论学习数学的三种境界
数学课堂的三重境界探幽
数学课堂的三重境界探幽凡事都有境界之分,为人、为事、为学问均不例外. 著名学者冯友兰曾经将人生划分为四种境界,即自然境界、功利境界、道德境界、天地境界. 近代学者王国维认为:“古今之成大事业、大学问者,必经三种境界. ”并以三句诗加以形容:“昨夜西风凋敝树,独上高楼,望尽天涯路”,此为第一境界;“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”,此为第二境界;“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”,此为最终境界. 依此观照,境界倒确乎为华夏文化的精髓之一了. 其主张对宇宙、对人生、对事物须入乎其内,出乎其外,所见、所思、所为应达到超越,必然走向自由的地步.凭三尺讲台、一方空间的数学课堂,能否区分境界的高低呢?能的,只不过划分的标准会见仁见智. 笔者不揣浅陋,尝试做一番探讨.其一为“效率境界”. 我们常常会用“扎实”“实在”“高效”等词来评判这类课堂教学. 追求效率的数学课堂教学在我国有其历史渊源. “文化大革命”结束后,国家急需培养出大量又红又专的人才. 教育系统拨乱反正,对中小学数学的教学内容和教学方法都进行了深刻的反思. 1978年国家颁布的教学大纲明确提出要加强“双基”(即基础知识和基本技能)的训练. 从那时起,“双基”在中国教师的头脑里就打上了深深的烙印. 通过一代一代人教学经验的传递,其教学方法、教学流程、教学手段都得到延续. 其教学的主要特征是:强调教师的讲授要准、要细,重视学生对知识的正确理解,加强解题技巧训练,训练学生解题的熟练程度. 显然,这是一种效率至上的教学,关注的是课堂中“投入与产出的效益比”. 所以,其教学方法的设计,往往将材料划分成一系列连续的小单元,采用小步子教学,一步一回头,不断地强化学生正确的行为,修正错误的理解和认识,整个系列由浅入深、由简到繁. 这种小步骤进行呈现明显的及时反馈、自定学习步调的教学方式,显然与行为主义心理学家斯金纳“程序教学法”的四个要素是相一致的. “效率境界”的课堂,表现为快节奏、大容量,带有浓厚的功利主义倾向,在这样的课堂里,学生习得的是“枯燥的”“专深的”数学知识,但学生的主体未得到解放,学生的数学素养不能得到全面的、和谐的提升.其二为“质量境界”. 这类课堂我们往往会用“精致”“巧妙”“行云流水”等词来形容. 若从技术层面上分析,这一境界的数学课堂教学,则更多显现为认知心理学的研究成果对数学教学实践的影响. 一是强调学习过程中学生主体能动作用的发挥. 认知心理学认为:学习活动的有效性,不仅依赖于主体对所学材料的识别、加工和理解,同样依赖于主体对自身学习活动的自我意识、自我评价和自我调控,更包括了主体对于自身结构的改善和重组. 学生的数学学习是学生经历“同化”或“顺应”后,自身心理结构发生变化的过程,故而学习主体在这一过程中发挥着至关重要的作用. 二是重视迁移. 所谓迁移,是指—种学习对后—种学习的影响. 奥苏伯尔在有意义的学习研究中,强调认知结构是知识学习发生迁移的主要媒体. 为此,他认为,教学时要设计适当的“先行组织者”,它要比学习任务本身具有较高的抽象、概括和综合水平,并能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习内容相关联,使之在学习者已知的与需要知道的两者之间架设一座桥梁,促使其更有效地学习新材料. 与之相呼应,在国内数学界,“为迁移而教”的口号一度被广大教师奉为圭臬,显然是把“迁移”在数学教学中的作用推向了极至. 三是突出学习的过程性,倡导让学生成为积极的探究者;强调利用发现活动激发学生的好奇心;诱导直觉思维,鼓励创新. 布鲁纳认为,编码系统不仅能够接受信息和组织信息,而且能够超越一定的信息,即产生创造性的行为. 这样便把创新性思想观念的产生与学习者已有的知识、观念和知识的结构形式关联起来. 四是受奥苏伯尔关于成就动机内驱力说的影响,加强了对学习兴趣的培养,关注学习者的“心向”;受加涅的认知策略理论的影响,注重学习方法的指导等等. 