【预初数学】含参方程(二)-沪教版
沪科版初中数学教材目录(全六册)
沪科版初中数学教材目录（全六册）七年级上册第1章有理数1.1正数和负数1.2数轴1.3有理数的大小1.4有理数的加减1.5 有理数的乘除1.6有理数的乘方1.7近似数第2章整式加减2.1用字母表示数2.2代数式2.3整式加减第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法3.2二元一次方程组3.3消元解方程组3.4用一次方程(组)解决问题第4章直线与角4.1多彩的几何图形4.2线段、射线、直线4.3线段的长短比较4.4角的表示与度量4.5角的大小比较4.6作线段与角第5章数据收集与整理5.1数据的收集5.2数据的整理5.3统计图的选择5.4从图表中获取信息七年级下册第6章实数6.1平方根、立方根6.2实数第7章一元一次不等式与不等式组7.1 不等式及其基本性质7.2一元一次不等式7.3一元一次不等式组第8章整式乘除与因式分解8.1幂的运算8.2 整式乘法8.3 平方差公式与完全平方公式8.4 整式除法8.5 因式分解第9章分式9.1分式及其基本性质9.2分式的运算9.3 分式方程第10章相交线、平行线与平移10.1相交线10.2平行线的判定10.3 平行线的性质10.4 平移第11章频数分布11.1频数与频率11.2频数分布八年级上册第12章平面直角坐标系12.1平面上点的坐标12.2图形在坐标系中的平移第13章一次函数13.1函数13.2一次函数13.3一次函数与一次方程、一次不等式13.4二元一次方程组的图象解法第14章三角形中的边角关系14.1三角形中的边角关系14.2命题与证明第15章全等三角形15.1全等三角形15.2三角形全等的判定第16章轴对称图形与等腰三角形16.1轴对称图形16.2线段的垂直平分线16.3等腰三角形16.4角的平分线八年级下册第17章勾股定理17.1勾股定理17.2勾股定理的逆定理第18章二次根式18.1二次根式18.2二次根式的运算第19章一元二次方程19.1一元二次方程19.2一元二次方程的解法19.3一元二次方程的根的判别式19.4一元二次方程的根与系数的关系19.5一元二次方程的应用第20章四边形20.1多边形的内角和20.2平行四边形20.3矩形菱形正方形20.4中心对称20.5梯形第21章数据的集中趋势与离散程度21.1数据的集中趋势21.2数据的离散程度21.3用样本估计总体九年级上册第23章二次函数与反比例函数23.1二次函数23.2二次函数y=ax2的图象和性质23.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质23.4二次函数与一元二次方程23.5二次函数的应用23.6反比例函数第24章相似形24.1比例线段24.2相似三角形的判定24.3相似三角形的性质24.4相似多边形的性质24.5位似图形第25章解直角三角形25.1锐角的三角函数25.2锐角的三角函数值25.3解直角三角形及其应用九年级下册第26章圆26.1 旋转26.2 圆的对称性26.3 圆的确定26.4 圆周角26.5 直线与圆的位置关系26.7 圆与圆的位置关系26.8 弧长与扇形面积第27章投影与视图27.1 投影27.2 三视图第28章概率初步28.1 随机事件28.2 等可能情况下的概率计算28.3 用频率估计概率。
沪教版预初数学目录
沪教版初中数学目录六年级第一册（预初）第一章数的整除第1节整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2，5整除的数第2节分解素因数1.4素数、合数与分解素因数1.5公因数与最大公因数1.6倍数与最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数第二章分数第1节分数的意义和性质2.1分数与除法2.2分数的基本性质2.3分数的大小比较第2节分数的运算2.4分数的加减法2.5分数的乘法2.6分数的除法2.7分数与小数的互化拓展无限循环小数与分数的互化2.8分数、小数的四则混合运算2.9分数运算的应用第三章比和比例第1节比和比例3.1比的意义3.2比的基本性质3.3比例第2节百分比3.1百分比的意义3.2百分比的应用3.3等可能事件第四章圆和扇形第1节圆的周长和弧长4.1 圆的周长4.2 弧长第2节圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4 扇形的面积六年级第二册（预初）第五章有理数第1节有理数5.1 有理数的意义5.2 数轴5.3绝对值第2节有理数的运算5.4 有理数的加法5.5 有理数的减法5.6 有理数的乘法5.7 有理数的除法5.8 有理数的乘方5.9 有理数的混合运算5.10 科学记数法第六章一次方程（组）和不等式（组）第1节方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解第2节一元一次方程6.3 一元一次方程及其解法6.4一元一次方程的应用第3节一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组第4节一次方程组6.8二元一次方程6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第七章线段与角的画法第1节线段的相等与和、差、倍7.1 线段的大小的比较7.2 画线段的和、差、倍第2节角7.3角的概念与表示7.4 角的大小比较，画相等的角7.5画角的和、差、倍7.6 余角、补角第八章长方体的再认识第1节长方体的元素第2节长方体直观图的画法第3节长方体的棱与棱位置关系的认识第4节长方体的棱与平面位置关系的认识第5节长方体的平面与平面位置关系的认识。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 17.2 一元二次方程的解 课件
l一元二次方程的定义 一个未知数 未知数的最高次、一元二次方程的概念
1.一元二次方程 2x2 3x 5 0
二次项系数是___2____ 一次项系数是___-_3___
常数项是___5____
一、一元二次方程的概念
(2) 1 x2 8 2
x1 4, x2 4
(3)(5x 1)(2x 2) 0 (4)x2 7ax 0
x1
1 5
,
x2
2 2
x1 0, x2 7a
(5)x2 2x 1 0 x1 x2 1
二、一元二次方程的解法 3.解下列关于x的方程：
(1)x2 3x 2 0
(2)x(2x 3) 4(2x 3) 0
