管中流体流动状态与管状态的关系
流体力学第五章 管中流动-1
Re vd 1.0 0.1 76453 Rec 2300 6 1.308 10
管中流动为湍流。 (2) Rec vc d
vc
Rec
d
1.308 106 2300 0.03 0.1
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5.2 圆管中的层流
本章所讨论的流体 1. 流体是不可压缩的; 2. 运动是定常的;
主要内容： • 速度分布 • 流量计算 • 切应力分布 • 沿程能量损失
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过流截面上流速分布的两种方法
vd
我们知道当
较小，即速度和管子直径较小而粘度较大时出现层流
哈根-伯肃叶（Hagen-Poiseuille）定律， 它与精密实验的测定结果完全一致。
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粘 度 的 测 定 方 法
利用哈根-伯肃叶（Hagen-Poiseuille）定律可以测定粘度，它是测 定粘度的依据。因为,根据公式可以导出：
pd 4
128qvl
pd 4t
4 A 4 Bh 2h 4cm S 2B vd 要使 Re H 2320 v 0.017 m / s dH
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例题三：某段自来水管，d=100mm，v=1.0m/s,
水温10℃， （1）试判断管中水流流态？ （2）若要保持层流，最大流速是多少？
（2）速度分布具有轴对称性，速度分布呈抛物线形。 （3）等径管路中，压强变化均匀。 （4）管中的质量力不影响流动性。
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• 1.第一种方法 • 根据圆管中层流的流动特点，对N-S方程式
管道流体原理
管道流体原理管道是一种常见的输送流体的工程结构，广泛应用于石油、化工、水利、供热等领域。
了解管道流体原理对于设计和操作管道系统至关重要。
本文将介绍管道流体的基本原理以及与之相关的一些重要概念和公式。
一、流体基本概念流体是指在外力作用下可以流动的物质，包括液体和气体。
与固体相比，流体的分子间距较大，分子间相互作用力较小，因此具有流动性。
流体的性质可通过以下两个基本参数来描述：1. 密度（ρ）：流体单位体积的质量，通常以千克/立方米（kg/m³）表示。
2. 粘度（μ）：流体内部抵抗剪切力的能力，即流体的黏稠程度，通常以帕斯卡秒（Pa·s）表示。
二、流体力学中的基本定律1. 连续方程：根据质量守恒定律，流体在管道中的质量守恒可由连续方程描述。
连续方程的数学表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，∂ρ/∂t表示流体密度随时间的变化率，∇·(ρv)表示流体质量流入单位面积内的变化率。
2. 动量方程：根据动量守恒定律，流体在管道中的动量守恒可由动量方程描述。
动量方程的数学表达为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⃗v) = -∇P + ∇·τ + ρg⃗其中，∂(ρv)/∂t表示流体动量随时间的变化率，∇·(ρv⃗v)表示流体动量流入单位面积内的变化率，∇P表示压力梯度，∇·τ表示剪应力的散度，ρg⃗表示重力作用力。
三、流体在管道中的流动状态管道中的流体可分为层流和湍流两种流动状态。
1. 层流：当流体在管道中呈现出较为有序的分层流动状况时，称为层流。
层流时，流体的速度随距离变化较平缓，流线间相对稳定，分子间相互作用力起主导作用。
