特征值与特征向量
5.1 特征值与特征向量
例6
设A2 3A 2E O, 证明A 的特征值只能取1或2.
解 设A有特征值， A2 3 A 2E 则
3 2
2
又因为A2 3 A 2E 0 故2 3 2 0.
1或者 2.
例7
设n阶方阵A有n个特征值1,2,…., n, 求|A+3E|.
解 设A有特征值， A 3E 则
3
故A+3E的特征值为4, 5, ….., n+3 ( n 3)! A 3E 3!
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
α 0 是 A 的特征向量吗？ 不是
结论：设1, 2 ,, m是方阵A的m个特征值，p1, p2 ,, pm
Байду номын сангаас
依次是与之对应的特征 向量. 若1, 2 ,, m各不相等，
则p1 , p2 ,, pm线性无关。
总结：
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量． 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特 征向量只能属于一个特征值．
特征向量仍为 x。
(1 证明： ) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x
* *
|A |
x
若，， ，n 是可逆矩阵A的全部特征值，则A*的 | A| | A| | A| 全部特征值是 : ， ， ， ,且对应的特征向量
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程等领域有着广泛的应用。
本文将对特征值与特征向量进行详细讲解，并介绍它们的一些重要性质和应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，非零向量x若满足Ax=kx，其中k为一个标量，那么我们称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性。
二、求解特征值与特征向量要求解一个矩阵的特征值与特征向量，我们可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，形式为|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。
解特征方程可以得到特征值的值，然后将特征值代入到(A-kI)x=0中，求解线性方程组即可得到特征向量。
特征值与特征向量是成对存在的，对于矩阵A的每一个特征值k，都对应着一个特征向量。
一个矩阵最多有n个特征值，但是可能有重复的特征值。
三、特征值与特征向量的重要性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 特征向量与特征值的个数相等，一一对应。
2. 特征值可以为实数或复数，特征向量可以为实向量或复向量。
3. 若特征值为k，则对应的特征向量不唯一，可乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 矩阵的迹等于特征值的和，行列式等于特征值的积。
特征值与特征向量的这些性质在实际问题中有着重要的应用，可以用于矩阵的对角化、求解线性方程组、图像处理、物理模型的求解等领域。
四、特征值与特征向量的应用1. 数据降维在数据处理中，我们经常会遇到维度灾难，即特征维度非常高，而样本量较小。
利用特征值与特征向量，我们可以将高维度的数据降低到低维度，从而简化计算和数据处理过程，提高算法效率。
2. 图像处理图像可以用矩阵来表示，而图像的特性往往由矩阵的特征值与特征向量来描述。
利用特征值与特征向量，我们可以进行图像的压缩、图像的特征提取、图像的增强等图像处理操作。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值与特征向量
特征值与特征向量在数学中，特征值和特征向量是矩阵与线性变换的重要概念。
特征值可以帮助我们理解线性变换对向量运动的影响，而特征向量则描述了这种影响的方向。
本文将介绍特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义对于一个n维向量空间中的线性变换T，如果存在一个非零向量v使得T(v) = λv 成立，其中λ为一个标量，那么我们称λ为T的特征值，v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来获得。
设A是一个n×n的矩阵，并且v是一个非零向量，则有Av = λv 成立。
这是一个齐次线性方程组。
解该方程组即可得到特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的存在性和唯一性对于一个n×n的矩阵A，它的特征值存在和特征向量存在的条件是相同的。
一个矩阵最多有n个不同的特征值，每个特征值对应的特征向量也可以有多个。
但是特征向量一定是线性相关的。
2. 特征值与特征向量的性质（1）特征值的和等于矩阵的迹如果A是一个n×n的矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则有λ₁+λ₂+...+λₙ = tr(A)，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
（2）特征值的乘积等于矩阵的行列式如果A是一个n×n的矩阵，则特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ₁*λ₂*...*λₙ = det(A)，其中det(A)表示矩阵A的行列式。
（3）特征值的倒数等于矩阵的逆矩阵的特征值如果A是一个可逆矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则A的逆矩阵的特征值为λ₁⁻¹、λ₂⁻¹、...、λₙ⁻¹。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中有广泛的应用。
下面列举了其中的几个应用领域：1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像压缩和降维等。
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。
特征值λ 是使得上述等式成立的实数。
特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。
而特征值也最多有n 个。
一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。
2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。
3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。
三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。
1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。
这样可以得到 A 的特征值。
2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。
解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。
对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。
2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和多个领域中都有广泛的应用。
特征值与特征向量的理解对于深入理解线性代数的基础及其应用具有重要的意义。
本文将简要介绍特征值与特征向量的概念、性质及其应用，并通过示例加深理解。
1. 概念特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的概念。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，那么k称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量总是成对出现的，一个特征向量对应一个特征值。
2. 性质（1）特征值是矩阵的本征性质，是一个与矩阵本身相关的特征。
（2）特征向量是矩阵A的一个零空间的非零向量，表示在矩阵A 的作用下，该向量只发生一个伸缩变换，方向不变。
（3）特征值和特征向量存在一定的关系，特征值为k的特征向量与特征值为-1/k的特征向量互为相反数。
（4）特征值的个数等于矩阵的秩，特征向量的个数与矩阵的阶数相同。
3. 应用特征值与特征向量在多个学科领域具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用案例：（1）数据降维：在机器学习和数据挖掘中，通过对数据矩阵的特征值分解，可以实现数据的降维处理，减少冗余信息，提高计算效率。
（2）图像处理：图像处理中常常利用矩阵的特征值与特征向量进行图像的压缩、滤波、边缘检测等操作。
例如，利用特征值分解进行图像去噪处理。
（3）网络分析：在网络分析中，可以利用特征值与特征向量来研究网络结构的特征，如网络的连通性、中心性等。
（4）量子力学：量子力学中的波函数也可以通过特征值和特征向量的计算得到，从而得到物理系统的某些性质。
通过以上示例，我们可以看到特征值与特征向量在多个领域中的重要性。
