2013届高三理科数学高考模拟试卷(含答案)

2013届高三理科数学模拟试卷问 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a 是实数，且(34)(4)i ai ++是纯虚数，则a =( )A ．163-B ．163C ．3-D ．3 2．若x R ∈，那么1xx +为正数的充分不要条件是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜0C ．01<<-xD ．1-<x 或0x >3.在△ABC 中,D 为AB 边上一点，若,2CB Y x +==，则X,Y 分别是A 3231,B. 3132,C.3231,-- D.3132,--4.以双曲线116922=-yx 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 A ．x 2+y 2－10x +9=0 B ．x 2+y 2－10x +16=0 C ．x 2+y 2+10x +16=0D ．x 2+y 2+10x +9=05．函数()1||xxa y a x =>的图象的大致形状是( )6．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x byˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ ） Ａ．72.0万元B ．67.7万元C ．65.5万元D ．63.6万元7．设曲线2cos sin x y x -=在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a =( )A ．2B ．2-C ．1-D ．18．若函数||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是A ．[8，12]B ．C ．[4，12]D ．[2，]二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题。

每小题5分共35分.（一）选做题（请考生在第9-119.如右图，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点. 若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______. 10．若直线l ：kx y =与曲线c ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 2y x （θ为参数）有唯一的公共点，则实数k=______________．11．用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628，774],好点是718，则此时要做试验的加入点值是______________．(二)必做题（12～16题） 12. 72)(xx x -的展开式中，4x 的系数是______________．13.. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为______________．14.有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本， 若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一 科目的书都不相邻的概率______________．15．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印 的点既满足40y x -->，又在直线92y =下方的 有____ _ __个.16．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )（ 1 ）请写出c n 的一个表达式，c n = ；BCP（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答） 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-=p q ⊥且．（1）求角B 的大小；（2）若b=ABC 面积的最大值．18．(本小题满分12分)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 2CF AD =，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.(Ⅰ)求该几何体的体积；(Ⅱ)求二面角B DE F --的余弦值.19．(本小题满分12分)某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，则此队获胜，比赛结束，因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，问：⑴组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是多少？ ⑵用ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求ξ的数学期望？20．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T 小时，当T 在什么范围内时，选择甲方案最合算？请说明理由 （2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T （小时）与月份n 的函数关系为T = f (n )=3237(112,)4n n n +≤≤∈N ．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少为此花费多少元？21．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:22221>>=+ba by a x C 的离心率为33，直线2:+=x y l 与以原点为圆心、椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切。

(1)求椭圆1C 的方程；(2)设1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ,垂侧视图俯视图直观图CAABFF EBCDA足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；(3)设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||QS 的取值范围。

22．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．2013届高三理科数学模拟试解答题参考答案17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-=p q ⊥且．（1）求角B 的大小；（2）若b=ABC 面积的最大值．【解析】（1）p q ⊥由，可得(2)cos cos 0p q c a B b c =-+=，由正弦定理：sin cos 2sin cos sin cos 0,sin()2sin cos .C B A B B C C B A B -+=+=从而（3分） 又B + C =π– A ，sin(C + B ) = sin A ，且sin A ＞0，故1cos ,(0,),23B B B ππ=∈∴=又（6分）（2）由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B = a 2 + c 2 – ac ≥ac ， 又b=ac ≤12 （9分）故11sin 1222ABCSac B =≤⨯= 因此当a = c=ABC 的面积最大且最大值为（12分）18．(本小题满分12分)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 2CF AD =，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.(Ⅰ)求该几何体的体积；(Ⅱ)求二面角B DE F --的余弦值.解:(Ⅰ)//CF P P PQ CB BE Q 取中点，过作交于，//PD QD AD CP AD CP =连结，，，且.ACPD 四边形为平行四边形，∴//AC PD ，∴//PDQ ABC 平面面.∴2--112sin 60223D EFPQ PDQ ABC V V V =+=⨯︒⨯+=三棱柱…………5分(Ⅱ)BC O EF R 取中点，中点，连结OA ，OR.。

则OA BC ⊥，∴OA BCFE ⊥平面，OA OR ⊥。

又∵OR BC ⊥，以O 为原点，OB,OR,OA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()(()()B 1,0,0D 02E 130F -140，，，，，，，()1111DEF ,,n x y z =设平面的法向量为111100n EF n EF n DE n DE ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪∴⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩()(EF=-2,1,0DE=11111-2+0+0x y x y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩()1113121,2,3z x y ===∴=1令得，n()222ABED ,,x y z =2设平面的法向量为n侧视图直观图CAABFFEB CDA()(2222222230BE BE 0BE=0,3,0,DE=+00y n n x y n DE n DE =⎧⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎪∴∴∴⎨⎨⎨=⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩ ()22221303,0,1z x y ===∴=令得，n 2322⋅===1212n n ，n 2，n ，122cos ,4222n n ⋅∴<>===⨯1212n n n n ，显然二面角B DE F --的平面角为钝角， 所以二面角B DE F --的余弦值为…………………………………12分 19．（本小题满分12分）某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，则此队获胜，比赛结束，因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，问：⑴组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是多少？⑵用ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求ξ的数学期望？解：⑴每场比赛的门票收入构成等差数列{a n }，其中a 1=30，d =10，S n =5n 2+25n令S n ≥180,即5n 2+25n ≥180，解得n ≥4或n ≤-9（舍） ∴n =4或54,45,5n n =⎧⎨≥⎩若则需打场比赛,某队必须第4场胜,且前3场中胜2场若则需打5场比赛,某队必须第场胜,且前4场中胜2场4522341132222434P C C ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴为…………………………………6分⑵ξ120 180 250P14 38 38∴E ξ=133120180250191.25488⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分20．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T 小时，当T 在什么范围内时，选择甲方案最合算？并说明理由 （2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T （小时）与月份n 的函数关系为T = f (n )=3237(112,)4n n n +≤≤∈N ．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少会为此花多少元？ 【解析】（1）当T ≤30时，选择丙方案合算；当T ＞30时，由30 + 3 (T – 30)≤50，得30＜T ≤2363，此时选择丙方案合算；（2分）当2363≤T ≤60时，选择乙方案合算；（4分）当T ＞60时，由50 + 3 (T – 60)≤70，得60＜T ≤2663，此时选择乙方案合算；当T ≥2663，选择甲方案合算．（6分） 综上可得，当T 2(66,)3∈+∞时，选择甲方案合算．（7分）（2）因为3(1)(),4f n f n +-=所以{f (n )}为首项f (1) = 60，公差d =34的等差数列，且每月上网时间逐月递增．令32372866,9439n T n +=≥≥得，可知前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．（9分）此时，一年的上网总费用为991132379[503(60)]370450(1)44n n n n ==++-+⨯=+-+∑∑21045081210741(=++=元)即一年内公司最少会为王先生花费上网费741元（13分）21解： (1)由33=e 得2232b a =，又由直线2:+=x y l 与圆222b y x =+相切，得2=b ，3=a ，∴椭圆1C 的方程为：12322=+y x 。