层流的特点是低速、流线整齐。
2. 湍流：当流体在管道中呈现出非线性、脉动和流线交错等现象时，称为湍流。
湍流时，流体的速度和压力有大幅度波动，分子间相互作用力起次要作用。
湍流的特点是高速、流线混乱。
管道系统的流体力学分析
管道系统的流体力学分析管道系统的流体力学分析是研究管道内液体或气体在流动过程中受到的各种力的作用以及流体的流动性质的科学方法。
其目的是预测和优化管道系统中的流体流动行为，从而确保系统的安全可靠运行。
一、管道系统概述管道系统由一系列相互连接的管道组成，用于输送液体或气体。
它可以包括不同直径和材料的管道、阀门、泵以及其他辅助设备。
在分析管道系统的流体力学时，我们需要考虑以下几个关键因素：1. 流体特性：包括流体的物理性质，如密度、黏度、压力、温度等。
这些参数会影响流体的流动速度和流态。
2. 管道几何形状：管道的直径、长度、弯头、收缩、扩张等几何形状对流体的流动有重要的影响。
不同的几何形状可能导致流动的阻力和压力损失不同。
3. 边界条件：边界条件包括管道的入口和出口情况，以及外部环境的影响。
管道入口的速度和压力条件将直接影响流体的流动行为。
二、流体力学基本方程在进行管道系统的流体力学分析时，我们通常使用以下基本方程来描述流体的运动状态：1. 质量守恒方程：根据质量守恒原理，管道中单位时间内流入和流出的质量必须相等。
2. 动量守恒方程：根据动量守恒原理，流体在管道内受到的各种力的作用会改变其运动状态。
3. 能量守恒方程：根据能量守恒原理，流体在管道中的热交换和功的转化会导致其内能和总能量发生变化。
三、管道流动的基本类型根据流量和流态的不同，管道流动可以分为几个基本类型：1. 层流流动：在低雷诺数条件下，流体的运动呈现层状并保持稳定。
这种流动方式通常出现在小孔径管道中。
2. 紊流流动：在高雷诺数条件下，流体的运动呈现混乱的旋涡结构。
这种流动方式通常出现在大管径管道中。
3. 过渡流动：介于层流和紊流之间的一种流动状态。
在管道直径和雷诺数中等条件下，流动的状态可能会由层流逐渐转变为紊流。
四、流体力学分析方法在进行管道系统的流体力学分析时，我们可以采用多种方法：1. 理论分析方法：基于流体力学基本方程和边界条件，通过数学推导和模型建立，来预测流体在管道系统中的运动状态。
工程流体力学第4章流体在圆管中的流动
流体在圆管中的摩擦系数
定义
表示流体在圆管中流动时， 流体与管壁之间的摩擦力 与压力梯度之间的比值。
影响因素
流体的物理性质、管道的 粗糙度、流动状态等。
测量方法
通过实验测定，常用的实 验设备有摩擦系数计和流 阻仪等。
流体在圆管中的流动效率
定义
表示流体在圆管中流动的能量转 换效率，即流体在流动过程中所 消耗的能量与流体所具有的能量
流速分布受流体粘性和密度的影响， 粘性越大、密度越小，靠近管壁处流 速降低越快。
03
流体在圆管中的流动现象
流体阻力
01
02
03
定义
流体在流动过程中，由于 流体内部以及流体与管壁 之间的摩擦力而产生的阻 力。
影响因素
流体的物理性质、流动状 态、管道的形状和尺寸等。
减小阻力措施
选择适当的流速、优化管 道设计、使用减阻剂等。
之比。
影响因素
流体的物理性质、管道的形状和尺 寸、流动状态等。
提高效率措施
优化管道设计、改善流体物性、降 低流速等。
流体பைடு நூலகம்圆管中的流动稳定性
定义
表示流体在圆管中流动时，流体的速 度和压力等参数随时间的变化情况。
影响因素
流动稳定性控制
通过控制流体物性、流速和管道设计 等措施，保持流体在圆管中的流动稳 定性。
根据输送距离、流量和扬程要求，选择合适的水 泵。
输送效率
优化输送管道布局，降低流体阻力，提高输送效 率。
输送安全性
确保输送过程中不发生泄漏、堵塞等安全问题。
液压系统
液压元件
根据液压系统要求，选择合适的液压元件，如油泵、阀、油缸等。
系统稳定性
