沪科版数学八年级下册《一元二次方程》名师教案
2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的解法——因式分解法
2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的解法——因式分解法一. 教材分析《2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册》中一元二次方程的解法——因式分解法，是学生在学习了方程的解法、一元二次方程的定义及判别式等知识后，进一步学习一元二次方程的解法。
因式分解法是一元二次方程的一种重要解法，它把一元二次方程转化为两个一次因式的方程，使问题变得简单。
本节课的教学内容，旨在让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法，提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法，对解方程的过程有一定的了解。
同时，学生已经学习了因式分解的知识，对因式分解的方法和步骤有一定的了解。
但学生对一元二次方程的解法——因式分解法可能还比较陌生，需要通过本节课的学习，让学生理解和掌握这一方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程的解法——因式分解法，并能运用因式分解法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法——因式分解法。
2.难点：如何判断一元二次方程是否可以通过因式分解法求解，以及如何运用因式分解法解一元二次方程。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.实践操作法：学生通过动手操作，实践因式分解法解一元二次方程的过程，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师准备PPT，内容包括一元二次方程的定义、判别式、因式分解法等。
2.学生准备：学生准备笔记本，用于记录学习内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
沪科版八年级数学下册：17.1 一元二次方程 教案
17.1一元二次方程教学目标：1.认识一元二次方程方程。
2.掌握一元二次方程的一般形式。
3.把一元二次方程化为一般形式，并确定各项的系数；检验一个数是不是一元二次方程的解。
重难点：1.一元二次方程的一般形式。
2.把一元二次方程方程化为一般形式，并确定各项的系数知识点一：一元二次方程的概念（理解）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
知识拓展：由一元二次方程的概念可知，一元二次方程满足三个条件：（1）是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.只有同时满足以上三个条件的方程，才是一元二次方程。
一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”，判断方程是不是一元二次方程首先要合并整理，再根据概念判断。
例1.已知方程（m-2）x m2-2-2x+10=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）例2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=0B.2(x+1)2+3=2x2B.知识点二：一元二次方程的一般形式（重点；掌握）任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式（又叫做标准形式）。
其中ax2叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
a,b,c是任意实数，且a≠0。
知识拓展：一元二次方程的一般形式有以下特点：（1）等式左边是二次三项式，右边是0；（2）二次项系数a≠0。
在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：①二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的；②不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，因而准确地找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、一次项系数和常数项，就可以找出它们的差异。
任何一个一元二次方程，经过整理后都可以化为一般形式，在求一元二次方程的各项系数时，首先必须把一元二次方程化为一般形式，如果一般形式中的二次项系数时负数，那么在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数，这样就可以减少符号和计算方面的错误。
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程 【教案】 列一元二次方程解几何问题
第2课时列一元二次方程解几何问题
教学矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛，如图：要
使花坛的总面积为570m2（图中长度的单位：m），问小
路的宽应是多少？
解法（一）相等关系式为：
（1）矩形总面积—小路的面积=花坛面积
解法（二）当我们把三条小路都平行移动到矩形的一边，
使6块花坛的面积集中起来，这样一来，花坛的长为
（32-2,则相等关系式为：
花坛的长×花坛的宽=花坛的面积
即：
举一反三：
例1 有一块长40m,宽30m的矩形铁片,在它的四周
截去一个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长
方体盒子，并使底面积所占面积为原来矩形面积的
一半.这个盒子的高是多少？
例2.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，
它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形
图案的面积为18m2，则花边多宽?
你能给出设计方案吗?
讨论补充
记录
20米
32米
32-2)(20)570
x x
-=
（
40m
3
m
xm
x
m
木栏长40m. ， 25m
10m
教学反思。
沪科版八年级数学下册17.1一元二次方程 课程教学设计
沪科版八年级数学下册17.一元二次方程（第1课时）
二、得出新知，运用强化
1、指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程，得到一元二次方程的定义并判断下列方程是否是一元二次方程：
练习：课本P21练习第一题；
2.指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）.
练习：（1）判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程2
2x x -=的根. （2）若关于x 的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m 的值.
（3）已知a 是方程 x2+2x －2=0 的一个实数根,求 2a2+4a+2020的值. （整体思想）
4、一元二次方程概念的延伸
提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗? 引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学
生运用字母，找到一元二次方程的一般形式 ax 2
+bx+c=0(a ≠0)
（1）提问a ＝0时方程还是一元二次方程吗?为什么?讲解方程中ax 2
、bx 、c 各项的名称及a 、b 的系数名称.
