2008华南理工大学《积分变换》期末真题试卷 B
华南理工大学数分(二)期末考卷
《数学分析（二）》试卷（A ）一、 写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积；（5分）2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x)；（5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx （5分）三、令I n =∫(sin x)n dx π0，求I n 与I n−2之间的递推公式。
（10分）四、 平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ))，(0≤θ≤2π)，求该曲线所谓区域面积。
（10分）五、 旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t ))，y (t )=r (1−cos (t ))，(0≤t ≤2π)给出，把该曲线绕x 轴旋转一周，求所得旋转体体积。
（10分）六、 对不同的值a ，判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性（条件收敛、绝对收敛）。
（10分）七、 令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域；（10分）3、求S 的值；（5分）八、周期函数f(x)={1，(x∈(2kπ,2kπ+π])−1，(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。
（5分）《数学分析（二）》试卷（B）一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x)；（5分）2、数列{a n}的上极限为A；（5分）二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。
（10分）三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。
（5分）四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。
（10分）五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ))，(0≤θ≤2π)，ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5分）六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1，1、在a取不同的值时判断它的收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、在a=2时计算该反常积分的值（5分）七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n]，1、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开，并判断收敛性；（10分）3、求S的值；（5分）八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x，x∈[2kπ−π,2kπ+π)，1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。
华南理工大学期末考试试卷及参考答案Ba
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信号与系统》试卷B1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭 卷；2分/题，共20分）1） 信号x(n), n=0,1,2,3,…是能量有限的意思是a) x(n)有限；b) |x(n)|有界；c)()2n x n ∞=<∞∑; d)()01Nn x n N=<∞∑。
c2） 一个实信号x(t)的偶部是a) x(t)+x(-t); b) 0.5(x(t)+x(-t)); c) |x(t)|-|x(-t)|; d) x(t)-x(-t)。
b 3） LTI 连续时间系统输入为(),0ate u t a ->，冲击响应为h(t)=u(t), 则输出为a)()11at e a --; b) ()()11at e t a δ--; c) ()()11at e u t a --; d) ()()11at e t aδ---。
c 4） 设两个LTI 系统的冲击响应为h(t)和h 1(t)，则这两个系统互为逆系统的条件是 a) ()()()1h t h t t δ*=; b) ()()()1h t h t u t *=; a c) ()()()1h t h t u t *=-; d) ()()10h t h t *=。
5） 一个LTI 系统稳定指的是a) 对于周期信号输入，输出也是周期信号；b)对于有界的输入信号，输出信号趋向于零；c)对于有界输入信号，输出信号为常数信号；d)对于有界输入信号，输出信号也有界 d6） 离散信号的频谱一定是a) 有界的；b) 连续时间的；c) 非负的；d) 连续时间且周期的。
d 7） 对于系统()()()dy t y t x t dtτ+=，其阶跃响应为 a) ()/1t e u t τ-⎡⎤-⎣⎦; b) ()/1t e t τδ-⎡⎤-⎣⎦; c) ()/1t e u t τ-⎡⎤+⎣⎦; d) ()/1t e t τδ-⎡⎤+⎣⎦. a8） 离散时间LTI 因果系统的系统函数的ROC 一定是a) 在一个圆的外部且包括无穷远点； b)一个圆环区域；c) 一个包含原点的圆盘；d) 一个去掉原点的圆盘。
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
复变函数与积分变换》课程考试试卷B卷
华中科技大学2008～2009学年第一学期
《复变函数与积分变换》课程考试试卷(B 卷)
院(系)___________专业班级_____________学号_______________姓名__________
考试日
期: 年 月 日
考试时间: : ~ :
一、填空题 (每空2分，共30分)
1、复数的模为 ，辐角主值为 .
2、的所有值分别为 ..
3、已知，则点的轨迹曲线是 .
4、的值为 .
5、函数在何处可导 .，何处解析 .
6、设，则= ...
