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实际问题与一元二次方程的几种常见模型
繁殖问题
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮
感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮
感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台
解： 1 设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑, 依题意得
1+x+（1+x）x=81整理得：
2
X1=8 x 2=-10( 舍去 )
三轮后被感染的电脑总数为：
1+ x+ x （ x +1 ）+x（x +1 ）2=739( 台)
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8 台电脑， 3 轮感染后，被感染的电脑为739 台，超过 700 台
2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样
数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支
解：设每个支干长出x 小分支，依题意得
1+x（x +1 ）=91
解得： X1=9 x 2=-10( 舍去 )
答：每个支干长出9 小分支
单（双）循环问题
1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90 场，共有多少队参加
解：设共有x 队参加依题意列方程得
x（x -1 ） =90
解得： X1=10 x 2=-9( 舍去 )
答：共有 10 队参加
2.参加一次聚会的每两人都握了一次手 , 所有人共握手 66 次, 有多少人参加聚会
解：设共有x 人参加聚会，依题意列方程得
x(x1) =66
2
解得： X1=12 x 2=-11( 舍去 )
答：共有 12 人参加聚会
3.要组织一场篮球联赛 , 赛制为单循环形式 , 即每两队之间都赛一
场 , 计划安排 28 场比赛 , 应邀请多少个球队参加比赛
解：设应邀x 个球队参加，依题意列方程得
x(x1) =28
2
解得： X1=8 x 2=-7( 舍去 )
答：应邀 8 个球队参加
4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张 , 一共要 90 张照片 , 有多少人
解：有 x 人，依题意列方程得
x（x -1 ） =90
解得： X1=10 x 2=-9( 舍去 )
答：共有 10 人
数字问题
1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少
解：设其中一个偶数为x, 则另一个为（ x+2）依题意列方程得
x（x+2） =168
解得： X1=12 x 2=-14
则这两个偶数是12 各 14 或 -12-14
2．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

解：设原两位数的个位为x, 则十位为 10(5-x)依题意列方程得[10(5-x)+x][10x+(5-x)]
解得： X1=2 x 2=3
当 X=2 时，原两位数为32，当 X=3 原两位数为23
增长率问题
1.某厂去年 3 月份的产值为 50 万元， 5 月份上升到 72 万元，这
两个月平均每月增长的百分率是多少
解：设平均每月增长的百分率是x 依题意列方程得
50(1+x) 2=72
解得： X1= x 2=-2( 舍去 )
答：平均每月增长的百分率是20%
2.某厂一月份产值为 10 万元，第一季度产值共万元。

若每个月
比上月的增长百分数相同，求这个百分数。

解：设平均每月增长的百分率是 x 依题意列方程得
10+10（1+x） +10(1+x) 2=
解得： X1= x 2=( 舍去 )
答：这个百分数为10%
销售问题
1．将进价为 40 元的商品按 50 元的价格出售时，能卖出 500 个，已知该商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚取 8000 元的利润，售价应定为多少元
解：设每件商品涨x 元依题意列方程得
（50-40+x ）(500-10x)=8000
单件商品涨涨价后卖出
价后的利润商品的数量
解得 X1=10 x 2=30( 考虑到促销应舍去)
答每件商品就定价为50+10=60 元
2．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，已知这种衬衫每件降价 1 元，商场平均每天可多售出2 件，若商场要想平均每天盈利1200 元，那么每件衬衫应降价多
少元
解：设每件衬衫应降价x 元依题意列方程得
（20+2x） (40-x)=1200 解得 X1=20 x 2=10( 考虑到促销应舍去 )答每件衬衫应降价20 元
围圈问题
1．借助一面长 6 米的墙，用一根 13 米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边
解：设长方形的一边为x，则另一边为13x
依题意列方程得2
X( 13x
)=20或x(13-2x)=20 2
解得 X1=5 x 2=8( 不符合题意舍去 )
当一边长为 5 米时，另一边为 4 米
2.如图所示，利用 22 米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形
养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆 36 米，为了使这个长方形 ABCD 的面积为96平方米，问 AB 和 BC 边各应
是多少 A E D
解：设 BC为 x, 则 AB为36 x
依题意列方程得
X( 36 x
)=96
3
解得 X1=12 x 2=24( 不符合题目舍去 )
3
B F C
∴B C的长为 12 米， AB为36 12
=8 米3
边框问题
在一幅长为80cm，宽为 50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂
2
图的面积是5400cm，求金色纸边的宽为多少
解：设金色纸边的宽为x 依题意列方程得
(80+2x)(50+2x)=5400
解得 X1=5 x 2=-70( 不符合题目舍去 )
答：金色纸边的宽为5cm
面积问题
1．要在长 32m，宽 20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，
2
六块绿地面积共570m, 问道路宽应为多宽
解：设道路宽应为x 依题意列方程得
(32-2x)(20-x)
解得 X1=1 x 2=35( 不符合题目舍去 )
答：道路宽应为 1 米
2．在宽为 20m、长为 30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，
2
余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m，则修建的路宽应为多少
解：设道路宽应为x 依题意列方程得
(30-x)(20-x)
解得 X1=1 x 2=49( 不符合题目舍去 )
答：道路宽应为 1 米
工程问题
1.甲、乙两建筑队完成一项工程，若两队同时开工， 12 天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用
10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天
解：设甲单独完成要用 x 天，乙单独完成要用 x+10 天依题意列
方程得
1 + 1 = 1
x x 10 12
解得 X1=20 x 2=6( 不符合题目舍去 )
∴甲单独完成要用 20 天，乙单独完成要用30 天
行程问题
汽车需行驶108km的距离，当行驶到36km处时发生故障，以后每小时的速度减慢9km，到达时比预定时间晚24min，求汽车原来的速度。

解：设汽车原来的速度为xkm/小时依题意列方程得
36 +108 36 =108 + 24
x x 9 x 60
整理得：
X2-9x-1620=0
解得 X1=45 x 2=-36( 不符合题目舍去 )
答：汽车原来的速度为45 千米 / 小时。