由于加强了对学习心理的研究,“质量境界”的数学课堂在教学设计上表现出的明显特征是“精雕细刻”,巧妙的迁移、精到的讲解、精致的练习设计、对教学流程细腻地加工和处理,都使这一境界的课堂教学愈加趋于科学化、精致化、审美化. “质量境界”的课堂,虽呈现出局部设计的细腻与精致,但缺乏整体观照的大气;虽然可以顺利达成一节课的认知与能力培养目标,但难以顾及“全人发展”这一更长远的教学目标. 特别是,教师越是追求教学精致的同时,也越是消解了学生对于真实问题模糊性的忍受力.其三我们不妨称之为“生态境界”. 我们会用“像呼吸一样自然”、“像拉家常一样轻松”等语句来描述对这类课堂教学的感受. 这样的课堂教学,它超越了对某一节课具体内容短期目标的设定,而是着眼于学生长期发展和可持续发展. 生态境界的课堂首先意味着是“生命的课堂”,尊重生命自主性、多样性和差异性,使得每一个学生在课堂中都是可以自由呼吸的. 这种自由体现在他们有权知道为什么要学习这些知识,他们有权发表对知识理解的任何看法,他们有权对教师的教学和自己的学习作出评价. 学生在这样的课堂里所体验到的,就是佐藤学说的“润泽的课堂”,就是叶澜说的“焕发出生命活力”的课堂. 生态境界的课堂还意味着是“和谐的课堂”,这不仅表现为课堂内人际关系的和谐,还意味着科学、文化、审美协调发展的和谐;“思维场”、“情感场”、“交往场”平衡的和谐;知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观相统一的和谐;教学方法、教学手段与教学内容相匹配的和谐;课堂生态空间环境与课堂教学环境的和谐等等. 和谐超越了以往强调某个单一指标的局限,实现了元素分析向各元素间整合的跨越,这无疑开辟了一条数学课堂研究的新视角. 再者,生态境界的课堂还是“发展的课堂”,可持续发展思想是人们对“人类中心主义”的思维方式和传统的依赖大量消耗资源、牺牲环境为代价换取经济增长方式进行反思的结果. 在数学课堂教学中,学生的可持续发展依赖于学生数学兴趣的培养和学生基本数学素养的形成,倡导以更多的机会来发展学生自我学习的态度和能力,让个体获得可持续发展的能力,即终生学习的能力,从而大大提高个体对外界环境的适应能力.“生态境界”的课堂显然已超越了我们当下对数学课堂的一般认知,由于教育体制、文化传承、师资素质等多方面的因素的制约,真正意义上的数学生态课堂的创建,无疑还需我们付出长期而艰巨的努力. 笔者所以提出以上的三重境界,就是希望我们能在心中点亮一盏明灯,才不会在前进的道路上迷失方向,因为,时代呼唤着我们,奔赴“生态境界”的数学课堂应尽早启程!。
例谈数学学习的五个层次
例谈数学学习的五个层次常听一些学生和家长说：对于高中数学，学生课堂上都能听懂，但一说做题，或是遇到有点难度的题目，就头脑发蒙，不知如何下手。
其实，说这些话的学生只处于数学学习的最初层次——懂，而我们知道要想学好数学必须做到：懂，知，会，悟，通这五个层次。
以下我就通过复习高中数学中一类重要问题——求函数值域来例说这五个层次。
例题：求函数xx y --=12的值域。
分析1：注意到这个函数存在反函数，想到利用反函数的定义域求出原函数的值域。
解法1：（反函数法）由112:12≠∴--=--=y y y x x x y 得 ∴此函数的值域是{}1|≠y y分析2：注意到该函数是个分式函数，且分子、分母都是一次形式，因此可以分离常数。
解法2：（分离常数法）∵11111112+-=--+=--=x x x x x y 且011≠-x∴y ≠1 故此函数的值域是{}1|≠y y 。
变形：求下列函数的值域。
①、x x y ++=221 ②、xx y -+=121 （x ＞1或－2＜x ＜0） ③、x x y sin 21sin -= ④、x x y cos 2sin 1--= ⑤、x x y cos 1sin 23++= 对于这个问题，只能做出①的同学，说明他们对上面例题的学习只是达到了第一个层次：懂。
即听懂，也就是能知道、了解老师讲的做法。
他们只是在照猫画虎，只知道这个函数也是分式，分子、分母也是一次式，根本不知上述两种解法中的特性。
对于只做出了①、②，而不会做后3个的同学，他们对于这个例题的学习也只达到了第二个层次：知。
