八年级下沪科版一元二次方程教案

17．1 一元二次方程

学习目标

1．了解一元二次方程及相关概念；(重点)

2．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)

教学过程

一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃，

它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x(x ＋2)＝120.

所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】 一元二次方程的识别

下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．

①y24－y ＝0；②2x2－x －3＝0；③1x2＝3；

④x2＝2＋3x ；⑤x3－x ＋4＝0；⑥t2＝2；

⑦x2＋3x －3x ＝0；⑧x2－x ＝2.

解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是．答案为①②④⑥.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若

是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．

【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值

a 为何值时，下列方程为一元二次方程？

(1)ax2－x ＝2x2－ax －3；

(2)(a －1)x|a|＋1＋2x －7＝0.

解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a －2)x2＋(a －1)x ＋3＝0，当a －2≠0，

即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．

解：(1)将方程整理得(a －2)x2＋(a －1)x ＋3＝0，∵a －2≠0，∴a ≠2.当a≠2

时，原方程为一元二次方程；

(2)∵|a|＋1＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．∴当a ＝

－1时，原方程为一元二次方程．

方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次

数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

【类型三】 一元二次方程的一般形式

把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次

项系数和常数项．

(1)x(x －2)＝4x2－3x ；

(2)x23－x ＋12＝－x －12；

(3)关于x 的方程mx2－nx ＋mx ＋nx2＝q －p(m ＋n≠0)．

解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同

类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数

项．

解：(1)去括号，得x2－2x ＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x ＝0.二

次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；

(2)去分母，得2x2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得

2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；

(3)移项、合并同类项，得(m ＋n)x2＋(m －n)x ＋p －q ＝0.二次项系数为m ＋n ，

一次项系数为m －n ，常数项为p －q.

方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化

成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘

－1，使二次项系数变为正数；

(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；

(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没

有出现常数项c ，则c ＝0.

探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型

如图，现有一张长为19cm ，宽为15cm 的长方形纸片，需要在四个顶

角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体

纸盒？请根据题意列出方程．

解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未

知数，利用长方形面积公式可列出方程．

解：设需要剪去的小正方形边长为xcm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－

2x)cm ，宽为(15－2x)cm.

根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理得x2－17x ＋51＝0(0

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，

准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．

探究点三：一元二次方程的根

已知关于x 的一元二次方程x2＋mx ＋3＝0的一个解是x ＝1，求m 的

值．

解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等．本题将x ＝1代

入原方程，可得关于m 的一元一次方程，解得m 的值即可．

解：根据方程的解的定义，将x ＝1代入原方程，得12＋m×1＋3＝0，解得

m ＝－4，即m 的值为－4.

方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可

得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根

的定义法．

17.2 一元二次方程的解法

第一课时 配方法

学习目标

1．学会用直接开平方法解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程；(重点)

2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点) 教学过程

一、情境导入

一块石头从20m 高的塔上落下，石头离地面的高度h (m)和下落时间x (s)大

致有如下关系：h ＝5x 2，问石头经过多长时间落到地面？

二、合作探究

探究点一：用直接开平方法解一元二次方程

用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；

(3)(x －2)2＝9; (4)(2y －3)2＝16.

解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平

方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右

边取“正、负”两种情况．

解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x ＝±4，即x1＝4，x2＝－4；

(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x ＝

±3，即x1＝3，x2＝－3；

(3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－3，即x1＝5，

x2＝－1；

(4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即2y －3＝4或2y －3＝－4，即y1

＝72，y2＝－12.

方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据

是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x ＋a)2＝b(b≥0)；③(ax ＋b )2＝c (c ≥0)；④(ax ＋b )2＝(cx ＋d )2(|a |≠|c |)．

探究点二：用配方法解一元二次方程

【类型一】 用配方法解一元二次方程

用配方法解下列方程：

(1)x2－2x －35＝0；

(2)3x2＋8x －3＝0.

解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加

上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x ＋m)2＝n(n≥0)的

形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．

解：(1)移项，得x2－2x ＝35.配方，得x2－2x ＋12＝35＋12，即(x －1)2＝36.