一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数

学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解

外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾

股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。

我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、

一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程，

哪些是一元二次方程？；（1）（2）；

（3）；（4）；22222（5）；

（6）；（7）（8）；

x注意点：①

二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整

式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。

m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的

值为。2例3：若方程是关

于x的一元二次方程，则m的取值范围

是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，

则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般

形式：，它的特征是：等式左2边是一

个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中

叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫

做一次项系数；叫做常数项。bxb c2例1：方程的一次

项系数是，常数项是。2例2：

（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形

式20(0)后，一次项和常数项分别是；

22例3：一元二次方程化为一般式

后为，试求的值的算术

平方根？（二）、方程的解：使方程两边相等

的未知数的值，就是方程的解。（简而言之：将该方

程的解，代入原方程可以得到一个等式）2例1：（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a≠0）

的解是，则的值是。22

例2：（2012•鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值

为（）A．3 B．-3 C．9 D．-9 例3：关于x的一元二次方程的一个根

为0，则a的值

为。2例4：已知方程的一根是2，则k为，

另一根是。（三）解一元二次方程

的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；

④公式法

2①直接开方法：

对于，等形式均适用直

接开方法例1、解

方程： =0;

例2、若，则x 的值为 。

下列方程无解的是（ ）

A. B. C. D. ②配方

法：

在解方程中，多

不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 2例1：试用配方法说明的值恒大于0。

例2：已知x 、y 为实数，求代数式的最小值。

y 22，x 、y 例3：已知为实数，求的值。

x 2例4：若，则t 的最大值为 ，最小值为 。 ③公式法： 2条件： 且 2, 且

2a 3

22例1：（1） （2）；； （3）

因式分解法：

或

十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 如， ，

例1：的根为（ ）

122522

例2：方程的解为（ ） ，x ，x ，x ，x A. B. C. D.

2例3：解方程：

例

4：已知,且,则的值为 例5:选择适当方法解下列方程：

⑴⑵⑶.2

⑷⑸

四、专项训练：（一）整体思想：

整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，

把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问

题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑例

1：若，则4x+y= 。222222例

2：。则例3：若，则x+y=

4

22例4：若，，则x+y= 。22

例5：已知的值为2，则= 2例

6：（苏州市）若，求的值？（二）

降次的思想：通过变形，把高次项逐步转化为一次

式或常数,从而达到降次的目的32例1：解方程

例2：如果，那么代数式的值。

a例3：已知是一元二次

方程的一根，求的值。例4：解方程

组（三）当一元二次

方程的解为“1”或“-1”时2对于一元二次方程的一般形

式（），如果有一个根为1，则；如果

有一个根为-1，则；反之也成立；

巧求方程的解：① ②