即知觉，反映客观事物的整体形象和表面联系的心理过程。
他们不仅知道上述题目的特性，而且抓住了解法中的特性，如解法1中既然可以用y 表示出x ，那么根据题中x 的范围就可建立关于y 的不等式，进而求出值域；又如解法2，分离常数后可看到y 的范围实质取决于x -11的范围，那么仍然可利用分离常数法，根据x 的范围求出x -11的范围，进而求出值域。
数学学习方法：数学学习的三个层次
数学学习方法：数学学习的三个层次数学是思维的体操，以其缜密的逻辑向人们展示着它的数学美，然而，不少学生却忽略了它的美丽，在题海中疲惫地挣扎，不总是对数学基本知识的理解，这种只顾埋头拉车，而不抬头看路的短视做法，往往导致事倍功半，浪费了很多时间，却极大地挫伤我们的自信心。
笔者认为从理解数学概念、总结基本经验、构建知识网络等三个方面来加强自己的数学修养。
一、理解数学概念数学大厦是由一个个公理、定义、定理作基础砌成的，加强对这些概念的理解，有助于我们解题。
且不谈对方程、中垂线、圆等这些内涵丰富的概念的理解，单是从“绝对值”的定义上就可挖掘出很多东西。
书上如此定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，绝对值用“| |”来表示。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离，从定义我们可以直接得到判定两个数大小的一种数学思想-----数形结合思想，我们还可以从数轴的代数定义来理解绝对值的代数意义。
越是这样深入想，就越觉得数学有无穷魅力。
二、总结实践经验九年级时，题目得很多，这就得从题目中理出一个头绪来，掌握通性法。
例如，做了线段的证明题后，可总结证明线段相等的基本方法为：（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等。
（二）三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
⑤直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半。
⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。
⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。
数学学习的四个境界
数学学习的四个境界
象陈景润痴迷于歌德巴赫猜想几十年如一日那样，长久地沉醉于对数学真理的追求之中，乐此不疲！这真是：
衣带渐宽终不悔，
为伊消得人憔悴！
遇到数学难题一愁莫展，心情无比的沉重，饭吃不香，觉睡不着，又不肯轻易放弃，这可怎么得了？这真是：
昨夜西风凋碧树，
独上高楼，
望尽天涯路！
解决数学难题要讲究方法，要不断摸索，经过苦思冥想，最终找到合理的解题途径，此时的心境那真是：
山重水复疑无路，
柳暗花明又一村。
踏破铁鞋无觅处，
得来全不费功夫！
数学研究和学习需要解题，而解题过程需要反复思索，终于在某一时刻出现顿悟。
例如，做一道几何题，百思不得其解，突发灵感，添了一条辅助线，问题豁然开朗，欣喜万分，这真是：
众里寻他千百度。
蓦然回首，
那人却在灯火阑珊处！。
刍议数学自主学习的三重境界
元。 （ ２） ， 元 角 ，还可 以完写成 元。 通过这样 的系列训 练 ，学生 习得 知识 ，能力得 到了提高 ， 形成一定 的数学 素养 。同时审题 能力 、技 巧得 到发展 ，动手操 作能力增强 。在操作 的过程 中 ，学生感受 到知识 的来龙 去脉 。 逐渐地 由具体形象思维 向抽象思 维过 渡。思维 习惯得到 了锻炼 ，
思 维 品质 得 到 提 高 。 二 、会 学—— 学生主动探 学。 学生 会学不是教 师教 出来 的 ，是主动 习得 知识 ，是靠 学生 在 一 系列 学 习活动 中独 立思 考或 与他 人合 作 获得 的知识 及 本
