无穷级数知识点介绍

专转本专题知识点----------无穷级数数项级数定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式......321+++++n u u u u （11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为∑∞=1n nu,即∑∞=1n nu=......321+++++n u u u u其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。

式（11.1）的前n 项和∑==++++=nk k n n u u u u u S 1321...称为式（11.1）的前n 项部分和。

当n 依次取1，2，3，...时，部分和...,..,,,321n S S S S构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列定义2 若级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 有极限SS S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu收敛，称S 是级数∑∞=1n nu的和，即 (3211)+++++==∑∞=n n nu u u u uS如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞=1n nu发散数项级数的性质 （1）若级数∑∞=1n nu和级数∑∞=1n nv都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数∑∞=±1)(n n nv u也收敛，且其和为±S σ（2）若级数∑∞=1n nu收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数∑∞=1n nku也收敛，且其和为kS（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 （4）若级数∑∞=1n nu收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数正项级数：若级数∑∞=1n nu=......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此级数为正项级数定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界定理2 （比较判别法）若级数∑∞=1n nu和级数∑∞=1n nv为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ，那么： （1）若级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu也收敛（2）若级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv也发散定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数∑∞=1n nu（,...3,2,1,0=>n u n ）满足条件l u u nn n =+∞→1lim则（1）当1<l 时，级数收敛 （2）当1>l 时，级数发撒（3）当1=l 时，无法判断此级数的敛散性二．交错级数级数∑∞=-1)1(n n n u （,...3,2,1,0=>n u n ）称为交错级数定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数∑∞=-1)1(n nnu （,...3,2,1,0=>n u n ）满足下列条件（1）1+≥n n u u （2）0lim =∞→n n u则交错级数∑∞=-1)1(n nnu 收敛，其和,1u S ≤其余项的绝对值1+≤n n u r三．绝对收敛和条件收敛若级数∑∞=-1)1(n nnu 的各项为任意实数，则称级数∑∞=1n nu为任意项级数定义 如果任意项级数∑∞=1n nu的各项绝对值组成的级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；如果∑∞=1n nu发散，而∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu条件收敛定理5 如果级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nu必收敛定理6 如果任意项级数∑=1n nu满足条件l u u nn n =+∞→1lim（1）当1<l 时，级数绝对收敛 （2）当1>l 时，级数发撒 幂级数定义1 如果,...)3,2,1)((=n x u 是定义在某个区间I 上的函数，则称函数...)(...)()()(211++++=∑∞=x u x u x u x u nn n（11.4）为区间I 上的函数项级数定义2 形如...)(...)()()(020201010+-++-+-+=-∑∞=n n n n n x x a x x a x x a a x x a （11.5）的级数称为)(0x x -的幂级数，其中,...,...,,,210n a a a a 均为常数，称为幂级数的系数。

当00=x 时，级数∑∞=+++++=12210......n n n n n x a x a x a a x a （11.6）称为x 的幂级数定义 3 对于形如式（11.6）的幂级数若设l a a nn n =+∞→1lim，则x l x a a x a x a u u nn n n n n n n n n n •=•==+∞→++∞→+∞→1111lim lim lim根据任意项级数判别法可知：（1）当0≠l 时，若1<•x l ，即R l x =<1，式（11.6）绝对收敛 若1>•x l ，即R l x =>1，式（11.6）发散若1=•x l ，即R lx ==1，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散（2）当0=l ，由于10<=•x l ，式（11.6）对任何x 都收敛称lR 1=为幂级数式（11.6）的收敛半径 定理1 如果幂级数∑=+++++=12210......n n n nn x a x a x a a xa的系数满足条件l a a nn n =+∞→1lim，则（1）当+∞<<l 0时，lR 1= （2）当0=l 时，+∞=R （3）当+∞=l 时，0=R幂级数的性质 设幂级数∑∞=0n nnxa 与∑∞=0n nnxb 的收敛半径分别是1R 与2R （1R 与2R 均不为0），它们的和函数分别为)(1x S 与)(2x S 1.（加法与减法运算）)()()(210x S x S x b ax b x a n n n nn nnn nn±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=所得的幂级数∑∞=±0)(n nn nx b a仍收敛，且收敛半径是1R 与2R 中较小的一个2.（乘法运算）)()(...)...(...)()()()(21011020211200110000x S x S x b a b a b a x b a b a b a x b a b a b a x b x a n n n n n n n n nn •=+++++++++++=•-∞=∞=∑∑两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是1R 与2R 中较小的一个 3.（微分运算）若幂级数∑∞=0n nnxa 的收敛半径R ，则在（-R,R ）内和函数S(x)可导，且有∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a xa x S且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4.（积分运算）若幂级数∑∞=0n nnxa 的收敛半径R ，则和函数S(x)在该区间内可积，且有∑⎰∑⎰⎰∑∞=∞=+∞=+===0011)()(n xn n n nn xxn nn x n a dx x a dx x a dx x S且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R 函数展成幂级数 1.泰勒级数设)(x f 在0x x =处任意阶可导，则幂级数n n n x x n x f )(!)(010)(-∑∞=称为)(x f 在0x x =处的泰勒级数2.麦克劳林公式 当00=x 时，级数nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数 3.几个常见的麦克劳林展开式①)1,1(,110-∈=-∑∞=x x x n n ②)1,1(,)1(11-∈-=+∑∞=x x x n n n ③),(,!0+∞-∞∈=∑∞=x n x e n nx④),(,)!12()1(sin 012+∞-∞∈+-=∑∞=+x n x x n n n ⑤),(,)!2()1(cos 02+∞-∞∈-=∑∞=x n x x n nn ⑥)1,1(,)1()1ln(11-∈-=+∑∞=-x n x x n nn ⑦∑∞=-∈•+--=+0)1,1(,!)1)...(1()1(n n x x n n x αααα。