3.2 闭环系统的传递函数
反馈系统的传递函数
一个反馈控制系统在工作过程中，一般会受到两类信号的作用，统称外作用。
一类是有用信号或称输入信号、给定值、指令等，用)(t r 表示。
通常)(t r 是加在控制系统的输入端，也就是系统的输入端；另一类则是扰动，或称干扰)(t n ，而干扰)(t n ，可以出现在系统的任何位置，但通常，最主要的干扰信号是作用在被控对象上的扰动，例如电动机的负载扰动等。
一、系统的开环传递函数系统反馈量与误差信号的比值，称为闭环系统的开环传递函数，二、系统的闭环传递函数1、输入信号)(s R 作用下的闭环传递函数令0)(=s D ，这时图1可简化成图2(a)。
输出)(s C 对输入)(s R 之间的传递函数，称输入作用下的闭环传递函数，简称闭环传递函数，用)(s Φ表示。
而输出的拉氏变换式为2、干扰)(s D 作用下的闭环传递函数同样，令0)(=s R ，结构图1可简化为图3(a)。
以)(s D 作为输入，)(s C 为在扰动作用下的输出，它们之间的传递函数，用)(s n Φ表示，称为扰动作用下的闭环传递函数，简称干扰传递函数。
系统在扰动作用下所引起的输出为三、系统的误差传递函数系统的误差信号为)(s E ,误差传递函数也分为给定信号作用下的误差传递函数和扰动信号作用下的传递函数。
前者表征系统输出跟随输入信号的能力，后者反映系统抗扰动的能力。
1、输入信号)(s R 作用下的误差传递函数为了分析系统信号的变化规律，寻求偏差信号与输入之间的关系，将结构图简化为如图2)(b 。
列写出输入)(s R 与输出)(s ε之间的传递函数，称为控制作用下偏差传递函数。
用表示。
)()()()()()()()(21s H s G s H s G s G s E s B s G K ===)()()(21s G s G s G =)()(1)()()()(1)()()()()(2121s H s G s G s H s G s G s G s G s R s C s +=+==Φ)()()()(1)()()(2121s R s H s G s G s G s G s C +=)()(1)()()()(1)()()()(2212s H s G s G s H s G s G s G s N s C s n +=+==Φ)()()()(1)()(212s N s H s G s G s G s C +=)()()(s R s s εΦε=2、干扰)(s D 作用下的误差传递函数同理，干扰作用下的偏差传递函数，称干扰偏差传递函数。
已知单位反馈系统的开环传递函数求闭环传递函数
已知单位反馈系统的开环传递函数求闭环传递函数为了求解单位反馈系统的闭环传递函数，我们需要先了解单位反馈系统和闭环传递函数的一些基本概念。
单位反馈系统是一种常见的控制系统结构，由三个主要部分组成：开环传递函数、比例增益和反馈信号。
开环传递函数是指系统输出与输入之间的关系，也被称为系统的传输函数。
它表示在没有反馈的情况下，输入信号对输出信号的影响。
通常用H(s)表示，其中s是复变量。
比例增益是一个常数，用来调整输入信号对输出信号的影响，通常用K表示。
反馈信号是系统输出的一部分，用来校正系统的行为。
在单位反馈系统中，反馈信号等于系统的输出信号。
闭环传递函数是反馈控制系统中最重要的性能指标之一，它表示反馈控制系统中输入信号对输出信号的影响。
闭环传递函数可以通过将开环传递函数与比例增益进行组合来计算。
现在，我们将通过以下步骤来求解单位反馈系统的闭环传递函数。
步骤1：给定开环传递函数H(s)，计算比例增益K。
步骤2：使用单位反馈系统的定义，建立闭环传递函数Y(s)/X(s)的表达式。
步骤3：将开环传递函数H(s)替换为相应的表达式，计算闭环传递函数。
下面是对每个步骤的详细说明。
步骤1：给定开环传递函数H(s)，计算比例增益K。
比例增益K是一个常数，可以通过将开环传递函数的极点值代入到单位反馈系统的传递函数中进行计算。
假设开环传递函数H(s)的极点是p1，p2，...，pn，那么比例增益K可以计算为K = 1 / (p1 * p2 * ... * pn)。
步骤2：使用单位反馈系统的定义，建立闭环传递函数Y(s)/X(s)的表达式。
根据单位反馈系统的定义，闭环传递函数Y(s)/X(s)可以表示为Y(s)/X(s)=K*H(s)/(1+K*H(s))。
步骤3：将开环传递函数H(s)替换为相应的表达式，计算闭环传递函数。
将开环传递函数H(s)替换为相应的表达式后，闭环传递函数可以进一步简化为Y(s)/X(s)=K*(表达式)/(1+K*(表达式))。
第二章传递函数案例
解：
系统的结构图为
3. 结构图化简 (结构图的等效变换）
化简目的：
将结构图化简为一个方块，即传递函数。
化简原则：
保证化简前后的代数等价关系不变
等效变换法则
环节串联
环节并联
反馈回路化简
负反馈
正反馈
相加点移动
分支点移动
前移
后移
信号的分支点与相加点不可以互换
例：化简结构图，求取传递函数
阶跃响应曲线
七、比例积分环节 （P-I）
定义：环节输出正比于输入信号和它对时间的积分。
微分方程
1 c( t ) K r t Ti
0 r t dt
t