7、函数在处展开成泰勒级数的收敛半径为 .
8、为函数的何种类型的奇点 .
9、积分的值为 ..
10、映射在处的伸缩率为 ，旋转角为 .
得 分
评卷人
11、已知的傅氏变换为，则= .
12、函数的拉氏变换为 . 二、计算题 (每题5分，共20分)
1、
2、 3、
4、 三、(10分) 已知
，证明为调和函数，并求一满足条件的解析函数.
四、(10分)将函数 在 点
展开为洛朗 (Laurent) 级数．
得 分
评卷人 得 分
评卷人 得 分
评卷人
五、(10分)求曲线在映射下的像曲线.
六、(10分)求把区域
映射到单位圆内部的共形映射．
七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程组：
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得 分
评卷人 得 分
评卷人。
高数B(2)(2008)试卷B
一.选择题(每题3分，共15分) 1.已知()(),F x f x 则()d x af t t（ ）A . ()()F x F aB . ()()F t F aC .()(2)F x a F aD . ()(2)F t a F a2. d arctan d d bax xx（ ）A .arctan xB .211xC .arctan arctan b aD .03.下列级数绝对收敛的为（ ） A .11n nB . 1(1)21nn n C . 11()2nn D . 132n nn4.设2x y z e 则z x（ ）A . 22e xyx y B .22e x y xy C .22e x y x D . 2e x y y5.二重积分22sin()d d Dx y x y 其中22(,)1Dx y x y ,在极坐标系下化为累次积分为（ ）A .21200d sin d r r r B .21200sin d d r rC .2122dsin()d xy r D .220dsin d r r r二.填空题：(每题3分，共15分) 1.若1(1)d 2k x x，则 k =______________________. 2.广义积分2ln edxx x=______________________. 3 .级数1(1)(1)3n nnn x n的收敛半径 R =______________________. 4. 设2(,)sin(2)f x y x xy ，求(1,0)y f =______________________. 5.微分方程 20yyy的通解y______________________.三．计算题(每题8分，共32分)1. 求31d (1)xx x .2. 已知平面图形由2x y =，x y =所围成，求此平面绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积.3．计算二重积分2(32)Dx xy d ,其中D 是由2,1y x x 及x 轴所围成的区域.4．求微分方程32210dyx x y dx的通解.四.将2()cos f x x 展开为x 的幂级数,并指出其收敛区间.（8分）五.证明级数1()1n n n=1-1为条件收敛.（8分）六. 判别级数32nn n n=1的敛散性.（8分）七．设()yzF x，F 是可微函数，证明：0xyxz yz (6分)八. 某企业生产甲乙两种产品的产量分别为x ,y （单位：吨）,其总成本为：22(,)61030C x y x y xy若计划生产两种产品共34吨,求两种产品的产量各为多少,使总成本最小?（8分）附加题(每题15分，共30分) 1. 证明如果交错级数1234212,(0)k k n u u u u u u u --+-++-+>满足条件(1)11,2,) (n n u u n +≥=; (2)lim 0.n n u →∞=则级数收敛.2. 求证：设f (x )在[a ,b ]上连续,F (x )是f (x )的一个原函数,则 ()()().d ba f x x Fb F a =-⎰。
2008年复变期末考试试卷
华南农业大学期末考试试卷（ A 卷 ）2008学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、单项选择题( 2*15=30分)请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的（ ）A.充分不必要条件 ；B. 必要不充分条件 ；C.充分必要条件 ；D.既非充分也非必要条件 . 2．下列命题中,正确的是（ ） A. 设,x y 为实数,则cos()1x y +≤；B. 若0z 是函数()f z 的奇点,则()f z 在点0z 不可导 ；C. 若,u v 在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则()f z u iv =+在D 内解析 ；D. 若()f z 在区域D 内解析 ,则()i f z 在D 内解析. 3.下列函数中,为解析函数的是( )A.222x y xyi --;B.2x xyi +;C.222(1)(2)x y i y x x -+-+D.33x iy + 4.i i 的主值为( )A.0;B.1;C.2e π; D. 2eπ-5.设()sin f z z =,则下列命题中,不正确的是( ) A.()f z 在复平面上处处解析; B.()f z 以2π为周期;C.()2iz ize ef z --=; D.()f z 是无界的.6.设1:1c z =为负向, 2:3c z =为正向,则122sin c c c zdz z =+=⎰( )A.2i π-;B.0;C. 2i π;D. 4i π.7.