1.一元二次方程 x(x 2) 1 化成一般式是___x_2 __2_x__13__3_0_____
二次项系数是___1____ 一次项系数是___-_2___
常数项是_____13__
一、一元二次方程的概念
2.判断下列方程中哪些是一元二次方程
(1)x2 1 0
(2)2x2 1 3 x
(3)3x2 2 y 1 (4)3x2 6x 5 3x2
的一元二次方程，则m_=_－__2_______
二次项系 数不为0
二、一元二次方程的解法 1.下列方程用什么方法解比较简便？
(1)3x2 8 0 (2)x2 4x 4 0 (3)x2 5x 2 0 (4)x2 6x 1591
(5)2(x 1)2 6 0 (6)x2 x 1 0
(7)x2 2ax 0 (8)(x 4)(x 5) (x 4) 0
关于x的方程 方法
注意
开平方法 等式两边都要开平方
因式分解法 提取公因式
【自主学习】2021学年沪教版八年级上册数学- 第8讲 ：一元二次方程应用(二)(教师版)
自学资料主题：一元二次方程应用（二）自学五步法解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题：(1)n a x A +=，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．知识结构知识精讲【例1】某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【答案】20【解析】设参加会议有x人，依题意可得方程为()11902x x-=，整理得：23800x x--=，解得：120x=，219x=-（舍），即参加会议的共有20人．【总结】比赛问题，注意本题每两人握手一次，相当于单循环．【例2】一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息，这个QQ群中共有多少个好友?【答案】28【解析】设这个QQ群共有x个好友，依题意可得()1756x x-=，解得：128x=，227x=-（舍），即这个QQ群中共有28个好友．【总结】列方程解应用题，比赛问题，注意本题每个人分别发一条消息，相当于复循环．【例3】学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?【答案】6【解析】设参加比赛有x个球队，依题意可得方程为()1152x x-=，整理得2300x x--=，解得：16x=，25x=-（舍），即参加比赛的共有6个球队．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．【例4】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会?【答案】10【解析】设参加展会共有x家公司，依题意可得方程为()1452x x-=，整理得：2900x x--=，解得：110x=，29x=-（舍），即参加展会共有10家公司．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题可视作单循环赛制．【例5】某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? 【答案】19【解析】设每轮分裂中可分裂出x 个有益菌，一轮培植后共有()601x +个有益菌，二轮培植 后共有()2601x +个有益菌，依题意可得：()260124000x +=，整理得：()21400x +=， 解得：119x =，221x =-（舍），即每轮可分裂出19个有益菌．【总结】二次方程解应用题中的传播问题．【例6】 我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家? 【难度】★★ 【答案】10【解析】设每人发展x 名下家，依题意可得21111x x ++=， 整理得：21100x x +-=，解得：110x =，211x =-（舍）即每人要求发展10名下家．【总结】二次方程解应用题中的传播问题， 注意二次发展过程中头目不参与发展下家．1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数 2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．模块二：利率、利润问题知识精讲例题解析吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）60；（2）200元；（3）不对．【解析】（1）每吨售价240元时，月销量为()45260240107.560t +-÷⨯=； （2）设每吨售价为x 元，依题意可得：()260457.5100900010x x -⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，由此可整理得 2420440000x x -+=，解得：1200x =，2220x =，销售遵循“薄利多销”，可知取1200x = 时，销量更大，即每吨材料售价应为200元； （3）由（2）可知月利润()()212603457.51002109075104x W x x -⎛⎫=+⨯-=--+ ⎪⎝⎭，210x =时 有最大月利润，月销售额()222603457.516019200104x W x x -⎛⎫=+⨯=--+ ⎪⎝⎭，160x =时 有最大月销售额，两种情况下售价不同，可知小静的说法不对．【总结】考查利润问题，注意区分开来销售总额和总利润之间的联系和差别，根据题意写出相应函数解析式即可进行判断求解．1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．模块三：面积问题知识精讲例题解析【例13】 一个直角三角形的两条直角边的和是10，面积是10，两条直角边的长分别是-____________． 【答案】6cm 和8cm ．【解析】设直角三角形其中一条直角边长为xcm ，则另一条直角边长为()14x cm -，依题意 可得：()114242x x -=，解得：16x =，28x =，即两直角边长分别为6cm 和8cm ．【总结】按照方程解应用题的一般方法，两个条件一个用来作设，一个用来列式，解方程解决问题．【例14】 一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．【难度】★ 【答案】28．