多题一法专项训练(一) 配 方 法
专题14 解一元二次方程专项训练-重难点题型(学生版)
专题2.6 解一元二次方程专项训练-重难点题型【题型1 用指定方法解一元二次方程】【例1】用指定方法解方程：（1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接开平方法）（2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法）（2）x2﹣5x+1＝0．（公式法）（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法）【变式1-1】（2020秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（配方法）（2）2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）（3）3x2﹣4x+1＝0（公式法）（4）5（x+1）2＝10（直接开平方法）【变式1-2】（2020秋•盱眙县校级月考）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0 （直接开平方法）（2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【变式1-3】（2020春•诸城市期末）用指定的方法解下列方程（1）2x2+3x＝1（配方法）（2）2x2+5x﹣3＝0（公式法）（3）2y2﹣4√2y＝0（因式分解法）（4）x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法）【题型2 选择适当方法解一元二次方程】【例2】（2020秋•宜兴市月考）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2（2x+1）2﹣18＝0；（2）（x﹣5）＝（x﹣5）2；（3）x2﹣5x﹣24＝0；（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．【变式2-1】（2020秋•站前区校级期中）用适当方法解方程：（1）（x﹣1）2＝9．（2）x2﹣4x﹣7＝0．（2）x2+4x﹣5＝0．（4）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【变式2-2】（2020春•如东县校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）2（x﹣1）2＝18；（2）x2﹣2x＝2x+1；（3）（3y﹣1）（y+1）＝4；（4）x（2x+3）＝2x+3．【变式2-3】（2020秋•河东区期中）用适当的方法解方程：（1）25y2﹣16＝0；（2）y2+2y﹣99＝0；（3）3x2+2x﹣3＝0．（4）（2x+1）2＝3（2x+1）；【题型3 用换元法解一元二次方程】【例3】（2020秋•太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．【变式3-1】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．请利用这种方法求下列方程：（1）（2x+5）2﹣（2x+5）﹣2＝0；（2）32x﹣4×3x+3＝0．【变式阅读材料并回答下面的问题：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看成为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±√2；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±√5∴原方程的根为：x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x1=−√5．在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想，请利用以上方法解方程：①x4﹣x2﹣6＝0；②（x2+3）2﹣9（x2+3）+20＝0．【变式3-3】阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．【题型4 含绝对值的一元二次方程的解法】【例4】（西城区校级期中）阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，①解得：．②综上，原方程的根是．③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是．【变式4-1】（蚌埠月考）阅读下面的例题：解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．（2）当m＜0时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．【变式4-2】（綦江区校级月考）阅读理解下列材料，然后回答问题：解方程：x2﹣3|x|+2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．【变式4-3】（富顺县校级期中）阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1＝2，x1＝﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．。
初中数学方程与不等式之一元二次方程专项训练及答案
初中数学方程与不等式之一元二次方程专项训练及答案一、选择题1．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( ) A ．12x x ≠B ．21120x x -=C ．122x x +=D ．122x x ⋅=【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 故选D.【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a +2 ∵y 有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，符合条件的a 的值的和是−2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．3．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ）A ．1和3B ．-1和3C ．1和4D ．-1和4 【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】移项得x 2-2x=3，配方得x 2-2x+1=4，即（x-1）2=4，∴m=1，n=4．故选C ．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【解析】【分析】 由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【解析】【分析】设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．方程250x x -=的解是（ ）A ．