领 。要 求教师根 据教学 内容 与学生实际情况 ，选用指导 自学与 适时 点拨相结合 、直观演示 与学生动手操作 相结合 、个人 思考 与小组学 习相结合等方法 ，让每个学生 “ 动”起来 。 例如 ：苏教版 四下 因数 和倍数一课 自主学 习案 （ 部分 ） 。 学 习提示语 ：数学知识 ，一般都是从概念学 习起 。 我们先来学 习概念 ：倍数和 因数 。课 内小组合作完成 。 １ ． 阅读课 本第 ７ ０和 ７ １ 页内容 ， 按 照课 本上 要求 做一 做（ 用 ｌ ２个 同样 的小 正方形 片拼成一个 长方形或 正方形等 ） ， 再完 成下 作者简介 ：朱从宝 ，男 ，中高，从事小学数学教学工作 ３ ０年。
【 关键词 】自 主 学习 境界
自主学习方式 ，是提高学 生 自学能力 的重要途径 和方 法 ， 有利 于培养学 生 良好 的学 习习惯 ，激发学 习的 内在潜力 。 自主 学 习方式 ，是解放教师 ，不再 “ 填鸭 ” ，释放学生学习潜能的实 践过 程 。 自主学习方式 ，有 利于激发学 生的学习热情 ，提高学 习的积极性 和主动性 ，能够 为学生一生学 习和成长打好 坚实的
渗透初中数学学习的三个层次
渗透初中数学学习的三个层次第一层次：基础知识学习在初中数学学习的第一个层次，学生需要掌握基础数学知识，这包括对基本运算符号的理解与掌握、整数、分数、小数、百分数的认识与计算、平方、立方、开方运算法则等等。
这个层次的学习是非常基础的，但又是非常重要的，因为这些知识对后面的学习都有很大的影响，并且是将来学习更复杂的数学知识的基础。
学生需要通过课堂学习、课外练习、习题测试等方式来巩固基础知识的学习，确保自己掌握了这些基本的数学知识。
第二层次：问题解决能力培养在初中数学学习的第二个层次，学生需要培养问题解决的能力。
这个阶段的学习主要通过课堂上老师的问题讲解、课后作业的解答、小组讨论和作业报告等方式来进行。
在这个层次，学生需要学会把抽象的数学知识应用到具体的问题中，分析问题的本质，找出问题的关键，提出解决问题的思路和方法，进而解决问题。
这对于学生的思维能力、逻辑推理能力等都有很大的帮助，是数学学习中非常重要的一个环节。
在初中数学学习的第三个层次，学生需要进一步培养数学知识的拓展应用能力。
这个层次的学习主要通过课外知识拓展、数学建模、数学竞赛等活动进行。
学生需要通过解决实际问题、参与数学建模、参加数学竞赛等方式来拓展和应用数学知识，使数学不再是一种死板的知识，而是能够灵活应用于生活和工作中的有用工具。
这个层次的学习是数学学习的一个衔接和延伸，也是对前面两个层次学习的一个检验和应用。
通过这三个层次的学习，学生可以逐步掌握数学知识，培养问题解决能力和拓展应用能力，从而达到全面提高数学学习能力的目的。
这不仅可以提高学生的学习成绩，更可以提高学生的综合素质，培养学生的创新精神和实践能力，为学生未来的发展打下坚实的基础。
求新、求活、求近——提高数学学习的境界
求新、求活、求近——提高数学学习的境界心理学研究表明：如果一个人对某一活动有浓厚兴趣，那么活动效率就高，不易产生疲劳和负担过重的感觉。
笔者在设计数学习题时把兴趣作为内在的“激素”，让学生主动、愉快、积极地做题，提高作业效果，减轻作业过重负担。
笔者是从以下三方面着手进行的：一求新——提供新鲜的东西引起兴趣1．题型新目前课本中的题型几乎被计算题、应用题、证明题“垄断”。
笔者在教学中注意使用客观性题型，如选择题、是非题、改错题、匹配题等新“包装”，让学生有耳目一新的感觉。
如为了提高学生的阅读能力，在学习勾股定理及逆定理之后，设计了这样一道题：问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号。
（2）错误的原因为。
（3）本题正确的结论是。
这样的题型，由于解题过程较简洁，用时少，学生乐于解。
2．题材新为了激发兴趣，可根据数学内容，设计一些适合学生爱好的新题。
如在教学一元一次方程应用时，笔者布置了这样一道题：例2，在1997年全国足球甲级A组的前九轮比赛中，大连万达队保持不败，共积分25分，按比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，问该队共胜了几场球？这种短小精悍的新题，难度不大，可使一些“足球迷”即兴求解，从而以这样的新“产品”，以新引思，以新促思，以新成思。
