大学物理角动量守恒定律优秀PPT
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角动量守恒定律ppt课件
数学补充知识：
点积
abba
aaa2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商 叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(a b )a db da b
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v (r v )
大小：
L mrv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
v
L r p m (r v)
大小： Lmvsrin
v
r
r
Sun
方向： 满足右手关系，向上。
L dm trv m ( a c o ti s b si t jn )
( asit in bco t j) s
m m ( a a k c bb (2 恒矢o t k 量 ) a ss b 2 i t k ) n
M
dL
0
!
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti s b sit j n
(1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？
C T
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
f2
r
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2
大学物理 角动量 角动量守恒定律课件
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0
t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
角动量守恒 教学ppt课件
i
12
M外 Mi外 ri Fi
i
i
----各质点所受外力矩的矢量 和称为质点系所受合外力矩
M内 Mi内 (ri fij ) 0
i
i
ji
----各质点所受内力矩 的矢量和
（证明如下：）
Fi
m2
m1
mi
fij ri
f ji m j
0
rj
13
内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出
碰撞时重力和轴力都通过O，
•O
v0 l m2
对O 力矩为零，故角动量守恒。
有
l 2
m2v 0
lm1l
l 2
m2
l 2
解得： 2m2 v 0
4m1 m2 l
m1
思考 （m1＋m2 ）的水平动量是否守恒？ 18
说明
1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系；
2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点说的。质点系受的外力的矢量 和为零，但总外力矩不一定为零（eg:力偶） 角动量不守恒；
1
§3.1 质点的角动量守恒定律
一、质点的角动量
物理学非常注意守恒量的研究。 在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点） 转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。 例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面 例如：银河系中的 每个恒星都有自己 的转动平面。
在这些问题中，存在 着质点的角动量守恒 的规律。
可绕其中点o处的细轴在光滑水平面上转动。初始时
杆静止,后有一小球C以速度v0垂直于杆碰A, 碰后与 A 合二为一。设三个小球的质量都是 m, 求:碰后杆转动 的角速度 ?
C
B
v0
o
角动量角动量守恒PPT课件
M M1 M2 M3
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
Mij M ji
M ji
（3）力矩必须明确是对哪个点（或轴） 8
三、角动量定理 角动量守恒
1.质点的角动量定理
将角动量 L r p 两边对时间求导
14
角动量守恒定律是一条普遍的规律，存在
于很多自然现象中，例如，行星受恒星引力作
用作椭圆轨道运动，引力的作用线始终通过恒
星中心，这样的力称为有心力。由于有心力对
力心的力矩恒为零，因此，受有心力作用的质
点对力心的角动量守恒。 掠面速度
·m
f
r
dS 1 r v dt 2
o r
vdt
12
将角动量定理的微分形式 M dL 两边乘以
dt 并积分得
t
dt
0 M dt L L0
t
0 M
dt :
质点或质点系的合外力矩的冲量矩；
L0 与L 分别是质点或质点系始末状态的角动量。
在一段时间内，质点（系）角动量的增量
等于作用于质点（系）的合外力矩的冲量
矩——质点（系）角动量定理的积分形式
Lrp
(xi yj zk ) (pxi py j pzk )
各坐标轴的分量
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
分别称为对 x、y 、z 轴的角动量
2
例 质点L沿某r一 p方向r作 m直v线运动，对O点的角动量 角动量大小为
L rm vsin m v d
第3章 角动量守恒定律 PPT课件
若转轴不动，称定轴转动。 O
1. 定轴转动特征
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动.
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述
解：
N
R
T
Mg
T' M.