【解析】设长方形一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，根据勾股定理可得22210100a b +==，长方形面积为48，即得48ab =，则有()2222196a b a b ab +=++=，由此两边长和14a b +=，则长方形周长为()228a b +=．【总结】本题考查注意公式的灵活运用，不用直接算出两直角边长，运用相关公式即可进行直接求解解决问题．【例15】 利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，问AB 和BC 边各应为多少? 【难度】★★【答案】8AB m =，12BC m =． 【解析】设AB x =，则有363BC x =-，依题意可得：()36396x x -=，解得：14x =，28x =，利用墙的长最大为22m ，则有 36322x -≤，得143x ≥，取28x =，则有8AB m =，36312BC x m =-=． 【总结】注意题目隐含条件，篱笆的长度决定了其中相关长度取值．ABCDE F【例20】 要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽度． 【难度】★★【答案】硬化路面宽度为10m ． 【解析】设硬化路面宽度为xm ，依题意可得：()()160340260404x x --=⨯⨯， 解得：110x =，230x =，由4020x ->，可得20x <，取110x =，即得硬化路面宽度为10m ．【总结】二次方程解应用题中的面积问题，将两块绿地平移成一个长方形即可求解．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式模块五：动态几何类问题知识精讲例题解析A BCDP QA BCDP Q【例21】 如图，矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，t 秒钟后． （1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由． 【难度】★★【答案】（1）26PBQ S t t ∆=-+；（2）2t =或4t =；（3）不存在． 【解析】（1）根据题意可得6BP t =-，2BQ t =，则有 ()21162622PBQ S BP BQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-+；（2）令268PBQ S t t ∆=-+=，解得：12t =，24t =； （3）令2610PBQ S t t ∆=-+=，方程无解．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．【例22】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以5cm /s 的速度沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ． 【难度】★★ 【答案】21545135222PQD S t t ∆=-+． 【解析】依题意可得：3AP t =，5BQ t =，则有93BP t =-， 155CQ t =-， 则有1145315222APD S AP AD t t ∆=⋅=⋅⨯=， ()21115459352222BPQ S BP BQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-+， ()114513591552222CDQS CD CQ t t ∆=⋅=⨯-=-+， 则有21545135222PQD APD BPQ CDQ ABCD S S S S S t t ∆∆∆∆=---=-+矩形 【总结】考查几何类问题中的动点问题，本题采用割补法即可对相应面积进行求解．A BCDP QABC Q PR AB CDPQRL【例23】 等腰直角三角形ABC 中，AB =BC =8cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B 移动，通过点P 引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于R 、Q ．当AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于162cm ? 【难度】★★ 【答案】4AP cm =．【解析】四边形PQCR 为平行四边形，易得ARP ∆、PQB ∆都为等腰直角三角形，则有CQ PR AP ==，8BQ BP AP ==-，由此可得： ()288PQCRSCQ PB AP AP AP AP =⋅=-=-+， 令2816PQCRSAP AP =-+=，可得：4AP cm =．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．【例24】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ． 【难度】★★★【答案】10t s =或()85210t s =+-．【解析】重合部分面积先逐渐增大，然后逐渐 减小，面积增大过程中，阴影部分为 等腰直角三角形时，则有21=52S CQ =阴，得10CQ =，此时则有10t s =；面积减小过程中，阴影部分为等 腰直角三角形时，则有21=52S BR =阴，得10BR =，此时则有()85210t s =+-． 【总结】考查几何图形中的动点问题，注意面积的变化趋势和相应问题的多解性．模块六：其他类问题【例25】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012h v t gt =-，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求：（1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地? 【难度】★★【答案】（1）1s 或5s 后；（2）6s ．【解析】（1）令201252h v t gt =-=，即213010252t t -⨯=，整理得：2650t t -+=， 解得：11t =，25t =；（2）令20102h v t gt =-=，即21301002t t -⨯=，解得：10t =，26t =，即6s 爆竹落地． 【总结】运动问题转化为实际问题，根据题意转化为解方程即可．【例26】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加． 【难度】★★★ 【答案】45．