二求活——挖掘习题本身的内在力量保持兴趣1．思维方法活为了让学生在解题时保持兴趣，可给学生提供一些能用多种方法解决问题的习惯。
如学了等腰三角形的性质，要求学生解答：例3，△ABC是等腰三角形：AB＝AC，倘若不小心，它的一部分被墨水涂及。
想一想：有什么办法把原来的等腰△ABC重新画出来？学生一见题后，兴趣浓厚，想出了一种方法后，兴趣不减，继续考虑。
结果在作业本上出现了三种方法：①作∠B＝∠C；②作BC的中垂线；③对折。
2．思维成果活如教了浓度配比应用题后，笔者将课本上一道练习改为如下题：例4，把含盐15%的盐水20千克改制成含盐20%的盐水，怎么办？“怎么办？”这样一个灵活性较强的问题，打破了“陈规旧习”的束缚，引起学生从不同角度进行分析思考。
渗透初中数学学习的三个层次
渗透初中数学学习的三个层次初中数学是中学数学学科的重要组成部分，许多学生学习初中数学时会遇到许多困难和障碍。
在这些困难中，一个重要的问题是如何理解和学习初中数学的基本概念、原则和方法。
为了帮助初中生在数学学科中渗透，我们将分析学习初中数学的三个层次：认知层次、应用层次和创新层次。
1. 认知层次认知层次是数学学科学习的第一步。
在这个层次，学生学习到了数学中的基本概念和基本原理。
这个层次包括初中数学中的各种基础知识，如数学概念、公式和规律等。
在认知层次，学生需要开展大量的背诵、记忆和理解，掌握数学中的基本知识和技能，这是学生提高自己的数学能力的重要前提。
学生应该采用多种方式来掌握认知层次的内容，如听讲、阅读书籍和练习演算等。
学习初中数学的过程中，学生不仅要学习概念，还要明确各种概念之间的内在连接和关系，并掌握基本的运用方法。
此外，学生还需要在认知层次上培养人神经变成的思维方式，如抽象思维和逻辑推理能力，这些能力对很多高阶学习都是至关重要的。
2. 应用层次在初中数学学习的应用层次，学生从认知层次中得到的知识用于实际应用中，例如实际生活、科技、工程等领域。
应用层次是初中数学中一个非常重要的方面，因为它帮助我们将学习的知识和技能转化为实践中可用的技能，从而帮助我们更好地理解和应用初中数学中的相关原则和方法。
在应用层次中，学生应该拓展自己的思维方式，学习如何在实际生活中应用学习到的数学知识和方法，如面积、体积、周长等。
这也是一个锻炼思维方式和创造力的过程。
在应用层次中，学生需要掌握各种数学方法和技能，以便将数学中的知识应用于现实生活中。
在学习应用层次的过程中，学生还应该学习如何解决问题，这有助于在整个学习过程中提高解决问题的能力。
3. 创新层次创新层次是学习数学的最高层次，它包括对数学知识和应用的深入理解和创新。
在创新层次中，学生需要掌握高阶数学技能和运用数学知识的能力以及创新思维的能力，这有助于他们在未来成为合格的数学专业人员。
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论学习数学的三种境界
发表时间：2012-01-04T10:24:58.100Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年32期供稿作者：闫照建
[导读] 做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
商丘市第十五中学闫照建
清代词学家王国维曾在《人间词话》说：“古今成大事业大学问者，必经过三种境界：‘昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路.’此第一境也. ‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.’此第二境也. ‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.’此第三境也.”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界，对于我们每一个人来讲，也是能达到这样三种境界的.