设()f z 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果()f z 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,0()f z ( ) A.等于2; B.等于1; C.等于0; D.不能确定. 8.下列命题中,正确的是( )A.设12,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有12v v =;B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数;C.若()f z u iv =+在区域D 内解析,则ux∂∂为D 内的调和函数;D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数. 9.下列级数中,条件收敛的级数为( )A.113()2nn i i =+∑; B.1(34)!nni i n =+∑;C. 1n ni =; D.1nni i n =∑. 10.若幂级数1nn n i c z =∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性( )A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.不能确定 11.设函数1()(1)(4)f z z z z =++在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么m =( )A.1;B.2;C.3;D.4.12.1z =是函数1(1)sin 1z z --的( )A.可去奇点;B.一阶极点;C.一阶零点;D.本性奇点. 13. .设c 为正向圆周2z =,则2cos (1)c zdz z =-⎰( )A. 2cos1i π;B. 2sin1i π-;C. 2sin1i π;D.0.14.映射3z iz iω-=+在02z i =处的旋转角为( )A.0;B.2π; C.π; D.2π-15.下列命题中,正确的是( )A. 函数z ω=构成的映射属于第二类保角映射;B.映射34z z ω=+在0z =处的伸缩率为零;C.若1()f z ω=与2()f z ω=是同时把单位圆1z <映射到上半平面Im()0ω>的分式线性映射,那么12()()f z f z =;D. n z ω=在复平面上处处保角(此处n 为自然数).二、填空题（3*5=15分）只填写最终答案，不要求过程。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(K12教育文档)
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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。
)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。
2008高数工-2期末-A(工-4ye)答案
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。
1． 对函数xy x y x f +=2),(，原点 )0,0( 【 B 】 （A ）不是驻点. （B ）是驻点却不是极值点. （C ）是极大值点. （D ）是极小值点. 2． 微分方程01=-'xy 【 D 】 （A ） 不是可分离变量的微分方程 （B ）是齐次微分方程（C ）是一阶线性齐次微分方程 （D ）是一阶线性非齐次微分方程3．级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n 的敛散情况是 【 C 】（A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 4．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑zdS = 【 A 】（A ）0 （B ）22a π （C ） 24a π （D ） 1 5．将二次积分dx x dy I y ⎰⎰+=1311交换积分次序后得 【 B 】（A ）⎰⎰+13121x dy x dx (B) ⎰⎰+20311x dy x dx （C ） ⎰⎰+ydy x dx 03101 （D ）⎰⎰+1311xdy x dx二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线t z t y t t x 2,sin ,cos ===在点),,1,0(πP 处的切线方程为2012π-=-=-z y x ， 法平面方程为0440222=+-=-+-ππππz x z x 或.7．试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,,.8．函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ， ()=)0(5f -30 . 9．设函数(),001⎩⎨⎧≤≤--<<=x x x x f ππ)(x S 是()x f 的以2π为周期的傅立叶级数的和函数，则=-)21(S21 ，=)(πS 21+π . 10．2222=+++z y x xyz 确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分为 dy dx dz 2-=.三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数()ye x yf z ,22-=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y z ∂∂，yx z ∂∂∂2．