5x =-B ．5x =C ．10x =,25x =-D ．10x =,25x =【答案】D【解析】【分析】提取公因式x 进行计算.【详解】提取公因式x 得：x·(x −5)=0，所以10x =,25x =. 故本题答案选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.7．如图，AC ⊥BC ，:3:4AC BC =，D 是AC 上一点，连接BD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接AE ，若83ADE S ∆=，323BCE S ∆=，则BC ＝（ ）A ．3B ．8C ．3D ．10【答案】B【解析】【分析】 过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,,F G 由角平分线的性质可得：,EF EG =利用83ADE S ∆=，323BCE S ∆=可以求得,AD BC进而求得,CDE BCD S S ∆∆的面积，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,.F GCE Q 平分,ACB ∠,EF EG ∴=:3:4AC BC =Q ，设3,4,AC x BC x == Q 83ADE S ∆=，323BCE S ∆=， 18132,,2323AD EG BC EF ∴•=•= 1,,4AD AD x BC ∴=∴= 2,CD AC AD x ∴=-=162,3CDE ADE S S ∆∆∴==163216.33BCD S ∆∴=+= 12416,2x x ∴••= 2,x ∴= （负根舍去）48.BC x ∴==故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．9．下列方程中，有实数根的是（ ）A 0=B 1+=C 10=D x - 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A ．∵x 2+2≥2， 0≥≠，故不正确；B ．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=20=，故不正确；C 0≥110≥≠，故不正确；D ．∵x+1≥0，-x≥0，∴-1≤x ≤0．x -，∴x+1=x 2，∴x 2-x-1=0，∵∆=1+4=5＞0，∴x 1=12-，x 2=12+（舍去），x -有实数根，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．在解方程（x+2）（x ﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x ﹣2=5，得方程的根x 1=﹣1，x 2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x ﹣3）=0，得方程的根x 1=﹣3，x 2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．2（﹣）＝B．22251196x（﹣）＝1961225xC．2x（﹣）＝1961225（﹣）＝D．22251196x【答案】A【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．【详解】第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．12．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％【答案】D【解析】【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81，解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）即x=10%故选D．13．若关于x的方程2230x x m-+=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．98m≤B．98m<C．98m>D．98m=【答案】B【解析】【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m 的取值范围．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，a=2，b=-3，c=m，∴△=b2-4ac=（-3）2-4×2×m＞0，解得98m<．故选：B．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）=438 D．438（1+2x）=389【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) 元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x) ＝389(1＋x)2元．据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x ）2=438．故选B ．15．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14，结合1211+x x =4m ，即可求出m 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩， 解得：m ＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14， ∵1211+x x =4m ， ∴214m m +=4m ， ∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2，故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m 的不等式组；牢记两根之和等于﹣b a、两根之积等于c a． 16．已知24b ac -是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A ．18ab ≥ B ．18ab ≤ C ．14ab ≥ D ．14ab ≤ 【答案】B【解析】【分析】设u 的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab≤18． 【详解】因为方程有实数解，故b 2-4ac≥0．24b ac =-24b ac =-,设 则有2au 2-u+b=0或2au 2+u+b=0，（a≠0），因为以上关于u 的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，所以ab≤18． 故选B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的求根公式：（b 2-4ac≥0）.17．关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】由于关于x 的方程（2-a ）x 2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a 的最大值．