实际问题与一元二次方程的几种常见模型

实际问题与一元二次方程的几种常见模型
繁殖问题
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得
1+x+（1+x）x=81 整理得：
X2 +2x-80=0 解得
X1=8 x2=-10(舍去)
三轮后被感染的电脑总数为：
1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台)
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台
2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x小分支，依题意得
1+x（x +1）=91
解得：X1=9 x2=-10(舍去)
答：每个支干长出9小分支
单（双）循环问题
1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？
解：设共有x队参加依题意列方程得
x（x -1）=90
解得：X1=10 x2=-9(舍去)
答：共有10队参加
2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?
解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得
2)1
(-
x
x=66
解得：X1=12 x2=-11(舍去)
答：共有12人参加聚会
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得
2)1
(-
x
x=28
解得：X1=8 x2=-7(舍去)
答：应邀8个球队参加
4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
解：有x人，依题意列方程得
x（x -1）=90
解得：X1=10 x2=-9(舍去)
答：共有10人
数字问题
1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
解：设其中一个偶数为x,则另一个为（x+2）依题意列方程得
x（x+2）=168
解得：X1=12 x2=-14
则这两个偶数是12各14或-12-14
2．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

解：设原两位数的个位为x,则十位为10(5-x) 依题意列方程得[10(5-x)+x][10x+(5-x)]
解得：X1=2 x2=3
当X=2时，原两位数为32，当X=3原两位数为23
增长率问题
1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这
两个月平均每月增长的百分率是多少？
解：设平均每月增长的百分率是x依题意列方程得
50(1+x)2=72
解得：X1=0.2 x2=-2(舍去)
答：平均每月增长的百分率是20%
2.某厂一月份产值为10万元，第一季度产值共3
3.1万元。

若每个月比上月的增长百分数相同，求这个百分数。

解：设平均每月增长的百分率是x依题意列方程得
10+10（1+x）+10(1+x)2=33.1
解得：X1=0.1 x2=-3.1(舍去)
答：这个百分数为10%
销售问题
1．将进价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？
解：设每件商品涨x元依题意列方程得
解得X1=10 x2=30(考虑到促销应舍去)
答每件商品就定价为50+10=60元
2．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，已知这种衬衫每件降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场要想平均每天盈利1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价x元依题意列方程得
（20+2x ）(40-x)=1200解得X 1=20 x 2=10(考虑到促销应舍去) 答每件衬衫应降价20元
围圈问题
1．借助一面长6米的墙，用一根13米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边？
解：设长方形的一边为x ，则另一边为
213x -依题意列方程得 X(213x -)=20或x(13-2x)=20
解得X 1=5 x 2=8(不符合题意舍去)
当一边长为5米时，另一边为4米
2.如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，问AB 和BC 边各应是多少？ A E D 解：设BC 为x,则AB 为
336x -依题意列方程得 X(336x -)=96 解得X 1=12 x 2=24(不符合题目舍去)
B F
C ∴BC 的长为12米，AB 为
31236-=8米
边框问题
在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，求金色纸边的宽为多少？
解：设金色纸边的宽为x 依题意列方程得
(80+2x)(50+2x)=5400
解得X1=5 x2=-70(不符合题目舍去)
答：金色纸边的宽为5cm
面积问题
1．要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？
解：设道路宽应为x依题意列方程得
(32-2x)(20-x)
解得X1=1 x2=35(不符合题目舍去)
答：道路宽应为1米
2．在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为多少？
解：设道路宽应为x依题意列方程得
(30-x)(20-x)
解得X1=1 x2=49(不符合题目舍去)
答：道路宽应为1米
工程问题
1.甲、乙两建筑队完成一项工程，若两队同时开工，12天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天？
解：设甲单独完成要用x天，乙单独完成要用x+10天依题意列
方程得
x 1+101+x =12
1 解得X 1=20 x 2=6(不符合题目舍去)
∴甲单独完成要用20天，乙单独完成要用30天
行程问题
汽车需行驶108km 的距离，当行驶到36km 处时发生故障，以后每小时的速度减慢9km ，到达时比预定时间晚24min ，求汽车原来的速度。

解：设汽车原来的速度为xkm/小时依题意列方程得
x
36+936108--x =x 108+6024 整理得：
X 2-9x-1620=0
解得X 1=45 x 2=-36(不符合题目舍去)
答：汽车原来的速度为45千米/小时。