【解析】设共有x 个选手参加比赛，则比赛总场次为()12x x -，每局总得分2分，则总得分为()1x x -分，两相邻数字相乘末尾只能是0，2，6，可知正确分数1980，()11980x x -=， 解得：145x =，244x =-（舍），即共有45个选手参加． 【总结】考查比赛问题，结合末尾数字分析准确分数是解题的关键．【例27】 一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精? 【难度】★★★例题解析【答案】10．【解析】设第一次倒出了xL 纯酒精，依题意可得：()601601460602x x x ---+=⨯， 整理得：21069600x x -+=，解得：110x =，296x =，由60x <，取110x =， 即第一次倒出了10L 纯酒精．【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．【习题1】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】8【解析】设参加比赛有x 个球队，依题意可得方程为()1742x x -=⨯，整理得2560x x --=，解得：18x =，27x =-（舍），即应邀请8支球队参赛． 【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．【习题2】 用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】不能．【解析】设折成矩形的长为xcm ，则其宽为202102xx -=-，依题意可得：()1030x x -=， 方程无解，即不能折出这样的矩形．【总结】本题主要考查一元二次方程在面积问题中的应用．【习题3】 小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税） 【答案】10%．【解析】设第一次存款年利率为x ，则第二次存款年利率为50%x ，第一年本金为100元，则第二年本金为()100150x +-⎡⎤⎣⎦元，依题意可得()()100150150%63x x +-+=⎡⎤⎣⎦，整理 即为250125130x x +-=，解得：1135x =-，2110x =，即第一次存款年利率为10%． 【总结】利息问题，关键点是考虑清楚本金和相应的年利率．【习题4】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：A BCD【答案】花圃长13m ，宽10m ．【解析】设花圃宽为xm ，则花圃长为3122332x x -+=-，得()332130x x -=，解得：1 6.5x =，210x =，由33215x -≤，得9x ≥，取210x =， 即花圃宽为10m ，长为13m ．【总结】面积问题，注意题目的隐含条件确定相应量的取值．【习题7】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【解析】设BC xm =，则有5425xAB -=， 根据题意，得：542725x x -⋅=，解得112x =，215x =，所以5425x-的值6m 或4.8m ． 当墙的长度大于15等于米时，6AB m =12BC m =或 4.8AB m =，15BC m =； 当墙的长度大于等于4.8米小于15米时， 4.8AB m =，15BC m =； 当墙的长度小于4.8米时，无解．【总结】本题考查一元二次方程在面积问题中的应用，由于本题没有告知墙的长度，因此要分类讨论．【习题8】 某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.62m ，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土483m ，需要多少天才能把这条渠道挖完． 【难度】★★【答案】（1）上口宽2.8m ，渠底宽1.2m ；（2）25天【解析】（1）设渠深为xm ，则道上口宽为()2x m +，渠底宽为()0.4x m +，依题意可得()20.4 1.62x x x +++=，解得：12x =-（舍），20.8x =，即得渠道上口宽为0.82 2.8m +=，渠底宽为0.80.4 1.2m +=； （2）挖土天数为750 1.64825⨯÷=天．【总结】考查工程问题的简单应用，根据面积进行计算即可．【习题9】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．ABCPQ（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由 【难度】★★★【答案】（1）BQ x =，82BP x =-；（2）83x =；（3）2x = 【解析】（1）根据题意可得2AP x =，BQ x =，勾股定理可得 228AB AC BC =-=，则有82BP x =-；（2）△PBQ 为等腰三角形，仅可能BP BQ =，即82x x -=， 解得：83x =；（3）20APQC S =，即20ABC BPQ S S ∆∆-=，由此可得：()1168822022x x ⨯⨯--=， 整理得：()220x -=，解得：122x x ==，此时2x =．【总结】考查几何图形中的动点问题，把相应的线段长度用含有字母的代数式表示出来再根据题意即可进行求解．1. 从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________． 【难度】★ 【答案】264cm ．【解析】设原正方形边长为xcm ，依题意可得()248x x -=，解得：16x =-（舍），28x =， 由此可得正方形铁皮面积为22864cm =．【总结】考查几何图形面积问题，根据面积公式进行相应计算即可．2. 有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的矩形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米． 【难度】★ 【答案】20，13．F E A BCD【解析】设鸡场宽为xm ，则长为()462x m -，依题意可得：()462260x x -=，解得：110x =，213x =，由46225x -≤，得10.5x ≥，取213x =， 即得鸡场宽为13m ，长为20m ．【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可，注意题目的隐含条件．