【详解】解：∵关于x 的方程(2−a )x 2+5x−3=0有实数根，∴①当2−a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2−a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2−a)≥0，解之得a≤4912， ∴整数a 的最大值是4.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.18．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．19．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3【答案】D【解析】分析：根据关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，可以求得2a b -的值，从而可以求得636a b -+的值．详解：∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2，∴()()22260a b ，⨯-+⨯-+= 化简，得2a −b +3=0，∴2a −b =−3，∴6a −3b =−9，∴6a −3b +6=−9+6=−3，故选D.点睛：考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，建立所求式子与已知方程之间的关系.20．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=282B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282C ．100（1+2x ）＝282D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．。
解一元二次方程练习题(配方法公式法)
解一元二次方程练习题(配方法)配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是7．把方程x 2+3=4x 配方，得8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=010.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(公式法)公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c一、填空题1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2-4ac≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程___ ______．2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，•若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________．4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．二、利用公式法解下列方程（1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2（4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0（7）(x+1)(x+8)=-12 （8）2(x －3) 2＝x 2－9 （9）－3x 2＋22x －24＝0解一元二次方程练习题(因式分解法)因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
有理数专项训练(一)(通用版)(含答案)
有理数专项训练（一）（通用版）试卷简介:有理数混合运算中几个因数相乘、乘方和乘法分配律一、单选题(共15道，每道6分)1.计算的结果为( )A. B.C.2D.6答案：D解题思路：解答过程：原式=4+2=6故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算2.计算的结果为( )A.4B.2C. D.答案：A解题思路：解答过程：故选A．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算3.计算的结果为( )A.13B.C. D.19答案：B解题思路：解答过程：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算4.计算的结果为( )A.-2B.-26C.-10D.8答案：C解题思路：解答过程：原式=-9-(-3-8+12)=-9+3+8-12=-10试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算5.计算的结果为( )A.10B.26C.12D.28答案：D解题思路：解答过程：原式==6+1+21=28试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算6.计算的结果为( )A.14B.-2C.-18D.-22答案：C解题思路：解答过程：原式=-8-8+18+10-30=-18试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算7.计算的结果为( )A.5B.C.7D.答案：C解题思路：解答过程：故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算8.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：解答过程：故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算9.计算的结果为( )A.39B.41C. D.答案：A解题思路：解答过程：故选A．试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算10.计算的结果为( )A.-20B.20C.-85D.答案：B解题思路：解答过程：试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算11.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：解答过程：试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算12.计算的结果为( )A.1B.6C.-6D.答案：A解题思路：解答过程：试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算13.计算的结果为( )A.7B.11C.-3D.1答案：A解题思路：解答过程：试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算14.计算的结果为( )A.-2B.-56C.-16D.2答案：C解题思路：解答过程：试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算15.计算的结果为( )A.-11B.11C.-1D.-89答案：B解题思路：（1）考点：乘方运算，乘法分配率，有理数的除法（2）解题过程：解：原式=11（3）易错点：①搞不清楚和的指数管辖范围，中的指数不管“-”号，中的指数管“-”号；②应用乘法分配律计算时，系数乘以每一项；③括号前面有负号时，注意符号变化；④负号重复使用，式子中前面的负号误用两次，只能用一次，要么作为负号和4结合在一起，要么作为减号.试题难度：三颗星知识点：有理数混合运算。