传递函数
1 G( s) K 1 T s i
阶跃响应曲线
八 、延迟环节
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程 传递函数
dc( t ) T c( t ) Kr ( t ) dt
K G( s) Ts 1
运算放大器
1 1 Rf Rf Cf s Cf s U 2 ( s) U1 ( s ) R1 Rf R1 K Rf Cf s 1 Ts 1
dr ( t ) c( t ) K r ( t ) TD d t
微分方程
传递函数
G( s)
c s r s
K 1 TD s
在放大器上加以 RC 网 络 反 馈 , 当 增益K足够大时
U 2 ( s) U1 ( s ) K 1 1 K RCs 1 K RCs 1 RCs 1 K RCs 1 RC 1 s 1 K K RCs 1 s1
2.3 传递函数的方块图表示及运算
2.3.2 闭环控制系统的方块图
(4)误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号Xi(s)之比 。
X 0 (s) E(s)G(s) 代入上式，消去G(s)即得：
E ( s) 1 1 X i ( s) 1 H ( s)G( s) 1 开环传递函数
2.3.2 闭环控制系统的方块图
G2 ( s) G( s) X 0 ( s) X i ( s) N ( s) 1 G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 E (s) X i (s) N (s) 1 G( s) H (s) 1 G(s) H (s)
注意：由于N(s)极性的随机性，因而在路传递函数 假设N(s)=0
主反馈信号B(s) 与输出信号X0(s) 之比。 B( s) H ( s ) 当H(s)＝1时，系统叫单位反馈系统。 X 0 (s)
(3)闭环系统的开环传递函数 假设N(s)=0 假设反馈通路断开，反馈信号B(s)与误差信号E(s) 之比。 B( s ) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) G ( s) H ( s) E ( s)
反馈公式 G1G5 G1G6 1 G5 H 2 G1G5 G7 1 GHG 1 G5 H 2 G1 H 1G2 1 G1G6 H 1G2 1 1 1 2 G5 1 G5 H 2
R
i
(1) (2)
ui
i
C （a）
uo
（b）
U o ( s)
U i (s) － U o ( s)
I(s)
U o ( s)
I(s) （c）
U o ( s)
（d）
例：画出下列R-C网络的方块图
机电控制工程基础综合练习解析(2019-5)
机电控制工程基础综合练习解析一、填空1. 自动控制就是 没有 人直接参与的情况下， 使生产过程的输出量按照给定的规律运行或变化 。
2．系统的稳定性取决于 系统闭环极点的分布 。
3. 所谓反馈控制系统就是的系统的输出 全部或部分 地返回到输入端。
积分环节的相频特性)(ωϕ为 90°。
4. 给定量的变化规律是事先不能确定的，而输出量能够准确、迅速的复现给定量，这样的系统称之为随动系统 。
5. 在 零初始条件 下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为线性系统（或元件）的 传递函数 。
6. 单位积分环节的传递函数为 1/s 。
7．一阶系统11+Ts ，则其时间常数为 T 。
8．系统传递函数为W(s)，输入为单位阶跃函数时，输出拉氏变换Y (s)为 ss W )( 。
9．单位负反馈系统开环传函为)1(9)(+=s s s G ，系统的阻尼比ξ=0.167、无阻尼自振荡角频率ωn 为 3 ，调节时间ts （5％）为 6 秒。
10．反馈信号(或称反馈)：从系统(或元件)输出端取出信号，经过变换后加到系统(或元件)输入端，这就是反馈信号。
当它与输入信号符号相同，即反馈结果有利于加强输入信号的作用时叫 正反馈 。
反之，符号相反抵消输入信号作用时叫 负反馈 。
11．Ⅰ型系统 不能 无静差地跟踪单位斜坡输入信号。
12. 某环节的传递函数为2s ，则它的幅频特性的数学表达式是 ，相频特性的数学表达式是 。
2ω；90o13.单位反馈系统的开环传递函数为)3)(2()(*++=s s s K s G ，根轨迹的分支数为 3 。
14. 负反馈结构的系统，其前向通道上的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则该系统的开环传递函数为 ，闭环传递函数为 。
G(s)H(s)，)()(1)(s H s G s G +15. 函数f(t)=2t 的拉氏变换为 。
22s16．单位负反馈结构的系统，其开环传递函数为)2(+s s K则该系统为 型系统，根轨迹分支数为 。
自动控制原理第三章课后习题 答案()