确保液压系统在各种工况下稳定运行，避免压力波动和振动。
流体的伯努利定理
流体的伯努利定理流体是指任何物质在空间中流动的状态，包括气体和液体。
伯努利定理是描述流体运动的重要定理之一，它是由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在18世纪提出的。
伯努利定理可以用来解释和预测流体在管道、飞机、汽车和涡轮机等设备中的运动。
伯努利定理的原理伯努利定理的核心思想是：当流体在管道中流动时，其速度和压力之间存在一种关系，即速度越快，压力越低。
这个关系可以用下面的公式来表示：P + 1/2ρv + ρgh = 常数其中，P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体所处的高度。
这个公式被称为伯努利方程。
伯努利方程的意义是，当流体在管道中流动时，其总能量保持不变。
这个总能量可以分为三部分：压力能、动能和势能。
压力能是由于流体压力而产生的能量，动能是由于流体速度而产生的能量，势能是由于流体所处的高度而产生的能量。
这三部分能量的总和保持不变，即在任何时刻，它们的和都等于一个常数。
这个常数是由流体的初始状态和管道的形状决定的。
伯努利定理的应用伯努利定理可以应用在很多领域，例如：1. 管道中的流体运动：伯努利定理可以用来计算流体在管道中的压力和速度分布。
这对于设计管道系统和优化流体流动非常重要。
2. 飞机和汽车的空气动力学：伯努利定理可以用来解释为什么飞机和汽车的形状会影响它们的速度和稳定性。
例如，飞机的机翼和汽车的车顶都是设计成弯曲的，这样可以产生气流的加速和减速，从而提高速度和稳定性。
3. 涡轮机的工作原理：涡轮机是一种将流体的动能转换为机械能的设备。
伯努利定理可以用来解释涡轮机的工作原理。
当流体通过涡轮机时，其速度会加速，从而产生动能。
这个动能可以被转换为机械能，例如驱动发电机或飞机的螺旋桨。
伯努利定理的局限性虽然伯努利定理是描述流体运动的重要定理之一，但它也有一些局限性。
其中最重要的是，它只适用于稳态流动。
稳态流动是指流体的速度和压力分布不随时间变化的流动。
如果流体的速度和压力分布随时间变化，那么伯努利定理就不再适用。
管道中的液体流动
管道中的液体流动管道中的液体流动是液体在管道中运动和传输的过程。
液体流动在日常生活和工业生产中起着重要的作用，涉及到很多领域，如供水、石油输送、化学工程等。
了解液体在管道中的流动规律，对于管道设计、操作和维护都具有重要意义。
一、液体流动的原理液体流动的原理主要涉及两个重要的物理学定律，即贯穿流方程和伯努利定律。
1. 贯穿流方程贯穿流方程是描述液体流动的基本方程之一，可以表示为：Q = Av其中，Q是液体的流量，A是流体通过管道横截面的面积，v是液体的流速。
贯穿流方程表明，在单位时间内通过管道单位面积的液体流动的体积等于液体的流速乘以管道的横截面积。
2. 伯努利定律伯努利定律是描述液体在流动过程中能量转换的定律，可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是液体的压力，ρ是液体的密度，v是液体的流速，g是重力加速度，h是液体的高度。
伯努利定律表明，在液体流动中，液体的压力、速度和重力势能之间存在着相互转换的关系。
二、管道中的液体流动类型在管道中，液体的流动可以分为层流和湍流两种类型。
1. 层流层流是指液体在管道中呈现出规则的、无交错的流动状态。
在层流中，液体的流速是均匀的，流体粒子的速度分布呈现顺序排列，层与层之间不存在明显的混合和对流的现象。
层流具有流速低、流动平稳和粘性损失小等特点。
2. 湍流湍流是指液体在管道中呈现出不规则的、随机的流动状态。
在湍流中，液体的流速不均匀，流体粒子的速度呈现混乱的分布，存在着涡流和涡旋的运动。