配方法练习
专项训练一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m 等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或94．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1095．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．4．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x24．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．6．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？。
高三生物 遗传题解题方法
高三生物三轮复习资料02 遗传的方法前言: 一题多法，多题一法，融会贯通，学无定法，一、棋盘法1．低磷酸酯酶症是一种遗传病，一对夫妇均表现正常，他们的父母也均表现正常，丈夫的父亲不携带致病基因，而母亲是携带者，妻子的妹妹患有低磷酸酯酶症。
这对夫妇生育一个正常孩子是纯合子的概率是( )A．1/3 B．1/2C．6/11 D．11/122．某玉米品种含一对等位基因A和a，其中a基因纯合的植株花粉败育，即不能产生花粉，含A基因的植株完全正常。
现有基因型为Aa的玉米若干，每代均为自由交配直至F2，F2植株中正常植株与花粉败育植株的比例为( )A．1∶1 B．3∶1C．5∶1 D．7∶13、苦瓜植株中含一对等位基因D和d，其中D基因纯合的植株不能产生卵细胞，而d基因纯合的植株花粉不能正常发育，杂合子植株完全正常。
现有基因型为Dd的苦瓜植株若干做亲本，下列有关叙述错误的是（）。
A: 如果每代均自交直至，则植株中d基因的频率为B: 如果每代均自交直至，则植株中正常植株所占比例为C: 如果每代均自由交配直至，则植株中D基因的频率为D: 如果每代均自由交配直至，则植株中正常植株所占比例为4、一杂合子植株自交时,含有隐性配子的花粉有的死亡率,则自交后代的基因型比例是( )A.B.C.D. 5、现用山核桃的甲（AABB）、乙（aabb）两品种作亲本杂交得F1，F1测交结果如下表，下列有关叙述不正确的是（）A. F1产生的基因型为AB的花粉可能有50%不能萌发，不能实现受精B. F1自交得F2，F2的基因型有9种C. 将F1花粉离体培养，将得到四种表现型不同的植株D. 正反交结果不同，说明该两对基因的遗传不遵循自由组合定律6、人类某遗传病受一对基因(T、t)控制.3 个复等位基因、、i 控制ABO血型,位于另一对染色体上.A 血型的基因型有、,B血型的基因型有、,AB血型的基因型为,O血型的基因型为ii.两个家系成员的性状表现如图,Ⅱ-3和Ⅱ-5均为AB 血型,Ⅱ-4和Ⅱ-6均为O血型.请回答下列问题:(1)该遗传病的遗传方式为_________.Ⅱ-2基因型为Tt的概率为_____(2)Ⅰ-5个体有____种可能的血型.Ⅲ-1为Tt且表现A血型的概率为____.(3)如果Ⅲ-1与Ⅲ-2婚配,则后代为O 血型、AB血型的概率分别为________(4)若Ⅲ-1与Ⅲ-2生育一个正常女孩,可推测女孩为B血型的概率为____若该女孩真为B血型,则携带致病基因的概率为____________7、果蝇的体色有黄身(H)、灰身(h)之分，翅形有长翅(V)、残翅(v)之分。
化学方程式八种配平方法技巧和经典习题(精校)
常见化学方程式的配平的八种方法【摘要】对于化学反应方程式，配平方法很多，根据不同的反应可采用不同的方法，同一方程可用不同方法，要熟能生巧，就要多加练习。
化学反应方程式配平法1有机物反应，先看 H 右下角的数字，而无机物先看 O 的数字，一般是奇数的配2，假如不够可以翻倍2碳氢化合物的燃烧，先看 H、 C，再看 O，它的生成物一般为水和二氧化碳3配平的系数如果有公约数要约分为最简数4电荷平衡，对离子方程式在离子方程式中，除了难溶物质、气体、水外，其它的都写成离子形式， SO，（ 1）让方程两端的电荷相等（ 2）观察法去配平水、气体5还有一些不用配平，注意先计算再看是否需要配平【关键词】反应，方程式，配平，方法正确的化学方程式是计算的前提，而书写正确的化学方程式的关键是配平。
学生书写化学方程式时，对即在根据化学事实写出反应物和生成物的化学式，又要配平，还要注明反应条件及生成物的状态等往往顾此失彼。
为了使学生能较快地掌握化学方程式的配平技能，现就常见化学方程式的配平方法归纳如下：一、最小公倍数法具体步骤：（1）求出每一种原子在反应前后的最小公倍数；（2）使该原子在反应前后都为所求出的最小公倍数；（3）一般先从氧原子入手，再配平其他原子。
例：配平 Al + Fe 3O4→ Fe + Al 2O3第一步：配平氧原子Al + 3Fe 3O4→ Fe + 4Al 2O3第二步：配平铁和铝原子8Al + 3Fe 3O4→ 9Fe + 4Al 2O3第三步：配平的化学方程式：高温8Al + 3Fe3O49Fe + 4Al2O31、 Al + O 2—— Al 2O32、Al + Fe 3O4—— Fe + Al2O33、 Fe + O2—— Fe3O44、Al + MnO 2—— Mn + Al 2O35、 N2 + H2—— NH 36、Al + H 2SO4 —— Al 2（ SO4）3 + H2二、观察法具体步骤：（1）从化学式较复杂的一种生成物推求有关反应物化学式的化学计量数和这一生成物的化学计量数；（2）根据求得的化学式的化学计量数，再找出其它化学式的倾泄计量数，这样即可配平。
配方法的应用专项训练题
配方法的应用专项训练题1．填空：x2﹣10x+＝（）2．2．x2++9y2＝（x+）2．3．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣92 4．已知实数x．y满足x2+y2＝x+6y﹣9.25，则x2+y2的值是．5．已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy＝．6．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c＝﹣338，则△ABC的周长是（）A．26B．28C．30D．327．关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（）A．12B．13C．14D．158．已知实数x、y满足9x2+y2+24x﹣6y+25＝0和axy﹣3x＝y，则a的值是（）A．B．C．D．9．无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（）A．非负数B．0C．正数D．负数10．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．总大于7B．总不小于9C．总不小于﹣9D．