比如我们学习数学，我认为也应该经历类似的三种境界：
一、做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识，才能将书本知识化为独立解决问题的能力，才能提高成绩。
无论是作为学生或老师，还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路”吗？但数学光靠做题还是不行的，因为我们学习过程中不能老搞题海战，原因是一方面这样做我们没有这么多的时间；另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间，失去“研究数学”的机会.
二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了，认为“研究数学”只有数学家才能正如自然的美景对于所有的人都是开放的，数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权！只要你善于独立思考，善于发现问题并勇于质疑，并想办法解决它，那么你就是在“研究数学”；只要你对数学抱有浓厚的兴趣，甚至如痴如醉，并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘，那么你就是在“研究数学”；如果你善于运用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界，那么你就是在“研究数学”！而 “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴” 揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学，并且我们每个人都可以做出前无古人的发现！发现无处不在！有的同学可能会问我们怎样研究数学呢？其实“研究数学”并不高深，而且还是有规律可寻的，我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了.
首先我们可以将问题“倒过来”想.比如一道几何题，都有题设和结论的，假如题设和结论互换一下将会怎样呢？是否成立？每一个数学题都可以这样想的.如果做完题在反思的时候，倒过来这样一想，说不定你可以发现什么新定理呢！在这儿我举一个例子吧，大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”，当然证明这个命题也很简单，只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题：“如果三角形的两个角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢？其实这个命题早是在1840年，数学家莱默斯（C.L.Lehmus）就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863）首先给出证明，因而这个命题后来就称为＂斯坦纳—莱默斯定理＂，大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢？其实这样的例子俯首皆是，数不胜数！有时候我们仔细想想，我们做人也应该如此，假如我们和同学或老师之间出现矛盾时，能用这种“倒过来”的思维方式，也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话，我们就不会有那么多的烦恼了，那么我们的生活其实可以变得更美的！
数学是思维的体操.生命在于运动，思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”！最精彩的问题来自于运动的观点的运用！比如我们研究几何中的某个原本固定的点，你不妨让这个点运动起来试试看！会出现什么变化？我们大可不必让自己缩手缩脚，眼界开阔些，是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢？甚至整个平面或整个空间上呢？不想尝试一下吗？现举一个例子，我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定值”，这个定值是什么呢？如果我们让这个点动起来，运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高！我们再想下去，如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候，距离和将会怎样呢？还等于一腰上的高吗？如果不相等的话，两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗？如果仔细研究，你肯定会发现新的结论！
三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多，关键在于自己做个细心的人！俗语不是说事事留心皆学问吗？其实这句话也可以改为：事事留心皆数学！如果学习数学时能注重训练自己思维的话，数学就可以使愚钝的人变聪明，聪明的人变得更聪明！如果在做数学的同时能经常反思，你就会从做数学中提高成绩，迷上数学，陶醉在研究数学之中！在研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，使你“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”后，忽然发现方法竟如此之妙！答案如此简单！这不正是感受到 “众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心境吗？
数学不仅很有趣的，更是美的！是一种体现我们人类思维之美的科学！如果你能够在“做数学”中发现数学之美，更能在“研究数学”中享受数学之美！这样你就达到了学习数学的第三种境界：最高境界------享受数学！。