3-1 设系统的微分方程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C `闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK ！用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T sTs Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 203-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
自控原理课后习题答案(张爱民 清华大学出版社)
1．1解：（1）机器人踢足球：开环系统输入量：足球位置输出量：机器人的动作（2）人的体温控制系统：闭环系统输入量：正常的体温输出量：经调节后的体温（3）微波炉做饭：开环系统：输入量：设定的加热时间输出量：实际加热的时间（4）空调制冷：闭环系统输入量：设定的温度输出量：实际的温度1．2解：开环系统：优点：结构简单，成本低廉；增益较大；对输入信号的变化响应灵敏；只要被控对象稳定，系统就能稳定工作。
缺点：控制精度低，抗扰动能力弱闭环控制优点：控制精度高，有效抑制了被反馈包围的前向通道的扰动对系统输出量的影响；利用负反馈减小系统误差，减小被控对象参数对输出量的影响。
缺点：结构复杂，降低了开环系统的增益，且需考虑稳定性问题。
1.3解：自动控制系统分两种类型：开环控制系统和闭环控制系统。
开环控制系统的特点是：控制器与被控对象之间只有顺向作用而无反向联系，系统的被控变量对控制作用没有任何影响。
系统的控制精度完全取决于所用元器件的精度和特性调整的准确度。
只要被控对象稳定，系统就能稳定地工作。
闭环控制系统的特点：（1）闭环控制系统是利用负反馈的作用来减小系统误差的（2）闭环控制系统能够有效地抑制被反馈通道保卫的前向通道中各种扰动对系统输出量的影响。
（3）闭环控制系统可以减小被控对象的参数变化对输出量的影响。
1.4解输入量：给定毫伏信号被控量：炉温被控对象：加热器（电炉）控制器：电压放大器和功率放大器系统原理方块图如下所示：工作原理：在正常情况下，炉温等于期望值时，热电偶的输出电压等于给定电压，此时偏差信号为零，电动机不动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上。
此时，炉子散失的热量正好等于从加热器获取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。
当炉温由于某种原因突然下降时，热电偶的输出电压下降，与给定电压比较后形成正偏差信号，该偏差信号经过电压放大器、功率放大器放大后，作为电动机的控制电压加到电动机上，电动机带动滑线变阻器的触头使输出电压升高，则炉温回升，直至达到期望值。
自动控制原理 邢春芳 第3章习题参考答案
参考答案3-1. 设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。
如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10/min C ︒的速度线性变化，求温度计的误差。
解：()()98%c t c =∞⨯，41min t T ==，0.25T =；()10r t t =，()10()t Tc t t T e-=-+，()()()10()tTe t r t c t T e-=-=-，lim ()10 2.5ss t e e t T →∞===3-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数为4()5G s s =+ 求系统的单位阶跃响应。
解：24()54s s s φ=++，1()R s s=， 21444133()()()(54)(4)(1)41C s s R s s s s s s s s s s φ=⋅===+-++++++； 414()133t t c t e e --=+-3-3. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为1()(1)G s s s =+ 求系统的上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。
解：2()1()1G s R s s s =++，2121n n ωωξ⎧=⎪⎨=⎪⎩，10.5n ωξ=⎧⎨=⎩，0.866d ω=，arccos 60βξ︒== 2.42r d t πβω-==s ， 3.63p dt πω==s，%100%16%eσ=⨯=，48s nt ξω==s3-4. 已知系统的单位阶跃响应:为6010()10.2 1.2t t c t e e --=+-，试求：（1）系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率n ω。
解：10.2 1.2600()6010(60)(10)C s s s s s s s =+-=++++，1()R s s =， 2()600()70600C s R s s s =++，2600270n nωωξ⎧=⎪⎨=⎪⎩，24.51.43n ωξ=⎧⎨=⎩3-5. 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：()(1)KG s s Ts =+当()()r t t ε=时，系统的动态性能指标%30%σ=，0.3(5%)s t s ≤∆=，求系统K 、T 值以满足动态指标。