为任意有理数11．已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（）A．最大值23B．最小值23C．最大值﹣23D．最小值﹣23 12．已知x，y都为实数，则式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是（）A．0B．2C．D．1213．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（）A．6B．9C．6或9D．无法确定14．已知关于实数x的代数式x2（4﹣x2）有最大值，则实数x的值为时，代数式取得最大值．15．阅读材料：把形如x2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3；x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x；x2﹣2x+4＝x2﹣2x+4+x2＝（x﹣2）2+x2；是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣6x+16配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求a﹣b+c的值；（3）已知2x+y＝6，求当x、y分别取什么值时，x2+2xy+y2﹣3x﹣2y取最小值，最小值是多少？16．阅读材料；若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴m＝4，n＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0．则2x+3y的值为；（2）已知△ABC的边长a、b、c是三个互不相等的正整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值；（写出求解过程）（3）已知a﹣b＝10，ab+c2﹣16c+89＝0，则a+b+c的值为．17．阅读下面的解题过程，求y2﹣10y+30的最小值．解：∵y2﹣10y+30＝y2﹣10y+25+5＝（y2﹣10y+25）+5＝（y﹣5）2+5，而（y﹣5）2≥0，即（y﹣5）2最小值是0．∴y2﹣10y+30的最小值是5．依照上面解答过程，求：（1）m2+2m+2020的最小值；（2）4﹣x2+2x的最大值．18．先阅读下面的内容，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求x2的值；（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13+|3﹣c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？19．【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．。
第21章一元二次方程(压轴必刷30题7种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上
第21章一元二次方程（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．解一元二次方程-配方法（共1小题）1．（2022秋•仙桃校级月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）2．（2021秋•高安市校级月考）阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是．三．换元法解一元二次方程（共1小题）3．（2021秋•高州市月考）先阅读，再解题解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1；y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所原方程的解为x1＝2，x2＝5请利用上述这种方法解方程：（3x﹣5）2﹣4（5﹣3x）+3＝0．四．根的判别式（共4小题）4．（2022秋•宝应县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5．（2022春•雷州市月考）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．6．（2022秋•罗山县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．7．（2022秋•仪陇县月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．五．根与系数的关系（共5小题）8．（2021春•拱墅区月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．9．（2021秋•冷水滩区校级月考）如果方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，则＝（2）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣＝2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．10．（2021春•崇川区校级月考）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，求k的值．11．（2021秋•顺德区月考）已知方程a（2x+a）＝x（1﹣x）的两个实数根为x1，x2，设．（1）当a＝﹣2时，求S的值；（2）当a取什么整数时，S的值为1；（3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．12．（2020秋•椒江区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣ac＝0；我们记“K＝b2﹣ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2﹣n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．六．配方法的应用（共1小题）13．（2021秋•建瓯市校级月考）先阅读，再解决问题．阅读：材料一配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程x2+2x﹣1＝0可先配方（x+1）2＝2，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题．材料二对于代数式3a2+1，因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即3a2+1有最小值1，且当a＝0时，3a2+1取得最小值为1．类似地，对于代数式﹣3a2+1，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1≤1，即﹣3a2+1有最大值1，且当a＝0时，﹣3a2+1取得最大值为1．解答下列问题：（1）填空：①当x＝时，代数式2x2﹣1有最小值为；②当x＝时，代数式﹣2（x+1）2+1有最大值为．