六中学的数学教师张红红，今天我说课的内容是人教版九年级数学第二十三章实际问题与一元二次方程应用的第二课时，下面我谈一下，我对这部分教材的理解、以及自己课后的一点体会。
一、教材分析1、教材的地位与作用一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要的数学模型。
本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的学习和研究，体现数学建模的过程，帮助学生形成应用意识，其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。
由于列出一元二次方程解应用题及应用相当广泛，在几何，物理及其它学科中都有大量的问题存在；因此，它是学习的重点。
本节课侧重于几何方面的应用，现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是，不会将实际问题提炼成数学问题，鉴于学生比较缺乏社会生活经历，搜集信息，处理信息的能力较弱，由此，这些是本节课的难点。
而用一元二次方程解应用题的数量关系也比用一元一次方程解应用题的数量也要复杂一些，根据教学大纲的要求，以及本节教材的内容和九年级学生的认知特点，我这样设定了教学目标。
2、说教学目标知识方面：以一元二次方程解决的实际问题为载体，让学生初步掌握数学建模的基本方法。
能力方面：通过对一元二次方程的应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其它学科中可以用一元二次方程来解决的实际问题，并能用正确的语言表述问题、及其解决过程。
情感与态度方向：通过建模分析思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐中，培养用数学的意识。
二、说学情分析教学对象，方法及手段分析，本课时的教学对象是九年级的学生，他们具有一定的认知能力，但是在搜集，处理信息的能力还比较有限；我所带的班的学习基础较好，鉴于此，本节课以体现从具体的问题中抽象出数学问题，从而建立数学关系式，获得合理的解答，理解并掌握相应的数学知识与技能，让学生经历有意义的学习过程，教学中力求体现，从问题情景到建立数学模型，到解释应用与拓展的模式；借助于多媒体辅助教学，帮助学生尽快找到实际问题与数学模型之间的切入点，这样可以让学生，在现实生活的问题的情形中感受数学建模的意义。
三、说教学流程通过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性的解决问题，有效的发展学生的思维能力，过程如下：新研究表明，外部刺激占据主体的情感活动时，就更容易成为记忆的中心。
由此，我是这样创设情景，引入自己的新课：在信息时代，邮政特快专递越来越受到广大用户的青睐，我们班同学想要给“希望小学”邮寄一些学习用品，为了保证学习用品不受潮损坏，同学们决定自己制作一个包装盒。
为此选用长80cm、宽60cm的纸板，在四个角截取四个大小相同的正方形，然后把四边折起，做成一个底面积为15002cm的无盖长方体盒子，并配上相应的盖子，同学们想一想怎样求出盒子的高？首先，让学生们拿出事先准备好的长方形纸板，通过学生实践操作和课件演示，让学生认识到，在长方形纸板的四个角上，截取四个大小相同的正方形，然后把四边折起来的做法，可以做成一个无盖的长方体盒，要求大家比较一下，同学们所做的形状各异的无盖的长方体盒，让他们自己谈谈有什么发现。
同学们可以感受到，如果截取的正方形边长发生变化，那么，盒子的高、底面积也将随之而发生变化，通过这样的方式，学生不难发现，截取的正方形的边长就是盒子的高，在将问题具体化，那么我现在要求是，要做成一个底面积是15002cm 的长方体盒，怎样求出盒子的高呢？同学们就意识到了，将无盖长方体盒重新展开，会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题中提炼出数学问题，有了这样的铺垫，学生不难列出如下方程：80(=--xx)(2)1500602学生在解答问题的过程中会发现有些根是方程的根，但不一定符合题意，教师给予充分的肯定，进一步强调指出，要结合题目的已知条件，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题。
新课采取这样的方式引入，原因在三：第一，使得传统的教学内容更具有时代感，能迅速激发学生参与学习的兴趣；第二，让学生发现，生活中有些实际问题，是可以通过，列一元二次方程来解决的从而顺利的引入新课；第三，为我们这节课抽象出两个含有未知数的一次式的乘积，等于一个常数这个一元二次方程的模型做一个铺垫，启发探究建立模型。
用22cm长的铁丝，折成一个是面积是302cm矩形，求这个矩形的长与宽是多少？首先引导学生简略回忆一下列方程解应用题的步骤。
教学实践表明学生解答此题难度不大，在此基础上，对长度固定的铁丝，折成矩形的问题做进一步的探究，课件演示，长度固定的铁丝，折成形状不同的矩形的过程。
这里我设计了三部这样的动画，让学生仔细观察，相互讨论，并谈一谈他们的体会。
有学生说我发现铁丝的长度就是矩形的周长；又有学生说，周长相等的矩形，面积可能不想等；还有学生说，当长与宽的差越小时，矩形的面积越大，当长与宽的差越大时，矩形的面积越小，教师充分肯定学生的这些体会，紧接着问，用22cm长的铁丝，能不能折成面积是322cm矩呢？学生们立刻就有了反响，有学生说：不行，因为列方程发现，Δ﹤0；有学生说：根据我们刚才的体会，应该是折成正方形的面积最大，也就是当长和宽都是 5.5cm时，这时候计算的面积30.252cm的矩形。