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G0 (s ) = G (s )
p
0 .2 3s + 1.25
q y
4 G0 (s ) = s + 1.25
v
e
4 s + 1.25
§3.2 闭环系统的传递函数
2.关系：闭环传函的分母 = 开环传函+1
练习：系统结构图如图，试求Wyr (s ) 和 Wyf (s )
G (s ) 消去E(s )得： Y (s ) Y (s ) G (s ) Wyx (s ) = = X ( s ) 1 + G ( s )H ( s )
1 消去Y(s )得： E (s ) = X (s ) 1 + G (s )H (s ) E (s ) 1 = ∴ Wex (s ) = X (s ) 1 + G (s )H (s )
§3.2 闭环系统的传递函数
一、闭环系统的传函
X (s ) E (s ) G (s ) H (s )
1、基本概念： 1）前向通道：从偏差（e）到输出（y）的通道 2）反馈通道: 从输出（y）到偏差（e）的通道 2、闭环系统的传函W(s)
Y (s ) X (s ) E (s )
G (s )
Y (s )
Y (s ) X (s ) = 0，Wyp (s ) = = 1 + Gc (s )G p (s )F (s ) P(s )
Y2 (s ) = W yp (s ) × P(s )
G p (s )
∴Y (s ) = Y1 (s ) + Y2 (s )
= W yx (s ) ⋅ X (s ) + Wyp (s ) ⋅ P(s )
= 1 +G c (s )G p (s )F (s ) G c (s )G p (s ) ⋅ X (s ) + 1 +G c (s )G p (s )F (s ) G p (s ) ⋅ P(s )
§3.2 闭环系统的传递函数
♣1. 开环传函：把组成闭环的各串联框传函
(反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比) P(s) x(s) + Gc(s) F(s) Gp(s)
§3.2 闭环系统的传递函数 试求下列传函：
p
0 .2 3s + 1.25
q
1). 从e到y 2). 从p到y
v
e
4 s + 1.25
z
y
3). 从v到y 4). 从v到e 5). 从p到q 6). 从q到y 7). 从e到z
§3.2 闭环系统的传递函数 试求下列传函：
p
0 .2 3s + 1.25
二、闭环传函与开环传函的关系
的乘积反号称为~，记为G0 (s )
Y(s)
G0 (s ) = ±Gc (s )G p (s )F (s )
§3.2 闭环系统的传递函数
X (s ) E (s )
G (s ) H (s )
Y (s )
X (s ) E (s )
G (s )
Y (s )
G0 (s ) = G (s )H (s )
q
u
1). 从e到y 2). 从p到y
v
e
4 s + 1.25
2 s + 0 .5 5s + 2
y
3). 从v到y 4). 从v到e
10 s
z
5). 从p到q 6). 从q到y 7). 从e到z
§3.2 闭环系统的传递函数
注意：对于多输入线性系统，可以按叠加原理分 别对每个输入单独处理，然后将每个输入量单独 作用时的输出量进行叠加，得到系统的输出。
Y (s ) = G (s )E (s ) E (s ) = X (s ) − H (s )Y (s )
§3.2 闭环系统的传递函数
X (s ) E (s )
G (s ) H (s )
Y (s ) Y (s ) = G (s )E (s ) E (s ) = X (s ) − H (s )Y (s )
§3.2 闭环系统的传递函数
♣总结：列写闭环传函的规则：
1）若要列写从A点到B点的闭环传函，则在闭环 中保留A点到B点的通道，而在想象中断开B 点到A 点的通道，把这种情况下，从A点到B 点的传函作为分子； 2）把组成闭环的各串联框的传函相乘，反号， 再加1，作为分母。 布置练习、 思考题
例题讲解
§3.2 闭环系统的传递函数
一个典型闭环系统的框图大致如下： P(s )
X (s )
E (s )
G1 (s )
H (s )
G 2 (s )
Y (s )
B (s )
G1 (s ) — 控制器； 其中： G2 (s ) — 被控对象 Y (s ) — 系统的输出量（被控量） X (s ) — 系统的输入量（给定量） H (s ) — 用来测量输出量的检测仪表或元件 P(s ) — 从外部加到系统上的扰动
例：
P(s) Y(s) Gc(s) F(s) Gp(s)
x(s)
Y (s ) P(s ) = 0，Wyx (s ) = = 1 + Gc (s )G p (s )F (s ) X (s )
Gc (s )G p (s )
Y1 (s ) = Wyx (s ) × X (s )
§3.2 闭环系统的传递函数