（2）试求代数式2x2﹣4x+1的最小值，并求出代数式取得最小值时的x的值．（要求写出必要的运算推理过程）七．一元二次方程的应用（共17小题）14．（2022秋•岳阳县校级月考）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？15．（2022春•宜秀区校级月考）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？16．（2022秋•中原区校级月考）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？17．（2022秋•南海区校级月考）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？18．（2023春•莱芜区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．19．（2022春•拱墅区校级月考）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．20．（2021春•崇川区校级月考）某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣费用）21．（2021秋•莲池区校级月考）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？22．（2022秋•佛山月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S．（1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．（2）点D运动至何处时，S＝S△ABC？23．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？24．（2022秋•沙坪坝区校级月考）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？25．（2022秋•渝水区校级月考）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．26．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？27．（2022秋•宜阳县月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）花圃的面积为米2（用含a的式子表示）；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？28．（2022秋•仙桃校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．29．（2021秋•开州区校级月考）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．30．（2022秋•中原区校级月考）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．点P停止运动时点Q也停止运动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？。
化学方程式配平常用方法及专项练习
化学方程式配平方法简介一. 最小公倍数法适用条件：所配原子在方程式左右各只出现一次。
例如，KClO ₃→KCl+O ₂↑在这个反应式中右边氧原子个数为2，左边是3，则最小公倍数为6，因此KClO ₃前系数应配2，O2前配3，式子变为：2KClO ₃→2KCl+3O ₂↑，由于左边钾原子和氯原子数变为2个，则KCl 前应配系数2，短线改为等号，标明条件即可： 2KClO ₃====2KCl+3O ₂↑（反应条件为二氧化锰催化和加热。
“MnO ₂”写在等号上方；“加热”写在等号下方，可用三角形“△”代替） 例1. 配平：Fe O Al O Fe Al +−−→−+3243高温解析：先根据两边氧原子数的最小公倍数是12，可确定43O Fe 的系数为3，32O Al 的系数为4。
进一步确定铝的系数为8，铁的系数为9。
结果得Fe O Al O Fe Al 94383243++高温二. 奇数配偶法适用条件：方程式中所配元素的原子个数的奇数只出现一次。
这种方法适用于化学方程式两边某一元素多次出现，并且两边的该元素原子总数有一奇一偶，例如：C2H2+O2→CO2+H2O ，此方程式配平先从出现次数最多的氧原子配起。
O2内有2个氧原子，H2O 的系数应配2（若推出其它的分子系数出现分数则可配4），由此推知C2H2前2，式子变为：2C2H2+O2→CO2+2H2O ，由此可知CO2前系数应为4，最后配单质O2为5，把短线改为等号，写明条件即可： 2C 2H 2+5O 2==4CO 2+2H 2O e.g.（1）从化学式较复杂的一种生成物推求有关反应物化学式的化学计量数和这一生成物的化学计量数；（2）根据求得的化学式的化学计量数，再找出其它化学式的倾泄计量数，这样即可配平。
例如：Fe2O3 + CO ——Fe + CO2 观察： 所以，1个Fe2O3应将3个“O”分别给3个CO ，使其转变为3个CO2。
即 Fe2O3 + 3CO ——Fe + 3CO2 再观察上式：左边有2个Fe （Fe2O3），所以右边Fe 的系数应为2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多题一法专项训练(一) 配 方 法方法概述适用题型 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”的技巧，通过配方找到已知和未知的联系从而化繁为简．何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”，“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.在高考中配方法常适用的类型有以下几种： (1)二次函数的最值问题 (2)同角三角函数基本关系式中平方关系 (3)平面向量的数量积的应用 (4)余弦定理 (5)圆的方程 (6)等比数列的性质一、填空题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5＝________.解析：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.答案：52．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．解析：∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴函数图像的对称轴为x 0＝1，最小值为2，要使最大值为3，最小值为2，则1≤m ≤2. 答案：[1,2] 3．(2013·浙江高考改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．解析：由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2＋|AF 2|2，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率．