（2）强调：一元二次方程的一般形式中，二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，“＝”的右边必须整理成0. 5、强化概念
例1 把方程3x (x -1)=2(x -2)-4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
解: 去括号，得 3x ²-3x =2x -4-4.化简得到一般形式： 3x ²-5x +8=0.
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8. 课本p21页第2题 三、课堂小结
四、作业布置
1.课本P22习题17.1第2、3题
2.同步练习17.1
教学反思。
沪教版八年级数学下册 17.1一元二次方程 教案
《17.1 一元二次方程》教案一、教学目标1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）；2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．二、学习重点难点1、一元二次方程的概念和一般形式．2、正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”．三、教学过程一、预习内容1．问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且，长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 整式方程：____________________________________________________一元一次方程：____________________________________________________ 一元二次方程特征：（1）_________________________；（2）_________________________；（3）__________________________．二、学习内容一元二次方程的概念:________________________________________．概念巩固练习例1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．（1）3523-=+x x （2）42=x（3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x 一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程经过化解后通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 是已知数，a ≠0）．注意：（1）其中2ax 叫做_________，a 叫做___________；bx 叫做________，b 叫做________________，c 叫做__________________．（2）为什么要a ≠0；若a =0并且b ≠0则它是_______________．（3）当a ≠0时ax 2＋bx ＋c ＝0；ax 2＋c ＝0；ax 2＋bx ＝0；ax 2＝0均为一元二次方程．例2．将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1）y y =26 2）（x -2）（x +3）=8 3）2)2()43)(3(+=-+x x x2）说明：一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0．此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的．例3．方程（2a -4）x 2-2bx +a =0， 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？例4．已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+3x -5m +4=0有一根为2，求m ．三、本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．。
沪科版初中数学八年级下册(HK)教案 第17章 一元二次方程 一元二次方程的解法 配方法
1．配方法1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点)2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解下列方程：(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3；(3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－3，即x 1＝5，x 2＝ －1；(4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即2y －3＝4或2y －3＝－4，即y 1＝72，y 2＝－12.方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x 2＝a(a≥0)；②(x ＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx ＋d)2(|a|≠|c|)．探究点二：用配方法解一元二次方程 【类型一】 用配方法解一元二次方程用配方法解下列方程： (1)x 2－2x －35＝0； (2)3x 2＋8x －3＝0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x ＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．解：(1)移项，得x 2－2x ＝35.配方，得x 2－2x ＋12＝35＋12，即(x －1)2＝36.直接开平方，得x －1＝±6.所以原方程的根是x 1＝7，x 2＝－5；(2)方程两边同时除以3，得x 2＋83x －1＝0.移项，得x 2＋83x ＝1.配方，得x 2＋83x ＋(43)2＝1＋(43)2，即(x ＋43)2＝(53)2.直接开平方，得x ＋43＝±53.所以原方程的根是x 1＝13，x 2＝－3.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方．【类型二】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值．解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0.∴a－32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝14.∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x 2－5x ＋7的值恒为正． 解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0，∴(x －52)2＋34≥34.∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．三、板书设计本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法，领会降次—转化的数学思想．经历从简单到复杂的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究的习惯和能力。
沪科版（2012）初中数学八年级下册 17.1一元二次方程 教案 (1)
17.1 一元二次方程(第一课时)教学目标知识与能力：1、了解一元二次方程的概念。
2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
过程与方法：经历探究抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型之一。
情感态度价值观：通过学习激发学生的学习热情，进一步认识数学与生产、生活的联系。
重点难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式。
难点：探求实际问题中的等量关系，建立方程模型；把一元二次方程化成一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
教学准备多媒体课件。