3. 在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为82m 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号） 【难度】★★ 【答案】()53m -．【解析】设这个宽度为xm ，依题意可得()()122828x x --=，整理得：210220x x -+=，解得：153x =+，253x =-，由820x ->，得4x <，取253x =-， 即花坛四周宽度为()53m -．【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可．4. 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为45003m ，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE ，10110.049≈精确到0.1m ） 【难度】★★ 【答案】9.0m ．【解析】设水坝高度为hm ，则有AE h =， 2BF h =，则33AB h =+，依题意可得()13033345002h h ⨯++=，解得：11011h =-，21011h =--（舍），由此可得水坝高度为110119.0h m =-≈． 【总结】考查坡度的概念，根据面积即可进行计算．5. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌? 【难度】★★ 【答案】15．【答案】（1）()()221022144242x x S x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩； （2）2x =或42x =-【解析】（1）02x <≤时，直线l 左侧部分是等腰直角三角形，则有221122S AP x ==；24x <<时，直线l 右侧部分是等腰直角三角形，则有()2221111244442222ABC S S BP x x x ∆=-=⨯⨯--=-+-；（2）211124242x =⨯⨯⨯时，得2x =；21314424242x x -+-=⨯⨯⨯时，得42x =-．【总结】注意特殊形状图形的面积，考虑题目中多解问题的存在性．自学七招1、日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高2、预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼3、以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好4、举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞5、智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力6、错题本吐纳术：巧用智能错题本，错题定期反复练7、提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌。
沪科版九年级上册数学教案 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.多媒体课件.（课件展示问题）由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价.一、思考探究，获取新知你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6 =-2(x 2-2x)+6 =-2(x 2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是x=-ab2，顶点坐标是(-ab 2，a b ac 442 )【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 二、典例精析，掌握新知问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。
八年级数学下册21.2二项方程教学设计沪教版五四制
八年级数学下册21.2二项方程教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版八年级数学下册21.2二项方程》这一节主要讲述了二项方程的概念、性质和求解方法。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握二项方程的基本概念，熟练运用公式法求解二项方程，并能够应用二项方程解决实际问题。
教材内容共分为三个部分：二项方程的概念与性质，二项方程的求解方法，以及二项方程的应用。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了方程和函数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但在解决实际问题时，仍存在对概念理解不深刻、解题方法不灵活等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解二项方程的概念和性质，并通过大量的练习，让学生熟练掌握求解方法，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二项方程的概念，掌握二项方程的性质。
2.学会运用公式法求解二项方程，并能灵活应用解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二项方程的概念与性质。
2.公式法求解二项方程。
3.二项方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生自主探究，合作交流，从而深入理解二项方程的概念和性质。
同时，通过大量的例题和练习，让学生熟练掌握求解方法，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材、PPT及相关教学资料。
2.练习题及答案。
3.教学工具（黑板、粉笔、投影仪等）。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解这类问题。
例如：某商店举行抽奖活动，奖品为一个价值200元的书包。
抽奖规则如下：每个参与者支付10元，抽奖时，有两种可能的结果，要么中奖，要么不中奖。
中奖的概率是20%。