我认为例题采用这样的方式cm，所以不能折成面积是322讲解，让学生经历从具体的情景中抽象出一元二次方程模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，即起到了升华例题的作用，又复习了根的判别式的知识，还培养了学生的推算能力，还让学生感受到了函数的最值和极限的思想。
紧接着，配备了这样一道练习：如图，有一面积为150㎡的鸡厂，鸡厂的一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m,求鸡厂的长与宽，如果墙的对面开一扇2m 门，竹篱笆的长为33 m ，此时鸡厂的长与宽又是多少呢？此题中，竹篱笆的长度不在是长方形的周长，而是三边之和，做完练习后，让学生观察，刚才所做几道题所列方程的形式，结合课本上的某一类练习，如两个连续整数的积是210，求这两个数是多少？让学生感受到应用的广泛性，以往学生发现，这些题所列方程的形式，均是两个含有未知数的一次式的乘积，等于一个常数，1、30)(222=-x x2、32)(222=-x x3、150)235(=-x x4、210)1(=+x x这其实就是我们这节课抽象所的一元二次方程式的模型，我认为通过这样的设计，体现了学习不是占有别人的知识，而是为了增长自己的知识这种现代的教育观。
练习反馈应用拓展，在这个环节，我编了一道美化校园的应用题，它保留了课本上应用题的数据，而将文字做了适当的修改，我觉的将学生置于学校的生活环境当中，他们会觉的更加亲切，熟悉，参与性更强，题目是这样设计的：学校为美化校园，准备在长32m，宽20 m的长方形场地上，修筑同样宽的若干条相互垂直的或平行的道路，余下的部分做草坪，要求草坪面积为540㎡，你能帮助学校设计一套方案吗？请展示你的设计，并计算一下设计方案中道路的宽分别为多少米？这道练习具有具有一定的开放性，教师要求学生充分互相讨论、合作交流，题目一出，学生们表现出了浓厚的兴趣，七嘴八舌的讨论起来，大多数学生首先拿出的设计如图一：他们的理由很简单，他们看到课本有道习题跟这道练习非常相似，参照课本想到了这种设计，观察图形学生不难发现，草坪的面积应该等于，场地面积减去道路面积，从而列出如下方程：设道路的宽为xm,列方程得：--xx⨯x205402032+322=马上有学生拿出如图二的设计他说，图一太刻板了，图片二中的不对称图形显得更活泼一些，他列的方程更刚才是一致的，老师就问，你如何得到的方程？他说，你把你把图一的道路平移一下，就可以得到图二，教师紧接着问，那么道路的位置与道路的面积有关吗？除了这两种设计，大家还没有没其它的设计方法？有学生发现说了：我发现无论道路的位置无论在那里，我们都可以将分隔开的四块草坪看成一个整体，教师充分肯定学生的这种思想，一些看图理解有些困难的学生，课件配以动画演示，让学生认识到，道路的面积只与道路的形状有关，而与道路的位置无关，由此，为了验证问题的的方便，我们可以将道路移动到场地的边缘，对学生渗透，划归的思想，也许这种思想我们可以列出这样的方程：设道路的宽为xm,列方程得：(=-x-x30540)()20在众多的设计方案中，有学生拿出了，如图三，图四的设计，教师抽取了这两种设计方案,要求学生计算一下道路的宽，其中方案三的方法与方案一类似，方案四的解决方法与开头提出的问题类似，通过这几种方法的解决，可以强化本节课的学习内容。
同学们在经历了这种自主探索，交流的设计过程中，也发现了一些问题，如有学生设计了如图五，图六的设计等方案发现以现有的条件，不能计算出道路和宽，教师这时候指出，有些方案我们可以通过列一元二次方程来解决，但是有些方案依靠我们现在的知识暂时还不能解决，而有些方案则需要同学们自己当设计师按照自己的意图，结合设计美观合理性，附加一些条件，再来解决，课堂上暂时没有讨论完的设计方案，大家在到课下在去研究讨论，这个环节。
抓住这个具有实践性，开放性的问题情景，通过学生自主探索，合作交流产生了积极的情感体验，激发了学生从多角度去思考问题，学生也体会到了在解决问题的过程中与他人合作的重要性，通过对解决问题的过程的反思，获得了解决问题的经验，充分发挥了学生的主体地位，有效的培养了学生的创新精神，同学间的互助精神也得到了发扬。
小结归纳,上升理性，这个环节，师生共同合作小结，发现了以下几点需要注意：1、用一元二次方程解决有关面积问题，均可借助图示法加以分析，搞清已知量和未知量之间的关系。
2、用一元二次方程解决几何问题，常要用到该几何图形的有关性质和定理，以便找到方程所需的相等关系。
3、要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的两个根的取舍问题。
4、两个含有未知数的一次式的乘积等于一个常数，这是我们这节课抽象出的一元二次方程的模型。
最后是布置作业的环节，这个环节教师设计了两道思考题：1、继续完善道路的设计方案。
2、你能否做一次社会调查，自己编一道和实际生活有关的一元二次方四、几点思考创设富有挑战性，具有现实意义的问题情景，使学生感到课终而思无尽，数学基石来源于生活实际，而生活本身又是一个巨大的数学课堂，学生通过实践，获得直接认识来应征书本知识，同时又加深和巩固了对书本知识的理解。