电子科大随机信号分析随机期末试题答案
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
电子科技大学随机信号分析CH3习题及答案
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解： (1)21(;)exp{}4uf u t =-1,2121,12,22212(;,)()()1exp{}44f u u t t f u t f u t u u π=+=-1,212,121(,,;,,)()1exp{}4kk k i i i kii f u u u t t t f u t u====-∏∑(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
也是严格循环平稳的；因为是高斯随机信号，所以()U t 也是广义平稳的和广义循环平稳的。
3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设[()]X m E X t =，[()]Y m E Y t =，()[X ()X ()]XRE t t ττ=+，()[Y ()Y ()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y ()][()][()]XYm t E t E X t t E X t E Y t mm ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y ()()Y ()][X ()()][Y ()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⋅+=⋅=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()()Y()t X t t =也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
随机信号分析第3版习题及答案word资料18页
1. 有四批零件，第一批有2019个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
（2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
（北P181,T3） 解：（1）（2） X 的分布律为 Y 的分布律为（3）Z XY =的分布律为 （4）因为 则X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
5. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ；（2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为由反函数 22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1112211222J ==--， （2）由于, 222244414uv u v e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭所以随机变量U 与V 相互独立。
6. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。
2006随机信号分析试题与标准答案(B)
………….……密 …..……….封……..……线 ………..…以………..…内………....答 …………...题…………..无……. …….效…..……………..
6. （7 分）随机信号 X(t)=Acos(ωt)与 Y(t)=（ 1－ B） cos(ωt)，其中 A 与 B 同为均值 2、方差 σ 2 的高斯随机变量， A、 B 统计独立，ω 为非零常数。 （1） 求两个随机信号的均值 E X ( t ) 、E Y ( t ) ，互相关函数 RXY (t1 , t2 ) 、互协方差函数 C XY (t1 , t2 ) ；并讨论两个随机 信号的正交性、互不相关性、统计独立性 （2） 求 f XY ( x, y;0,0) 。 解 ：（1）
E [ X (t − τ= E[X ( = t )] 0 1 )] (t ) ] E [α X (t − τ 1 ) + N= (t ) ] 所以： E [Y=
α E [ X (t − τ 1 ) ] + E [ N= (t ) ] 0
RY (t + = τ , t) E (α X (t + τ − τ 1 ) + N (t + τ ) )(α X (t − τ 1 ) + N (t ) ) 2 = α E [ X (t + τ − τ 1 ) X (t − τ 1 ) ] + α E [ X (t + τ − τ 1 ) N (t ) ] + α E [ X (t − τ 1 ) N (t + τ ) ] + E [ N (t + τ ) N (t ) ]
a2 −a τ cos ω1τ + b 2 e , 2
( a, b, ), τ < , a是常数 a R(τ ) = 1 0 τ ≥ a
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos ()2t X t tπ⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。
试求：（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ；（3）画出上述分布函数的图形。
2.3 解：（1）一维分布为: ()()(;0.5)0.50.51X F x u x u x =+-()()(;1)0.510.52X F x u x u x =++-(2) cos ()2t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面{}{}(0.5)0,(1)1,0.5(0.5)1,(1)2,0.5X X X X ==-==依概率发生依概率发生 二维分布函数为()()121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x x u x x u x x =++--2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。
试问，（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）{}()()()()101111021310.80.20.80.80.1024P P B n P B n P B n P B n ⎡⎤⎣⎦==⋅+=⋅+=⋅+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯⨯⨯=（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：串（4bit 数据）为：∑=+=30)(2)(k k k n B n X ，其矩特性为：因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E方差：[]()(){}222222()00.210.80.80.80.80.16Var B n B n B n ⎡⎤=E -E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯-=-=所以随机变量)(n X 的矩为：均值：[]303300[()]2()2()20.812k k k kk k E X n E B n k E B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑方差：()[]3033200[()]2()2()40.1613.6k k k k k k D X n D B n k D B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：()()()(){}{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦串方差：()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++⎣⎦= （3）概率达到最大的串为{}1,1,1,1（4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。