a R
mg
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
根据转动定律 根据牛顿第二定律
TR=Jβ
1 MR2
2
mg-T=ma
因绳与滑轮间无滑动，所以 a=Rβ
解以上三式得
a mg mM /2
a
mg
R R( m M / 2 )
rF
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
力矩定义：
M rF
力矩大小：
M r F sinθ 式中 rsinθ d 为力臂，则
M Fd
因 Fsin θ F ，即合力切向分量，所以：
M r F
www. ******.com
3.2 质点的角动量守恒定律
(1) 角坐标 称角位置或角坐标。
规定逆时针转向 为正。
p x
O
刚体定轴转动的运动学方程
= (t) (2) 角位移
为 t时间内刚体所转过的角度。
p x O
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3.3 刚体的运动
(3) 角速度 角速度 lim Δ d Δt0 Δt dt 在定轴转动中，转向只可能有
第角动量角动量守恒定律PPT课件
(练习二，17)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为
。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1、v 2
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
第23页/共29页
机械能不守恒
力物的猴拉加，力由速于上和轻爬相绳过等各程m，处中1又g张，因力绳为相对猴等猴和，的物所拉相以力同在大质另于量一猴，端的绳重对重T1
[ C]
第9页/共29页
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
第10页/共29页
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的 大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的 固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
作半径为 的m圆轨道运动。取圆周上 点R为参考点，如图所示，试求：①质P点
在图中点1处所受的力矩 和质点的角动量
的力矩 和质点的角动量 。
；②质m点
在图中点2处所受
M1
L1
m
M2
L2
解 ① 力矩 M 1
2
在点1处， 所m受引力指向 点，故 P M 1 0
角动量 L1
由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度
A 另离一端系向一右质，运量绳O动子，处到于达松位的弛置物状体态时。。物开O现体始A在速时使度，物的物体方m体以向位与与于0绳.位5d垂k置垂g直直0。处.的2试，5初求m速物度间体的在距 处
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律PPT课件
dt M 外i riFi外
f2 1
2
m2
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL
dt M 外i riFi外
注意： 合外力矩 M是外质点系所受各外力矩的矢
量和，而非合力的力矩。
注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
L r c m i v ir i m i v c r i m i v i
第三项：
i
i
i
与 i 有关
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
描述系统的内禀性质： L自 旋
L自 旋
L轨 道
于是：
∑
L=rc×Mvc+
本讲内容：三个基本概念
1.角动量
质点
L r p r m v
质点系 L r c M v c r i m iv i L 轨 L 自 道
i
定轴刚体 Lz ri2mi J
i
2. 转动惯量
J ri2mi J r2dm i
3.力矩
M rF M zrF
Mi内0
i
上讲 §5.1 角动量 转动惯量
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
定义 ： L = r× p = r× m v r
m θ
p p
r
大小： L=rmvs inθ
o
=r p⊥= pr⊥
z
方向：
垂直r于 和p组
成
L
的平面o，
服从右手定则。
x
r
r m
角动量守恒定律34页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
角动量守恒定律
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如4、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
Thank you
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若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小 孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？
R h
m1
解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的 轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。
h
此系统的总角动量为 L mR(v1 v2 )
v1左边孩子向上的速度；
m2
v2右边孩子向上的速度；
此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩， 彼此抵消。 （内力矩不改变系统角动量。）
m 2 v02
k(L
L0 )2 (M
m)
1 2
13
5.3 刚体的定轴转动
1.刚体的平动和定轴转动
(1)平动:
A′
在运动过程中刚体上 A
的任意一条直线在各个时
刻的位置都相互平行
B
B′
任意质元运动都代表整体运动
刚体的平动
A〞 B〞
用质心运动代表刚体的平动
(2) 定轴转动
（质心运动定理）
刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动
因此整个系统角动量守恒。
11
L mR(v1 v2 )
设两个小孩起初都不动，即 v10 v20 0, L t0 0
以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零， 即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。
若两个小孩重量不等，即 m1 m2
系统所受外力矩 M外 （m2 m1)gR,
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
p mt
3 gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r ) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r p)
dr
p
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t时间内行星所走过的弧长, 则有
lim L r ms sin
t0 t
lim L 2m 2m d
Δt0 t
dt
M的木块, 木块与一原长为L0, 劲
度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另
O
L
一端固定于O点.
当木块静止于A处时, 弹簧保 持原长, 设一质量为m的子弹以初
L0 k
速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当
木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧
的长度为L.
m
v0
M A
求木块在B点的速度 vB的大小和方向.
解: (1) m和M相撞时,系统的动量守恒 mv0 (m M ) vA
R
系统总角动量 L (m1v1 m2v2 )R
h
h
仍设起初两个小孩都不动，
v10 v20 0, L t0 0
由角动量定理 若 m1 m2
M :
外 (m2 dL 0, dt
m1)gR L 0
dL dt
,
m1
m2
有 m1v1 m2v2 0, v1 v2 轻的升得快；
12
例.光滑水平桌面上放着一质量为
dL
dt
i
ri Fi
i
(ri fij )
i j
M外 M内
Fi
m1
mi fij
mj
ri
f ji
O rj
Fj
M外 ri Fi i
M内 (ri fij ) 0
i
i j
M外
dL dt
质点系的角动量定理
M外 0 时 L Li 常矢量 滑轮绳子的两端。 一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L 2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t 时间内行
v2
星与太阳间的联线所扫
r2
r2
v1
r1
B S
A
O
r1
过的面积, 如图中所示.
