函数发展史PPT
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函数概念的产生及其背景-PPT课件
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术 运算、三角运算、指数运算和对数运算，所 以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c而成的式子，取名为解析函数，还 将它分成了“代数函数”与“超越函数”。 Evaluation only. ted18 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 与欧拉先后引出了“任意的函数”的说 法．在解释“任意的函数”概念的时候，达 朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则 认为是“任意画出的一条曲线”。现在看来 这都是函数的表达方式，是函数概念的外延。
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示 “幂”，后来他用该词表示曲线上点的横 坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关 几何量。由此可以看出，函数一词最初的 Evaluation only. 数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 另一名词“流量”来表示变量间的关系， 直到1689年，瑞士数学家约翰· 贝努里才在 莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念 进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按 任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为。
(三)函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与 实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程 技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学 定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建 Evaluation only. 立。1833年至 1834年，高斯开始把注意力转 向物理学，他在和 W· 威伯尔合作发明电报的 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出 了“力与距离的平方成反比例”这个重要的 理论，使得函数作为数学的一个独立分支而 出现了，实际的需要促使人们对函数的定义 进一步研究。
函数de发展史
函数概念 欧拉 L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一 些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变 量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的 函数． ————Euler
函数概念
狄利克雷 P.G.L.Dirichlet 1805－1859 德国数学家
函数概念的发展历程
函数概念
“function”一词最初由 德国数学家莱布尼兹在1692 年使用． 用“function”表示随曲 线的变化而改变的几何量， 如坐标、切线等．
莱布尼兹 G．W．Leibniz 1646－1716 德国数学家
函数概念
约翰· 伯努利（Bernoulli Johan） 1667-1748 瑞士数学家 强调函数要用公式表示．
17
47 x 16cos t 5 cos t 3 y 12si nt 3 si n 44 t 3
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现实世界是数学的丰富源泉,数 学源于生活、寓于生活、用于生活。 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大,粒 子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变, 日用之繁,无处不用数学。这是对数学 与生活的精彩描述。这次学习，希望 我们体会到了数学的魅力。
如果对于x的每一个值，y总有完全确定的 值与之对应，则y是x的函数．
函数概念
李善兰 1811－1882 清朝数学家
在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的《代 微积拾积》中首次将“function”译做“函数”．
函数的应用
对数函数
叶形线 其解析式为：x3+y3=3axy
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李萨茹曲线
其中
-5
0 x
5
10
Байду номын сангаас
函数发展史
思考： |y| = ±x 能不能说‘y是x的函数’？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
终于出了一个像样的
1821年，法国数学家柯西给 出了类似现在中学课本的函数 对应关系（条件）是 定义：“在某些变数间存在着 必要的，要利用这个 关系以求出每一个ｘ 一定的关系，当一经给定其中 的对应值。 某一变数的值，其他变数的可 随着而确定时，则将最初的变 数叫自变量，其他各变数叫做 函数。”
Long long ago，
最早提出函数概念的，是１ ７世纪德国数学家莱 布尼茨。1673年， 莱布尼兹首次使用 函数一词表示“幂” 由此可以看出，函数 一词最初的数学含义是相当 广泛而较为模糊的。
函数就是描述曲线的 一个相关量，如曲线 的斜率或者曲线上的 某一点。
有一个大胆的人定义了函数
• 1755 年欧拉把函数定义为 “如果 1718 年约翰· 伯努利对函数概念 某些变量，以某一种方式依赖于 进行了定义：“由任一变量和常 另一些变量，即当后面这些变量 数的任一形式所构成的量。”他 变化时，前面这些变量也随着变 的意思是凡变量x和常量构成的 化，我们把前面的变量称为后面 式子都叫做x的函数，并强调函 变量的函数。 ” 数要用公式来表示。
罗巴契夫斯基
现代概念终究出炉了
罗巴契夫斯基
康托尔
欧拉
狄利克雷
在某个坐标变化过程中，如果有 两个变量x和y，对每一个给定的 x 柯西 值，y都有唯一确定的值与它对应， 确定y=x的函数。x=自变量，y作 为x的因变量。 傅里叶
贝努利 莱布尼茨
|y| = ±x 能不能说‘y是x的函数’？ 答：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
终于出了一个像样的
1821年，法国数学家柯西给 出了类似现在中学课本的函数 对应关系（条件）是 定义：“在某些变数间存在着 必要的，要利用这个 关系以求出每一个ｘ 一定的关系，当一经给定其中 的对应值。 某一变数的值，其他变数的可 随着而确定时，则将最初的变 数叫自变量，其他各变数叫做 函数。”
Long long ago，
最早提出函数概念的，是１ ７世纪德国数学家莱 布尼茨。1673年， 莱布尼兹首次使用 函数一词表示“幂” 由此可以看出，函数 一词最初的数学含义是相当 广泛而较为模糊的。
函数就是描述曲线的 一个相关量，如曲线 的斜率或者曲线上的 某一点。
有一个大胆的人定义了函数
• 1755 年欧拉把函数定义为 “如果 1718 年约翰· 伯努利对函数概念 某些变量，以某一种方式依赖于 进行了定义：“由任一变量和常 另一些变量，即当后面这些变量 数的任一形式所构成的量。”他 变化时，前面这些变量也随着变 的意思是凡变量x和常量构成的 化，我们把前面的变量称为后面 式子都叫做x的函数，并强调函 变量的函数。 ” 数要用公式来表示。
罗巴契夫斯基
现代概念终究出炉了
罗巴契夫斯基
康托尔
欧拉
狄利克雷
在某个坐标变化过程中，如果有 两个变量x和y，对每一个给定的 x 柯西 值，y都有唯一确定的值与它对应， 确定y=x的函数。x=自变量，y作 为x的因变量。 傅里叶
贝努利 莱布尼茨
|y| = ±x 能不能说‘y是x的函数’？ 答：
函数发展史
函数发展简史最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨．后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。
１８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
１８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值．康托尔自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。
. 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数。
优美的函数图象笛卡尔的故事当时法国正流行黑死病，笛卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。
某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对笛卡儿非常好奇，于是上前问他…… 你从哪来的啊? “法国”“你是做什么的啊?” “我是数学家。
” 这名少女叫克丽丝汀，18岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。
当她听到笛卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡儿邀请回宫。
笛卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。
而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生才懂。
后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。
这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将笛卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是将笛卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。
笛卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。
笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。
所以克丽丝汀一直没收到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候，他寄出了第13封信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。
函数概念发展史
函数概念发展史
制作人：唐沁
---
-
1.早期函数概念
几何观念下的函数 十七世纪伽俐略 (G.Galileo，意，1564-1642)在《两门 新科学》一书中，几乎全部包含函数 或称为变量关系的这一概念，用文字 和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到 一个变量对另一个变量的依赖关系， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念， 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹 建立微积分时还没有人明确函数的一 般意义，大部分函数是被当作曲线来 -研-- 究的。