2008电子科技大学随机信号分析期末考试
一、 设相互独立的 随机变量,X Y 的概率密度函数分别()()1212(),()x y X Y f x e U x f y e U y λλλλ--==，（1） 求Z=X +Y 的特征函数；（2）求X+Y 的均值？（10分） 解：（1）因为XY 相互独立，所以()()()Z X Y u u u φφφ=110()()xjuxjuxX x x f x e dx ee dx λφλ∞∞--∞==⎰⎰11101x juxe e dx juλλλλ∞-==-⎰，()Y y φ=22202xjuxee dx juλλλλ∞-==-⎰1212()Z u ju juλλφλλ=-- （1分）（2） E （X+Y ）=EX+EY 121200xyxedx yedy λλλλ∞∞--=+⎰⎰1211λλ=+二、（10分）随机信号X(t)的均值()10cos(/40)X m t t π=，相关函数()[],50cos((2)/40)cos(/40)X R t t t ττπτπ+=++。
现有随机信号()()Y t X t =-Θ，Θ均匀分布于[0，80]区间。
求：1． [(168)],[(166)(161)]E X E X X2． [(168)],[(171)(161)]E Y E Y Y ,讨论()Y t 的平稳性解:1. [(168)](168)10cos(168/40)X E X m π==[(166)(161)]50[cos(327/40)cos(5/40)]E X X ππ=+2.因为Y (t ) 是周期平稳信号X(t)在一个周期内的均匀滑动,根据定理,它是一个广义平稳信号，且80801[(168)](168)()80110cos(/40)080Y X E Y m m t dtt dt π====⎰⎰ ()[]808001[(171)(161)],80150cos((2)/40)cos(/40)8050cos(/40)X E Y Y R t t dtt dt ττπτπτπ=+=++==⎰⎰三、 若随机信号()cos X t A t ω=，其中A 是一个贝努里型的随机变量，且满足1[1][1]2P A P A ===-=，ω为常数。
电子科技大学2009年随机信号分析试题A与标准答案
（1） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关 性及正交性； （2） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于 X ( t ) 和 Y( t ) 包含同一随机变量 θ ，因此非独立。 根据题意有
f (θ ) = 1 2π
π
−π
1 1 = cos[ w0 ( t1 − t2 )] cos( w0τ ) 2 2
同理可得 RY ( t1 ,t2 ) = RX ( t1 ,t2 ) ，因此 X ( t ) 和 Y( t ) 均广义平稳。
,t2 ) C XY ( t1= ,t2 ) 由于 RXY ( t1= 1 1 sin [w0 ( t1 − = t2 )] sin (w0τ ) ，因此 X ( t ) 和 2 2
。
π
−π
E[ X ( t )] E [sin(ω = = 0 t + Θ) ]
E[Y( t )] E [ cos(ω = = 0 t + Θ) ]
π
∫
1 sin( w0= t + θ )dθ 0 ， 2π
−π
∫
1 cos( w0= t + θ )dθ 0 2π
C XY ( t1 ,t2 ) = RXY ( t1 ,t2 ) = E[ X ( t1 )Y( t2 )] = E[sin (w0t1 + θ )co s( w0t2 + θ )]
1 1 1 1 − τ 1 −3 τ = P R(0)= += R (τ )= e + e ，所以 4 12 3 4 12
1 ∞ 1 10 20 P S ( ) d 2 d = = = ω ω ω （3） 可以。 2π ∫−∞ 2π ∫−10 π
电子科大随机信号分析随机期末试题答案完整版
电子科大随机信号分析随机期末试题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω=当34t πω=时，3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。
3.两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
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电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷
一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变
量。
（共10分）
1.画出该过程两条样本函数。
（2分）
3
2.确定t。
— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。
（5 分）
3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平
稳？（3分）
解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示：
2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密
度函数为：f x（X；厂）（X）
当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为：
1
3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号X n sin 2 n 与
Y n cos 2 n ，其中为0~上均
匀分布随机变量。
（共10分）
1.求两个随机信号的互相关函数
（n!, n2）o （2 分）
R
KY
2.讨论两个随机信号的正交性、互不
相关性与统计独立性。
（4分）
3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数
其中E sin 2 口2迈2 0
2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个
随机信号正交。
又
故两个随机信号互不相关，
又因为
故两个随机信号不独立。
3.