d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是 等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运 动, 而且
r
dp
dt dt
dt
dt
v mv r F
力矩
rF
M
r
O r
A
F
定义：对O点力矩 M r F
大小 M Fr sin Fr
质点的角动量定理 M dL dt
质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量 的时间变化率
5
3角动量守恒定律
质点的角动量定理 若 M外 0
M dL dt
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,
则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量 是否守恒？
Lo r mv
rmv sin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例. 试利用角动量守恒定律: 1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在 相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变. (2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
(2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒
1 2
(m
M
)
v
2 A
1 2
(m
M
) vB2
1 2
k(L
L0 )2
(3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒
vB
B
(m M ) vAL0 (m M ) vBL sin
vB
(m
m2 M
)2
v02
k(L m
L0 )2 M
1/ 2
arcsin mL0v0 L
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
天体系统的旋转盘状结构
9
5.2 质点系的角动量定理
质点系角动量
n
L Li (ri pi ) i 1
第i个质点角动量的时间变化率
dLi
dt
ri (Fi
i j
fij )
14
2 用角量描述转动
z
1) 角位移 θ :
θ
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度 :
lim d
t0 t dt
3)角加速度 :
刚体定轴转动
lim d d 2
t0 t dt dt2
角速度 的方向按右手螺旋法则确定
15
线量与角量关系
z
dS r d
v r
v dS
切向分量
第5章 角动量 角动量守恒定律
5.1 质点的角动量 角动量定理
1.质点的角动量
L r p r mv
称为质点相对参考点O的 角动量或动量矩
L rp sin rmv sin
L
r
m O
p
1
2
3
例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量
（1） 对 A 任意时刻 t，
点的角动量
有 r
R h
m1
解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的 轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。
h
此系统的总角动量为 L mR(v1 v2 )
v1左边孩子向上的速度；
m2
v2右边孩子向上的速度；
此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩， 彼此抵消。 （内力矩不改变系统角动量。）
m 2 v02
k(L
L0 )2 (M
m)
1 2
13
5.3 刚体的定轴转动
1.刚体的平动和定轴转动
(1)平动:
A′
在运动过程中刚体上 A
的任意一条直线在各个时
刻的位置都相互平行
B
B′
任意质元运动都代表整体运动
刚体的平动
A〞 B〞
用质心运动代表刚体的平动
(2) 定轴转动
（质心运动定理）
刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动
因此整个系统角动量守恒。
11
L mR(v1 v2 )
设两个小孩起初都不动，即 v10 v20 0, L t0 0
以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零， 即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。
若两个小孩重量不等，即 m1 m2
系统所受外力矩 M外 （m2 m1)gR,
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
p mt
3 gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r ) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r p)
dr
p
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t时间内行星所走过的弧长, 则有
lim L r ms sin
t0 t
lim L 2m 2m d
Δt0 t
dt
M的木块, 木块与一原长为L0, 劲
度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另
O
L
一端固定于O点.
当木块静止于A处时, 弹簧保 持原长, 设一质量为m的子弹以初
L0 k
速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当
木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧
的长度为L.
m
v0
M A
求木块在B点的速度 vB的大小和方向.
解: (1) m和M相撞时,系统的动量守恒 mv0 (m M ) vA
R
系统总角动量 L (m1v1 m2v2 )R
h
h
仍设起初两个小孩都不动，
v10 v20 0, L t0 0
由角动量定理 若 m1 m2
M :
外 (m2 dL 0, dt
m1)gR L 0
dL dt
,
m1
m2
有 m1v1 m2v2 0, v1 v2 轻的升得快；
12
例.光滑水平桌面上放着一质量为
dL
dt
i
ri Fi
i
(ri fij )
i j
M外 M内
Fi
m1
mi fij
mj
ri
f ji
O rj
Fj
M外 ri Fi i
M内 (ri fij ) 0
i
i j
M外
dL dt
质点系的角动量定理
M外 0 时 L Li 常矢量 滑轮绳子的两端。 一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L 2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t 时间内行
v2
星与太阳间的联线所扫
r2
r2
v1
r1
B S
A
O
r1
过的面积, 如图中所示.
d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是 等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运 动, 而且
r
dp
dt dt
dt
dt
v mv r F
力矩
rF
M
r
O r
A
F
定义：对O点力矩 M r F
大小 M Fr sin Fr
质点的角动量定理 M dL dt
质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量 的时间变化率
5
3角动量守恒定律
质点的角动量定理 若 M外 0
M dL dt
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,
则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量 是否守恒？
Lo r mv
rmv sin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例. 试利用角动量守恒定律: 1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在 相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变. (2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
(2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒
1 2
(m
M
)
v
2 A
1 2
(m
M
) vB2
1 2
k(L
L0 )2
(3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒
vB
B
(m M ) vAL0 (m M ) vBL sin
vB
(m
m2 M
)2
v02
k(L m
L0 )2 M
1/ 2
arcsin mL0v0 L
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
天体系统的旋转盘状结构
9
5.2 质点系的角动量定理
质点系角动量
n
L Li (ri pi ) i 1
第i个质点角动量的时间变化率
dLi
dt
ri (Fi
i j
fij )
14
2 用角量描述转动
z
1) 角位移 θ :
θ
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度 :
lim d
t0 t dt
3)角加速度 :
刚体定轴转动
lim d d 2
t0 t dt dt2
角速度 的方向按右手螺旋法则确定
15
线量与角量关系
z
dS r d
v r
v dS
切向分量
第5章 角动量 角动量守恒定律
5.1 质点的角动量 角动量定理
1.质点的角动量
L r p r mv
称为质点相对参考点O的 角动量或动量矩
L rp sin rmv sin
L
r
m O
p
1
2
3
例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量
（1） 对 A 任意时刻 t，
点的角动量
有 r