1667-1748 瑞士数学
家
-
欧拉
L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依
赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前
面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为
后面变量的函数。”————Euler
---
-
3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在 莱布尼兹函数概念的基础上对 函数概念进行了定义:“由任一 变量和常数的任一形式所构成 的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函 数，并强调函数要用公式来表 示。
---
约翰·伯努利
（Bernoulli Johan）
狄利克雷
P.G.L.Dirichlet
1805－1859
德国数学家
2020/4/2
等到康托(Cantor，德，1845-1918)创 立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen，美，1880-1960)用 “集合”和“对应”的概念给出了近代 函数定义，通过集合概念把函数的对应 关系、定义域及值域进一步具体化了， 且打破了“变量是数”的极限，变量可 以是数，也可以是其它对象。
制作人：唐沁
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1.早期函数概念
几何观念下的函数 十七世纪伽俐略 (G.Galileo，意，1564-1642)在《两门 新科学》一书中，几乎全部包含函数 或称为变量关系的这一概念，用文字 和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到 一个变量对另一个变量的依赖关系， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念， 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹 建立微积分时还没有人明确函数的一 般意义，大部分函数是被当作曲线来 -研-- 究的。
1667-1748 瑞士数学
家
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欧拉
L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依
赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前
面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为
后面变量的函数。”————Euler
---
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3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在 莱布尼兹函数概念的基础上对 函数概念进行了定义:“由任一 变量和常数的任一形式所构成 的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函 数，并强调函数要用公式来表 示。
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约翰·伯努利
（Bernoulli Johan）
狄利克雷
P.G.L.Dirichlet
1805－1859
德国数学家
2020/4/2
等到康托(Cantor，德，1845-1918)创 立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen，美，1880-1960)用 “集合”和“对应”的概念给出了近代 函数定义，通过集合概念把函数的对应 关系、定义域及值域进一步具体化了， 且打破了“变量是数”的极限，变量可 以是数，也可以是其它对象。
函数的发展历史
3、
用符号Φx 表示一般函数的是瑞士数学家约翰•伯努利（一世）（1667-1748）。 1734 年欧拉（1707-1783）采纳这一定义用 f(x)作为函数的记号。该用法一直保持 到今天。1769 年，达朗贝尔（1717-1783）第一次导出了函数方程 f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)。柯西（1789-1857）在 1821 年导入了更多的函数方程： f(x+y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)。一系列重要的函数方程由阿贝尔 （1802-1827）年解决。
1 ，当 q
x 是有理数
0，当 x 是 0 或者无理数时
8、
（德）魏尔斯特拉斯（1815-1897）构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一 条处处没有切线的连续曲线。
4、
傅里叶（1768-1830）引入三角级数，例如：y=sinx/1+sin(3x)/3+sin(5x)/5+┅。 拉格朗日（1736-1813）
∞ sin 2k+1 x k=1 2k+1
5、
狄利克雷（1805-1859）第一个给出函数一般定义的数学家。他于 1837 年给出函 数如下的定义：如果对于给定区间的每一个 x 值，都有唯一的 y 值与之对应，那 么 y 是 x 的函数。他还在 1829 年给出了著名的狄利克雷函数：f(x)=0，x 是无理 数；f(x)=1,x 是有理数。这个函数有四个特点：1）没有公式 2）没有图形 3）不 连续 4）没有实际背景
1、
伽利略（1564-1642）的落体运动定律、牛顿（1642-1727）的万有引力定律、爱 因斯坦（1879-1955）的质能转化公式等等都是用函数概念来表（1638-1675）的文章《论元和双曲线的求积》中。 在费马（1601-1665）、笛卡尔（1596-1650）的工作中也涉及到这些概念。牛顿 开始微积分工作后，一直用“流量”来表示变量间的关系。莱布尼兹（1646-1716） 在 1673 年的一篇手稿里面用了“函数”一词。
人教版高中数学必修一《函数概念发展史》
“变量
“变量”的函数是一个解析表 达式 , 它是这个“变量”和 一 些常数以任何方式组成的
新概念下的函数之美
新概念下的函数之美
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Lemon drops oat cake oat cake sugar plum. Jelly beans macaroon I love topping danish cake
函数概念发展史
前期发展
• 其实早在14世纪，法国数学家奥拉斯特在表示因时间t而变的变 数x时，就画出了图形，只建立起了孤立的点与点的对应，后来 被开普勒和伽利略运用于天体方面的研究 • 随着时间的推移，人们对动点轨迹的研究越发深入，生产和科学 技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，更要研究运动过程 中各个量之间的依赖关系，促使数学从常量数学时期，进入到变 量数学时期 • 函数是研究变量数学必不可少的概念 •
Hale Waihona Puke 44柯西
若当x的某个值，都有完 全确定的y值与之对应， 则称y是x的函数。其中x 叫做自变量。
体 现 了 函 数 的 本 质
一 一 对 应
若对x的每一个值，y都确定的 值与之对应，那么y叫做x的函数。
这个定义彻底的抛弃了前 述一些定义中解析式的束 缚，特别强调和突出函数 的本质———一一对应 思想
D(x)
1，x为无理数 0，x为无理数
狄利克雷
函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照 某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
函数是数学中一种重要的概念，它可以将一组输入值映射到一组输出值。
函数的发展历史可以追溯到古希腊时期，当时古希腊数学家们就开始研究函数的概念。
古希腊数学家们发现，函数可以用来描述数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。
例如，古希腊数学家们发现，可以使用函数来描述一个点在平面上的位置，以及一个点在三维空间中的位置。
17世纪，英国数学家约翰·斯托克斯发明了函数的概念，他把函数定义为“一种从一组输入值到一组输出值的映射”。
他还发现，函数可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。
18世纪，德国数学家卡尔·莱布尼茨发明了函数的概念，他把函数定义为“一种从一组输入值到一组输出值的映射，其中输入值和输出值都是实数”。
他还发现，函数可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。
19世纪，法国数学家亚历山大·德拉克罗斯发明了函数的概念，他把函数定义为“一种从一组输入值到一组输出值的映射，其中输入值和输出值都是实数或复数”。
他还发现，函数可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。
20世纪以来，函数的概念发展得非常快，函数的概念已经被广泛应用于计算机科学、物理学、统计学等领域。
函数的概念也被用来描述复杂的系统，并且可以用来解决复杂的问题。
总之，函数是一种重要的概念，它可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。
函数的发展历史可以追溯到古希腊时期，它已经被广泛应用于计算机科学、物理学、统计学等领域。
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素x，总有集合N确定的元素y与之对应，称在集合M
上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素
y称为因变元。”
4.现代函数概念 ——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中
用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不 明确的“变量”、“对应”概念。
库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定
义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元
1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对
函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的 任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要 用公式来表示。
1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前 面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为 后面变量的函数。” 他把约翰•贝努利给出的函 数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数 函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。欧拉 给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更 具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念