湍流具有流速高、流动不稳定和粘性损失大等特点。
三、影响管道液体流动的因素管道液体流动受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：1. 管道的几何形状管道的几何形状直接影响液体的流速和流量。
例如，管道的直径和长度会影响液体流动的阻力和压力损失，管道的弯曲和收缩等处会引起液体的湍流和涡流现象。
2. 液体的性质液体的粘度、密度和流变性质等都会对液体的流动特性产生影响。
管道中的流体力学问题
管道中的流体力学问题在管道中，流体力学问题是一个重要且广泛讨论的领域。
管道作为一个常见的输送介质的通道，涉及到流体在管道内部的流动特性、流速、压力以及阻力等问题。
本文将从流体的流动模型、流速、压力和阻力等方面探讨管道中的流体力学问题。
一、流体的流动模型流体的流动模型通常分为层流和湍流两种情况。
层流是指流体在管道中呈现平滑无序的流动模式，具有较低的流速和能量损失。
而湍流则是指流体在管道中出现湍动、混合的流动模式，具有较高的流速和能量损失。
管道中流体的流动模型取决于流体的性质（如粘度）、管道的直径和流速等因素。
当流速较低，粘度较高时，流体往往呈现层流状态；而当流速较高，粘度较低时，流体往往呈现湍流状态。
层流和湍流对于管道的阻力、能量损失等方面都有显著影响。
二、流速的计算与分布在管道中，流速是一个重要的参数，它与管道的截面积、流量以及流体的性质等因素密切相关。
根据连续性方程，流速与管道截面的面积成反比，即截面积越小，流速越大；截面积越大，流速越小。
在实际应用中，通常通过流量公式来计算管道中的流速。
根据流量的定义，流速等于单位时间内通过管道截面的流体体积除以截面积。
流速的分布通常是非均匀的，靠近管道中心的流速较大，而靠近管道壁面的流速较小。
三、压力的分布与作用管道中的流体力学问题中，压力是一个关键因素。
压力的分布与流速、管道的形状、流体的黏性等因素密切相关。
在水平管道中，靠近管道中心的流体流速较大，压力较小；而靠近管道壁面的流速较小，压力较大。
这是由于流体受到的惯性力和黏性力的不同所导致的。
根据伯努利定律，流体在管道中的速度增加，其压力将降低，反之亦然。
压力的分布对于管道的设计和操作具有重要影响，需要合理考虑，以确保管道系统的安全和稳定运行。
四、阻力及其公式管道中的流体力学问题中，阻力是一个重要的研究对象。
阻力的大小与管道的形状、管道表面的粗糙度、流速以及流体的黏性等因素密切相关。
对于层流情况下的阻力，可以使用哈根-泊肃叶公式进行计算。
管道流体原理
管道流体原理管道流体原理是液体或气体在管道中流动时所遵循的基本物理规律。
了解管道流体原理对于理解流体力学和管道工程至关重要。
本文将重点介绍管道内流体的基本特性和相关的流体力学原理。
一、背景介绍管道流体原理是研究液体或气体在管道中流动时的力学行为和特性的学科领域。
它对于管道工程的设计和优化起着重要的作用。
在工业、民用水务和能源领域，管道系统扮演着极其重要的角色，因此理解管道流体原理对于确保管道系统的安全和高效运行至关重要。
二、管道流体的基本特性1. 流体的运动状态：流体在管道中的运动可以分为层流和湍流两种状态。
层流是指流速较低且流体分子按规则顺序运动的状态，湍流是指流速较高且流体混乱运动的状态。
层流的特点是流体粒子之间无明显的交错或夹杂，而湍流则表现为流体粒子的混乱运动和不规则的涡流形成。
2. 流体的压力损失：由于摩擦阻力、管道的扩散和弯曲等因素，流体在管道中流动时会损失一定的压力。
压力损失可以通过流体力学公式计算得出，并且随着管道长度和流速的增加而增大。
3. 流速分布：在管道中，由于摩擦力的作用，流体的流速并不是均匀的。
通常情况下，管道中心位置的流速较快，而管道壁面附近的流速较慢。
三、流体力学原理1. 流量公式：流体在管道中的流量可以通过流体力学公式来计算。