由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.答案：624．函数y ＝log 12(－2x 2＋5x ＋3)的单调递增区间是________． 解析：令u ＝－2x 2＋5x ＋3＝－2(x －54)2＋498， 又u >0，知－12<x <3， ∴由y ＝log 12u 为减函数， 故递增区间为[54，3)． 答案：[54，3) 5．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为________．解析：∵sin 4α＋cos 4α＝1，∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1.∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，∴sin α＋cos α＝±1.答案：±16．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间[0,3]上的最小值为－2，则a 的值为________．解析：f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，按a 是否在[0,3]中分三种情况讨论．(1)当a <0时，y min ＝f (0)＝a ＝－2，适合；(2)当0≤a ≤3时，y min ＝f (a )＝a －a 2＝－2，解得a ＝2或－1，但－1∉[0,3]，∴a ＝2；(3)当a >3时，y min ＝f (3)＝9－5a ＝－2，解得a ＝115，但115<3，故舍去． 综上所述，a ＝±2.答案：±27．(2013·浙江高考)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 解析：因为|x ||b |＝|x |(x e 1＋y e 2)2＝|x |x 2＋y 2＋2xy (e 1·e 2)＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3⎝⎛⎭⎫y x＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤2，当且仅当y x ＝－32时取“＝”，故|x ||b |的最大值为2. 答案：28．已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为________．解析：设长方体长，宽，高分别为x ，y ，z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：⎩⎪⎨⎪⎧2(xy ＋yz ＋xz )＝11，4(x ＋y ＋z )＝24. 长方体所求对角线长为：x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2(xy ＋yz ＋xz )＝62－11＝5. 答案：59．设方程x 2＋kx ＋2＝0的两实根为p ，q ，若⎝⎛⎭⎫p q 2＋⎝⎛⎭⎫q p 2≤7成立，则实数k 的取值范围为________．解析：方程x 2＋kx ＋2＝0的两实根为p ，q ，由根与系数的关系得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2，⎝⎛⎭⎫p q 2＋⎝⎛⎭⎫q p 2＝p 4＋q 4(pq )2＝(p 2＋q 2)2－2p 2q 2(pq )2＝ [(p ＋q )2－2pq ]2－2p 2q 2(pq )2＝(k 2－4)2－84≤7， 解得－10≤k ≤10.又Δ≥0，∴k ≥22或k ≤－2 2.∴k 的取值范围是－10≤k ≤－22或22≤k ≤10.答案：[－10，－22]∪[22，10]二、解答题 10．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B， 得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36.∴(b ＋c )2－3bc ＝36又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733. 11．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ [2 000＋400(20－x )](x －7)，0<x ≤20，[2 000－100(x －20)](x －7)，20<x <40， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400(25－x )(x －7)，0<x ≤20，100(40－x )(x －7)，20<x <40. 此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－(x －16)2＋81]，0<x ≤20，100[－⎝⎛⎭⎫x －4722＋1 0894]，20<x <40. 当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)． 综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400 元．12．(2014·惠州调研)如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝x 2＋m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，直线l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T ，求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值．解：(1)e ＝c a ＝32，∴a 2－b 2a 2＝34， ①矩形ABCD 面积为8，即2a ·2b ＝8， ②由①②解得：a ＝2，b ＝1，∴椭圆M 的标准方程是x 24＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋m ， 得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－85m ，x 1x 2＝4m 2－45， 由Δ＝64m 2－20(4m 2－4)>0，得－5<m < 5.|PQ |＝2·(－85m )2－4·4m 2－45＝4255－m 2. 当直线l 过A 点时，m ＝1，当直线l 过C 点时，m ＝－1.①当－5<m <－1时，S (－m －1，－1)，T (2,2＋m )，|ST |＝2(3＋m )，|PQ ||ST |＝455－m 2(3＋m )2＝45－4t 2＋6t －1＝45 －4(1t －34)2＋54. 其中t ＝m ＋3，由此知当1t ＝34，即t ＝43，m ＝－53∈(－5，－1)时，|PQ ||ST |取得最大值255. ②由对称性可知，若1<m <5，则当m ＝53时，|PQ ||ST |取得最大值255. ③当－1≤m ≤1时，|ST |＝22，|PQ ||ST |＝255－m 2， 由此知，当m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255. 综上可知，当m ＝±53和0时，|PQ ||ST |取得最大值255.。