教学过程一、创设情境，导入新课多媒体课件出示问题：问题1某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番(即两倍)。
要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？学生思考、交流、探讨，然后教师讲解。
解：设这两年的年平均增长率为x，则2010年无公害蔬菜产量的产量为100＋100x＝100(1＋x)，2011年无公害蔬菜产量的产量为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2。
根据题意，2011年无公害蔬菜产量的产量为200t，所以100(1＋x)2＝200。
整理，得x2＋2x－1＝0。
问题2在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小道(两纵一横，一条横向两条纵向)，把这块空地分成大小一样的六块，建成小花坛。
如图，要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽是多少？解：设小路的宽为x m，则横向小路的面积为32x m2，纵向小路的面积为2×20x m2，两者重叠部分的面积为2x2m2。
根据题意，得32×20－(32x ＋2×20x )＋2x 2＝570。
整理，得 x 2－36x ＋35＝0。
(还可以利用平移的思想列出方程)思考：上述两个方程有什么共同特点？二、新课教学学生思考问题，找学生回答，其余学生指出正误，然后大家共同总结。
沪科版八年级下册 17.1 一 元二次方程 个性化教学设计
沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程个性化教学设计简介本个性化教学设计基于沪科版八年级下册数学课程中的17.1节内容，主要讲解一元二次方程的概念、性质和解法。
通过个性化的教学设计，旨在激发学生的学习兴趣，提高他们的数学解题能力和思维能力。
教学目标•理解一元二次方程的概念和性质•掌握一元二次方程的解法•培养学生分析问题、解决问题的能力•提高学生的逻辑思维和推理能力教学内容1.一元二次方程的概念和性质2.一元二次方程的解法教学步骤步骤一：导入新知识引入一元二次方程的概念，通过实例讲解和讨论，让学生对一元二次方程的意义有初步的了解和认识。
同时，引导学生思考一元二次方程与一次方程的区别。
步骤二：知识讲解和演示通过课件或黑板等工具，讲解一元二次方程的性质，包括系数、次数、根的概念。
并演示一些例题，让学生了解一元二次方程的解可能有一个、两个或零个的情况。
步骤三：个性化练习根据学生的学习能力和兴趣水平，设计一些个性化的练习题。
根据学生的实际情况，可以分为基础练习、提高练习和拓展练习。
通过不同难度的练习，满足不同层次学生的学习需求。
步骤四：合作学习将学生分成小组，让他们共同合作解决一些复杂的一元二次方程题目。
鼓励学生互相讨论、探究和解答问题，从中培养学生的合作精神和团队意识。
步骤五：巩固与评价设置一份综合性的练习题，让学生运用所学知识解决一些实际问题。
通过这种方式，巩固学生对一元二次方程知识的掌握，并通过评价学生的答题情况，了解学生的学习进展和问题。
教学资源•课件或黑板•教科书•练习题•答案和评价标准教学评价1.观察学生在课堂上的表现，包括是否积极主动参与、思维是否敏捷、问题是否能够解决等。
2.批改作业，评价学生对一元二次方程的理解和解题能力。
3.对学生进行口头评价，鼓励他们的努力和进步。
总结通过个性化教学设计，旨在提高学生的学习兴趣和掌握一元二次方程的解题能力。
教师应根据学生的实际情况，调整教学方法和教学资源，满足不同层次学生的学习需求。
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（引导学生利用二元一次方程组解决问题）
巩固练习：课件展示
三、课堂小结
(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一元二次方程（方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)，并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在.特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；
2、判断下列方程是否是一元二次方程：
3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程 的根.
通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同.
4、一元二次方程概念的延伸
提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?
引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项教后反思
课题
教学
目标
经历一元二次方程概念的发生过程.
理解一元二次方程的概念.
了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
教学重点
本节教学重点是一元二次方程的概念，包括它的一般形式.
教学过程
一、合作学习，探究新知
问题1某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t,计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番(即为200t).要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
32×20-（32x+2×20x）+2x²=570.
整理，得x²-36x+35=0.
观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处.
学生各抒己见，发表自己的发现：共同点：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2.
二、得出新知，运用强化
1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程.板书课题及一元二次方程的定义并指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）.
100(1+x)²=200,
即(1+x)²=2.
整理，得x²+2x-1=0.
问题2在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直),把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m²,问小路的宽应是多少？
解：设小路的宽是xm,则横向小路的面积是32xm²,纵向小路的面积是2×20xm²,两者重叠部分的面积是2x²m².由于花坛的总面积是570m²,则
5、强化概念
例1把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:去括号，得3x²-3x=2x-4-4.
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x²-5x+8=0.
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8.
在本例中教师要讲清方程变形时，哪些属于代数式变形，运用了什么法则；哪些属于等式变形，依据什么性质.并板书示范解题过程.
1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0就成了一元一次方程了).
2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称.
3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0.
先让学生自主探索，并互相交流，自己列出方程.
解：设这个队2010-2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,那么；2010年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)(t);
2011年无公害蔬菜产量为100(1+x)+100(1+x)•x=100(1+x)²(t).
根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t,得