根据质量守恒定律和连续性方程，流体的流量与流速和管道截面的面积有关。
通过流量公式，可以准确计算出流体在管道中的流量。
2. 流速-压力关系：根据伯努利方程，流体的流速和压力存在反比关系。
当流速增加时，压力将下降；而当流速减小时，压力将增加。
这一原理在管道系统的设计和运行中非常重要，可以用于控制流体的流速和管道的压力。
3. 管道摩擦阻力：管道内流体的摩擦阻力是流体在管道内摩擦作用的结果。
根据流体力学的公式，可以通过管道内壁面粗糙度、管道尺寸和流速等参数来计算摩擦阻力。
摩擦阻力不仅会导致压力损失，还可能对管道系统的能量消耗和维护造成影响。
总结：通过对管道流体原理的了解，我们可以更好地理解液体或气体在管道中的流动行为。
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管中流动状态与管状态的关系摘要本文通过雷诺实验介绍了流体流动的两种状态，即层流和湍流，并且介绍了圆管和其他异性管的临界雷诺数。
随后用纳维-斯托克斯公式分析层流圆管和缝隙中的流动状态，简单介绍了一种用于分析湍流关键词雷诺实验层流湍流圆管流动缝隙流动众所周知，流体的流动阻力及速度分布均与流体的流动状态紧密相关。
因此，流体的流动状态的研究无疑具有非常重要的理论价值与实际意义。
1883年英国物理学家雷诺通过大量实验，发现了流体在管道中流动是存在两种内部结构完全不同的流动状态，即层流和湍流。
两种流动状态可通过实验来观察，即雷诺实验。
一、流体状态的分类与界定1、雷诺实验雷诺数代表惯性力和粘性力之比，雷诺数不同，这两种力的比值也不同，由此产生内部结构和运动性质完全不同的两种流动状态。
这种现象用图1-a所示的雷诺实验装置可以清楚地观测出来。
图表 1雷诺实验装置容器6和3中分别装满了水和密度与水相同的红色液体，容器6由水管2供水，并由溢流管1保持液面高度不变。
打开阀8让水从玻璃管7中流出，这时打开阀4，红色液体也经细导管5流入水平玻璃管7中。
调节阀8使管7中的流速较小时，红色液体在管7中呈一条明显的直线，将小管5的出口上下移动，则红色直线也上下移动，红色水的直线形状都很稳定，这说明此时整个管中的水都是沿轴向流动，流体质点没有横向运动，不相互混杂，如图1-b所示。
液体的这种流动状态称为层流。
当调整阀门8使玻璃管中的流速逐渐增大至某一值时，可以看到红线开始出现抖动而呈波纹状，如图1-c所示，这表明层流状态被破坏，液流开始出现紊乱。
若管7中流速继续增大，红线消失，红色液体便和清水完全混杂在一起，如图1-d所示，表明此时管中流体质点有剧烈的互相混杂，质点运动速度不仅在轴向而且在纵向均有不规则的脉动现象，这是的流动状态称为湍流。
如果将阀门8逐渐关小，湍乱现象逐渐减轻，当流速减小至一定值时，红色水又重新恢复直线形状出现层流。
层流和湍流是两种不同性质的流动状态，是一切流体运动普遍存在的物理现象。
层流时液体流速较低，液体质点间的粘性力其主导作用，液体质点受粘性的约束，不能随意运动。
粘性力的方向与流体运动方向可能条相反、可能相同，流体质点受到这种粘性力的作用，只可能沿运动方向降低或是加快速度而不会偏离其原来的运动方向，因而流体呈现层流状态，质点不发生各向混杂。
湍流时液体流速较高，液体质点间粘性的制约作用减弱，惯性力逐渐取代粘性力而成为支配流动的主要因素，起主导作用。
沿流动方向的粘性力对质点的束缚作用降低，质点向其他方向运动的自由度增大，因而容易偏离其原来的运动方向，形成无规则的脉动混杂甚至产生可见尺度的涡旋，这就是湍流。
2、雷诺数流体的流动状态可用雷诺数来判断。
实验结果证明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速v有关，还与管道内径d、液体的运动粘度ν有关。