问参与者支付10元后，期望获得的价值是多少？2.呈现（10分钟）介绍二项方程的概念和性质。
二项方程一般形式为：x^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二项方程的解法有公式法和因式分解法。
九年级上册：第03讲_含参的一元二次方程(教师版)
第03讲_含参的一元二次方程知识图谱含参的一元二次方程知识精讲二．一元二次方程的整数根如果一元二次方程2三点剖析一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．判别式与解的关系例题1、已知关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．【答案】C【解析】关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，A 、当k=0时，x-1=0，则x=1，故此选项错误；B 、当k=1时，x 2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当k=-1时，-x 2+2x-1=0，则（x-1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．例题2、解方程：mx 2－（2m ＋1）x ＋m ＋1＝0．【答案】当m ＝0时，x ＝1当m ≠0时，11m x m+=，x 2＝1【解析】暂无解析例题3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大数值时，解此一元二次方程．【答案】（1）a ≤6且a ≠2．（2）x 1=x 2=﹣32．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，∴()()()22024230a a a a -≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩，解得：a ≤6且a ≠2．（2）当a=6时，原方程为4x 2+12x+9=（2x+3）2=0，解得：x 1=x 2=﹣32．随练1、已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是．【答案】a ≤2【解析】∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，∴△≥0，即4﹣4（a ﹣1）≥0得，a≤2，且a ﹣1≠0，a≠1；∴a 的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a 的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．随练2、已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根；（2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>；（3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->．综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练3、解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-特殊解问题例题1、已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵m ≠0，∴220mx x m--=是关于x 的一元二次方程．∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例题2、已知关于的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根。
沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版
一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。
解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。
(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。
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例题1
1 小明同学在解关于x的方程5x − 4 =( )x时，把( )处的数看错，得错解x = −1，则小明把
( )处看成了
．
例题2
1 小华同学在解方程5x − 1 =( )x + 3时，把“( )”处的数字看成了它的相反数，解得x = 2
，则该方程的正确解应为x =
．
2 小慧在解方程2a − 2x = 5(x为未知数)时，误将“−2x”写成了“+2x”，得到方程的解为 x = −5，则原方程的解为( )
含参方程（二）
模块1：含参方程（二）
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公益课-含参一元一次方程 学生素材 一、含参一元一次方程 系数有字母的一元一次方程称为含参一元一次方程. 二、含参一元一次方程的常见题型之错解问题 若看错一个方程，得到错解．此时先把错解代入错的方程，得到参数的值和原方程，然后解原方程即 可.
A. x = −3 B. x = 3 C. x = 5 D. x = −5
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例题3
1
3x + 5
小李在解方程
−
2x − m
= 1去分母时方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为
2
3
x = −4，求出m的值并正确解出方程．
演练题1
模块2：课堂巩固
1 小李解关于x的方程5a − x = 12时，误将−x看作+x，得方程的解为x = −3，则原方程的解是
( )
A. x = −2 B. x = 1 C. x = 3 D. x = 2
演练题2
1 小明在解方程3a − 2x = 15(x为未知数)时，误将−2x看作是+2x，得方程的解为x = 3，试求出
原方程的解．
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