解 ye f yf y z 2'12'+=∂∂ ()y e f y f x yx z 1211222''+''-=∂∂∂12．计算三重积分dv y xI ⎰⎰⎰Ω+=)(22，其中Ω为旋转抛物面22y x z +=与平面 1=z 所围成的区域.解： 利用柱面坐标： dv y x I ⎰⎰⎰Ω+=)(22dz d d ⎰⎰⎰=1012202ρπρρρθ ()ρρρπd 21312-=⎰ ρρρπd )(2513-=⎰6π=13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑++++=,222333zy x dxdyz dzdx y dydz x I 其中∑是球面2222a z y x =++的内侧.解：将球面方程2222a z y x =++代入I ，得： ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=dxdy z dzdx y dydz x a z y x dxdyz dzdx y dydz x I 3332223331 利用高斯公式，333,,z R y Q x P ===，设球面∑所围闭区域为Ω，()dxdydz z y x a I ⎰⎰⎰Ω++-=2223331 dr r r d d a a ϕϕθππsin 3202020⎰⎰⎰-=⎰-=πϕϕπ05sin 56d a a 5124a π-=.14．计算()(),322⎰++-=Ly dy ye x dx y xI 其中L 是由直线22=+y x 上从点()0,2A 到点()1,0B 上的一段及圆弧21y x --=上从()1,0B 到()0,1-C 的一段连接而成的有向曲线.解：补线21:,0:→-=x y CA ，++BC 弧则围成封闭曲线，其所围闭区域为D ，在其上使用格林公式，y ye x Q y x +=-=3,2P 2，2,3-=∂∂=∂∂yPx Q()()⎰++-=Ly dyye x dx y x I 322()()()()⎰⎰++--++-=++CAy BC y dy ye x dx y xdy ye x dx y x32322CAAB 2弧=dx x dxdy y P x Q D ⎰⎰⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂21221335--=⎰⎰x dxdy D 4523415ππ+=-⎪⎭⎫⎝⎛+= 15． 求（1）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的收敛域；（2）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的和函数.解：（1）求收敛域：121211212lim()(lim -+∞→+∞→-+=n n n nn n x n n x x u x u 2x =，则该级数在()1,1-内收敛. 1=x 时，级数为()∑∞=--1121n nn ，收敛1-=x 时，级数为()∑∞=---1121n nn ，收敛，该级数的收敛域为[]1,1-. （2）求和函数 设()121121)(-∞=∑--=n n n x n x s ， 两边同时对x 求导，得()221121)1(121)(-∞=-∞=∑∑-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='n n n n n n x x n x s 211x +-=两边同时对x 积分，得 x dx x s x s xarctan 11)0()(02-=+-=-⎰由于,0)0(=s 所以[]1,1,arctan )(-∈-=x x x s 16．设函数)(x y 满足()()[]d t t y tex y x t⎰-+='01，且(),10=y ， 求)(x y .解：两边求导得()()x y xe x y x -=''，即：()()x xe x y x y =+'' 这是二阶常系数非齐次线性方程，且(),10=y ()10='y（1）先解对应的齐次方程： 特征方程为,012=+r 特征根为i r ±= 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+=（2）再求非齐次方程的一个特解：设特解为()x e B Ax y +=*，求"'**,yy ，代入方程()()x xe x y x y =+''化简得 21,21-==B A 则所求特解为x e x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=2121*（3）求原方程的特解：原方程的通解为()x e x x C x C y Y y 121sin cos 21*-++=+= 将初始条件(),10=y ()10='y 代入得1,2321==C C 则()x e x x x y 121sin cos 23-++=四、 证明题: 本题共1题，6分. 17. 证明：()()21,21:,11ln 1ln ≤≤≤≤≥++⎰⎰y x D dxdy x y D. 证明：()()dxdy x y D⎰⎰++1ln 1ln ()()()()dxdy y x x y D ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=1ln 1ln 1ln 1ln 211⎰⎰=≥Ddxdy 其中用到了()()()()()()()()y x x y y x x y +++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++1ln 1ln 21ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 21221≥。