而用来判别流体状态的是由这三个参数所组成的一个无量纲数——雷诺数ReRe=vdν（式1）雷诺数的物理意义表示了液体流动是惯性力与粘性力之比。
如果液流的雷诺数相同，则流动状态亦相同。
流体由层流转变为湍流时的雷诺数和由湍流转变为层流时的雷诺数是不相同的，前者称为上临界雷诺数，以Re’c表示；后者称为下临界雷诺数，以Re c表示。
两相比较可知：Re>Re’c时，管中流动状态是湍流。
Re<Re c时，管中流动状态是层流。
Re c< Re<Re’c时，层流湍流的可能性都存在，不过湍流的情况居多，实践证明这种情况下的层流往往也是不稳定的。
这是因为，雷诺数较高时层流结构极不稳定，遇到外界干扰和振动时，原来的流线有微许起伏波动，例如形成图2（1）所示那样，左面成波峰、右面成波谷形状。
按照伯努利方程式分析，波峰上侧流道断面变窄，速度增大，压强降低，波峰下策流道断面变宽，速度减小，压强增大。
于是流线两侧的压强差会使波峰更加隆起，同理使波谷更加凹陷，如图2（2）所示。
于此同时，在流线的每一侧也会产生从高压部位流向低压部位的所谓二次流，其流动方向如图2（2）、（3）中的箭头所示。
结果流线会被扭曲成图2(4)所示的形状，继续发展下去，流线终将被冲断，形成如图2（5）所示的脉动涡旋，这样原来不稳定的层流就转变为湍流。
这也就是雷诺数介于上下临界值之间时，出现湍流的机会比出现层流的机会更多的一种原因，事实上也就是对层流如何变成湍流的一种形象性的解释。
图表2涡旋形成过程因此，一般都用数值小的下临界雷诺数作为判别流体状态的依据，称为临界雷诺数Re cr，即：Re>Re cr时，管中流动状态是湍流。
Re<Re cr时，管中流动状态是层流。
3、水力直径一般雷诺数vlν中的特征尺寸l在圆形管道中取为直径，因而圆管的雷诺数是vdν。
圆管直径与断面A和断面上流体固体接触周长S的关系4A=4πdd2πd=d（式2）异形管道也可以用过流断面面积A与过流断面上流体与固体接触周长S之比的4倍来作为特征尺寸。
这种尺寸称为水力直径，用d H表示d H=4A（式3）于是异形管道的雷诺数为R e=v d Hν，圆形管道的雷诺数仍然是R e=v d Hν=vdν，这二者是一致的。
其中S又称为通流截面的湿周。
水力直径的大小对管道的通流能力的影响很大。
在流通截面面积A一定时，水力直径大，代表流体和管壁的接触周长短，管壁对流体的阻力小，通流能力大。
在面积相等但形状不同的所有通流截面中，圆形管道的水力直径最大。
常见流体管道的临界雷诺数由实验求得，如表1所列。
比较Re与Re c的大小即可判别这几种异形管道中的流动状态。
表格1常见流体管道的临界雷诺数二、层流1、圆管中的层流分析定常不可压缩流体在圆管中的层流，可以从纳维-斯托克斯（N-S）公式出发，结合层流运动的特点建立常微分方程。
根据元观众层流的数学特点对N-S方程式进行简化，定常不可压缩完全扩展段的管中层流具有如下五方面的特点。
（1）只有轴向运动取Oxyz坐标系，使y轴与管轴线重合，如图3所示，因为层流中没有纵向跳动，故图表3圆管层流v y ≠0，v x =v z =0于是去掉v x 、v z 后，N-S 方程式变成f y −1ρ∂p∂y +υ ∂2v y ∂x 2+∂2v y ∂y 2+∂2v y ∂z 2 =∂v y ∂t +vf x −1ρ∂p=0 f z −1ρ∂p=0（式4）（2）定常、不可压缩 定常流动∂vy ∂t =0有不可压缩流体的连续方程式∂v x +∂v x +∂v x=0 可得∂vx ∂y =0 于是∂2v y ∂y 2=0（3）速度分布的轴对称线由于壁面的摩擦，在Oxz 坐标面，即管中的过流断面上各点速度是不同的，但圆管流动是轴对称的，因而速度v y 沿x 方向、z 方向以及任意半径方向的变化规律应该相同，而且v y 只随r 变化。
