第8章矩阵特征值计算
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
矩阵特征值求解
矩阵特征值求解的分值算法12组1. 1矩阵计算的基本问题(1) 求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求 一个n 维向量X,使得Ax =b (1.1.1 )(2) 线性最小二乘问题，即给定一个mx n 阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量使得 |A X -b | =min{ |Ay -比严 R n }(3) 矩阵的特征问题，即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特 征值以及对应的特征向量，也就是求解方程Ax = Z xA 的属于特征值A 的特征向量。
在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题： 机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题 ；无线电电子学及光学系统的电磁 振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题 .又如天文、地 震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马 尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问 题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理 论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的 重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个nxn 阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(I.1.3)式的非平凡 解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来 许多计算问题.为了求(1.1.3)式中的A , —个简单的想法就是显式地求解特征方 程det(A —几I) = 0除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由 行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征 多项式f ") =det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感 能在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的 数较大，则行列式det(A -几I)的计算量将非常大；其次，根据 数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法 ，基于上述原因，人们只能寻求其 它途径.因此,如何有效地！精确地求解矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领 域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为 向X,(1.1.2 )(1.1.3 ) 一对解(4 X),其中R(C),x- R n (C n ),即A 为矩阵A 的特征值，X 为矩阵(121 ).因此，这个方法只 .首先,若矩阵A 的阶 Galois 理论,对于次量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列相似变换，使之变换成一个易于求解特征值的形式，如Jacobi算法,Givens算法,QR算法等。
第8章 特征值和特征向量
第8章特征值和特征向量M A T L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在线性代数教学时很有用。
注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。
8.1 特征值和特征向量的计算假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解：其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。
标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向量。
对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。
一个n×n的矩阵有n个特征值，表，λ2，. ..，λn。
示为λ1M A T L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。
特征向量的规格化，就是每个特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。
命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。
这就要求M A T L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足条件。
求的特征值比求A的特征值条件更好些。
万一A有一个和机器错误大小一样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。
带有参数n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。
命令集7 9特征值和特征向量e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。
[ X,D]=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。
为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。
[ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是e i g(A,’n o b a l a n c e’)不进行平衡相似变换。
b a l a nc e(A)求平衡矩阵。
[ T,B]=b a l a n c e(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。
B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。
e i g s(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e i g一样，但是不返回全部的特征值。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
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定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
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现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
矩阵特征值和特征向量的计算方法
例：设
4 1 A 1 0
1 1
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
8
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幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全旳特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
9
幂法旳其本思想
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 QT AQ
R12 R1n
R22
R2
n
Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
6
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Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称 R(x) ( Ax, x) (x, x)
A1的特征值为
|
1
1
|
|
1
2
|
|
1
n
； |
对应的特征向量，x1
,
x2 ,,
xn，
对A1应用幂法即可！
23
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反幂法旳迭代公式
8、矩阵特征值问题计算
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
k
k
k A v0 max(vk ) max max(Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (vk 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时，k 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk， v
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
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D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
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定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
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定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
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下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
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定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
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注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
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定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
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解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
j 1
或
( akk )xk akj x j ,
jk
于是 即
akk xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
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这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
上页 下页
例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.