— 对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变
量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系， 当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而 确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函
数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时
1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数） 表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐 标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。 与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量” 来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念
——代数观念下的函数
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞士，
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了
这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要， 他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个 确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的
函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，
以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经 典函数定义。
函数的发展史
1.早期函数概念
——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642) 在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或 称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言 表达函数的关系。 1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－ 1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对 另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要 提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布 尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义， 大部分函数是被当作曲线来研究的。
指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认 为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的
局限。
1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发
现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，
或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一 个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层 次。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论 在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美， 1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近
代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义
域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的 极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素
y称为因变元。”
4.现代函数概念 ——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中
用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不 明确的“变量”、“对应”概念。
库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定
义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元
1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对
函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的 任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要 用公式来表示。
1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前 面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为 后面变量的函数。” 他把约翰•贝努利给出的函 数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数 函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。欧拉 给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更 具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念
— 对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变
量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系， 当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而 确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函
数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时
1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数） 表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐 标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。 与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量” 来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念
——代数观念下的函数
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞士，
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了
这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要， 他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个 确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的
函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，
以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经 典函数定义。
函数的发展史
1.早期函数概念
——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642) 在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或 称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言 表达函数的关系。 1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－ 1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对 另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要 提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布 尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义， 大部分函数是被当作曲线来研究的。
指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认 为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的
局限。
1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发
现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，
或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一 个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层 次。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论 在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美， 1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近
代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义
域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的 极限，变量可以是数，也可以是其它对象。