故∂2vy∂y=∂2v y∂z∂2v y∂rd2v ydy（4）等径管路压强变化的均匀性由于壁面摩擦及瘤体内部的摩擦，亚抢眼流动方向是逐渐下降的，但在等径管路上这种下降应是均匀的，单位长度上的压强变化率∂p∂y可以用任何长度l上的压强变化的平均值表示。
即∂p=dp=−p1−p2=−∆p式中“−”号说明压强变化率dpdy是负值，压强沿流动方向下降。
（5）管道中质量力不影响其流动性能如果管路是水平的，则f x=f y=0，f z=−g从（式4）的第二、三式可以看到在Oxz断面，也就是过流断面上，流体压强是按照流体静力学的规律分布，而在第一个方程式中，质量力的投影f y=0，故而质量力对水平管道的流动性是没有影响的。
非水平管道中质量力只影响位能，亦与流动特性无关。
根据上述五个特点，（式4）就可以简化为∆p ρl +2υd2v y=0或d 2vydr2=−∆p2μl积分得dv ydr =−∆p2μlr+C当r=0时，管轴线上的速度远离管壁，有最大值，故dv ydr=0。
于是积分常数C=0，得dv y dr =−∆p2μlr（式5）这就是用纳维-斯托克斯公式所得到的一个一阶常微分方程。
2、缝隙中的层流（1）平行平面缝隙与同心环形缝隙由于活塞与缸筒之间的同心环形缝隙在平面上展开以后也是平行平板间的流动问题，因此图4所示剖面图实质上代表这两种那个情况，这种流动是其他各种缝隙流动的基础。
设平板长为l,宽为B ，缝隙高度为δ，取如图4所示的坐标轴，讨论缝隙两端具有压强差Δ∆p =p 1−p 2、且上面平板（活塞）以匀速度v 0运动情况下，平板间液体的流动问题。
图表4平行平板间的流动层流时物体运动速度v y =v y z ，v x =v z =0，再考虑到定常、连续、不可压缩、忽略质量力，则N-S 方程可以简化为−1ρ∂p+υ∂2v y =0 −1ρ∂p∂x =0 −1ρ∂p ∂z =0（式6）后两个公式说明，压强p 只是沿y 方向变化。
又因为平板缝隙大小沿y 方向是不变的，因而p 在y 方向的变化率应该是均匀下降的，于是v y =∆p2μl δz −z 2+v 0zδ(式7)这就是平行平板间的速度分布规律，公式右端包括两项：第一项是由压强差造成的流动，v y 与z的关系是二次抛物线规律，这种流动称为压差流。
第二项是由上平板运动造成的流动，v y与z是一次直线规律，这种流动称为剪切流。
（2）偏心环形缝隙偏心缝隙展开以后本来不是平行平板，但是在相对偏心距较小的情况下，由微元角度dθ所夹的两个微元弧段可以近似的看作是平行平板，它的微元宽度是dB=rdθ。
当柱塞具有直线速度v0，且在l长柱塞两端存在压强差∆p时，经过这一微元面积∆dB的泄露流量dq v有dq v=∆pδ312μl(1+εcosθ)3rdθ+v0δ2(1+εcosθ)rdθ从θ=0到θ=2π积分，即可得经过整个偏心缝隙的流量q v=[∆pδ312μl1+32ε2+v0δ2]πd三、湍流湍流中不断速度有脉动，而且一点上的流体压强等参数都存在类似的脉动现象，但是要想从理论上找出速度脉动的规律是极为困难的。
研究湍流，唯一可行的方法就是统计时均法。
这种方法不是着眼于瞬时状态，而是以某一个适当时间段内的时间平均参数作为基础去研究这短时间内的湍流时均特性，时间段的长短可视湍流的脉动情况而定，一般并不甚长。
有时二三秒也就足够了。
将瞬时值用几秒钟内的时均值代替并不妨碍对湍流的了解。
时均法的确切定义是tx1,x2,x3=1μt0+Tt0x1,x2,x3,t dt随机量的平均值符号规定如下：在这个量上加"-"表示平均值，在一横之上再加的符号表示平均的方法。
例如，(t)V i 表示随机速度按时间的平均值；(τ)V i表示随机速度按体积的平均值；(ρ)V i表示随机速度按概率的平均值。
上式中的V i x1,x2,x3,t是任一次试验结果，积分限中的下线t0可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。