两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。
在时隙内的任一点
P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求
（共10 分）
1．W t的一维概率密度函数。
（3 分）
2．W t的二维概率密度函数。
（4 分）3．W t是否严格平稳？（3 分）
解：下面的讨论中，t 不在时隙分界点
上：
1.在时隙内的任一点上，W t 为二进制离散
随机变量，因此，随机信号的一维概率密度函数为：
2. 当t1, t2 在同一时隙时，随机变量
W t1 , W t2 取值相同，此时二维概率密度函数为：
当t i, t2不在同一时隙时，随机变量
W t1 , W t2 取值独立，此时二维概率密度函数为：
3. W t 不严格平稳。
四、设正弦随机信号X(t) =
Acos( 31+ O), 3 是常数，A s
U(-1,+1) , Os U(0, n ),且A
和O 统计独立，令Y(t)=X 2(t) 。
( 共
10 分)讨论：
1.Y(t)的均值。
(3分)
2.Y(t)的相关函数。
(4分)
3.Y(t)是否是广义平稳？。
(3分)
解：1. Y(t)的均值：
2. Y(t)的相关函数：
3.因为Y(t)的均值和相关函数都与t 无关，因此Y(t)是广义平稳随机信号。
五、高斯随机信号X(t)的自相关函数如图所示(共10分)
1.求X(t)的一维概率密度函数。
(3分)
2.求X(t)上间隔为的任意两个采样时刻的二维密度函数。
(4分)
3.对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？(3分)
解：1. 求X(t) 的一维概率密度函数；(3 分)
因为：R X( 8)=m2，故m = 0
22
(T = R X(0)- m = 4
2.求X(t)上间隔为T =的任意两个米样时刻的二维密度函数；( 4 分) 因为：
C X( t ) = R X( t ) - m2，故C X = 0 高斯随机变量不相关，则其统计独立，因此任意两个间隔为的两个随机变量的二维密度函数为：
3.对一段时长为1 秒的信号，最多能
够获取多少了独立的米样点？( 3 分) 因为不相关的最小间隔为秒，则在1 秒间隔内，最多可米集的独立米样点为：
1/ + 1 = 10001
N 0
六、功率谱密度为云的零均值平稳高斯 白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤 波器的增益为1，中心频率为f
0，带宽 为2B o (共10分)
1. n
i (t)的同相分量i(t)及正交分量q(t)的 自相关函数和相关系数。
(4分)
2. i (t
)的二维概率密度函数。
1
f i (i i ,i 2；t,t 2B ) (3 分)
3. i(t)及q(t)的二维联合概率密度函数。
(3分)
解：依题
k
1. S( ) S q
() S x ( 0, 0) S x ( o ), 0 其它
2. 2 B k2B,k 1, 2丄是R()的
零点
3. 因为n i (t )的功率谱关于f0 偶对称，故
i(t)与q(t)处处正交、无关、独立
七、已知平稳过程X(t), t 的均值函数为m(t) 1，相关函数为R( ) 2cos2，讨论其均值各态历经性。
( 共10 分) 解：
所以X(t), t 具有均值各态历经性。
八、设有随机过程
X(t) Acos( t ), t ，其中A, 是相互独立的随机变量，是正常数，A~U( 3,3), ~U(0,2 )，试讨论X(t), t 的广义平稳性和广义各态历经性。
( 共10 分)
解：
X (t), t 均值各态历经，相关函数不具有各态
X(t), t 广义平稳。
历经性。
九、假设某积分电路的输入X(t)
与输出t Y(t) 之间满足关系：Y(t )t 4X( )d ，
积分时间为4 秒。
( 共10 分) 1．求该积分电路的冲激响应h(t) 。
(5 分)
2．若输入X(t ) A cos( 0t ) ，其中
A=2, o为常数，B为服从［0,2 )均匀分布的
随机变量，求输出Y(t) 的功率谱。
(5 分)
t
解：( 1) Y(t) t t4X( )d
故h(t) u(t) u(t 4)
(2)
故X(t)为平稳随机信号，其功率谱为 因为积分电路为LTI 系统，当输入为 平稳随机信号时，输出也是平稳随机信 号。
十、已知平稳白噪声信号X(t)通过下图 所示的低通滤波器，X(t)的均值为零， 自相关函数为R x ()
()。
(共10分) 求： 1. 输出信号的功率谱。
(5分) 2. 输出信号的平均功率。
(5分) 解:( 1)求输出信号功率谱。
因为输入为平稳随机过程， 故输出 Y(t)
则
S Y ()(
)(
0)
8 sin 2 2
2
也是平稳随机过程。
由图
(2)求输出信号平均功率。
由于输出信号是平稳的，则故输出信号的平均功率为。