对于线性代数的学习，深入理解特征值与特征向量的概念、性质及其应用，对于进一步的学术研究和应用都具有重要的意义。
总结：特征值与特征向量是矩阵理论中重要的概念，它们在多个学科领域中有广泛的应用。
特征值是矩阵的本征性质，特征向量表示在矩阵作用下只发生一个伸缩变换。
线性代数特征值与特征向量
线性代数特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质以及应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得满足以下等式：Av = λv其中，v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征值与特征向量始终成对出现，不同特征向量对应的特征值可以相同，也可以不同。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量的性质（1）特征向量可以进行线性组合。
即若v1和v2是矩阵A相应于特征值λ的特征向量，那么c1v1 + c2v2也是矩阵A相应于λ的特征向量（其中c1和c2为常数）。
（2）特征向量的数量最多为n。
对于一个n阶方阵A，它最多有n个线性无关的特征向量。
2. 特征值的性质（1）特征值具有可加性。
对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A+B的特征值为λ1+μ1。
（2）特征值具有可乘性。
对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A·B的特征值为λ1·μ1。
三、特征值与特征向量的求解方法特征值与特征向量的求解是通过解方程Av = λv来实现的。
常见的求解方法有以下两种：1. 特征方程法将Av = λv转化为(A-λI)v = 0，求解矩阵(A-λI)的零空间，即可得到特征向量v，然后代入Av = λv中求解λ。
2. 列主元法通过高斯消元法将矩阵A转化为上三角矩阵U，求解Ux = 0的基础解系，其中x即为特征向量，对应的主对角线元素即为特征值。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，以下是其中几个典型的应用案例：1. 矩阵对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。
矩阵对角化可以简化矩阵的运算，提高计算效率。
2. 矩阵压缩在图像处理和数据压缩中，特征值与特征向量可以用来进行矩阵的压缩。
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的概念.
定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个
线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一
个非零向量 ，使得
A = 0 .
那么 0 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的属 于特征值 0 的一个特征向量.
这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,
换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不 同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵 是相似的。
的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则
(1) 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; (2) 12 …n = |A|.
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多
项式
a11
a21 E A an1
a12 an 2
于 0 的特征向量 . 因为从 A = 0 可以推出
A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反， 特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特 征向量只能属于一个特征值.
三、求法
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , … ,
上式可进一步变形成
x01 x02 (0 E A) 0. x 0n
这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , … , x0n ) 满足 齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 . 由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , … , x0n 不全为
它的特征多项式为
sin . cos
cos sin 2 2 cos 1 . sin cos
当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当
k 时， S 没有特征值.
五、特征子空间
容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值
我们引入以下定义.
定义 7.3.3
设 A 是数域 P 上一 n 级矩阵， 是
一个数字. 矩阵 E - A 的行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a22 | E A | an1 an 2 ann
称为 A 的特征多项式， 这是数域 P 上的一个 n
特征向量 是非零向量. 显然，零向量对任意的0
都满足 A = 0 ，因此这不具有“特征”意义.
二、几何意义
在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的
特征值与特征向量的几何意义是：特征向量 ( 起 点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，
特征值 0 > 0，反向时， 0 < 0，且 0 的绝对值等
7.3 特征值与特征向量
主要内容
定义 几何意义 求法 举例 特征子空间 性质
一、定义
我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基 之后，线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩 阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我 们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形 式. 从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择 基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简 单形式. 为了这个目的，先介绍特征值和特征向量
因此，D 的特征值只有 0 . 通过解相应的齐次线性
方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量
组只能是任一非零常数. 这表明微商为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的多项式
只能是零或非零的常数.
例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维
线性空间，第一节 下的矩阵为 中旋转 S 在直角坐标系
cos sin
1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; 12 …n = |A|.
称
证毕
a
i 1
n
ii
为矩阵 A 的迹, 记作 trA.
性质7.3.2 相似的矩阵有相同的特征多项式.
特征值自然是被线性变换所决定的. 但是在有 限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变
四、举例
例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任
意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是
| E - kE | = ( - k)n . 因此，数乘变换 K 的特征值只有 k . 由定义可知,
每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.
例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是
n 是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵
是 A. 又设 0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的 一个特征向量， 在基 1 , 2 , … , n 下的坐标是 x01 , x02 , … , x0n . 则 A 的坐标是
x01 x02 A . x 0n
0 的坐标是
x01 x02 0 . x 0n
因此 A = 0 相当于坐标之间的等式
x01 x01 x02 x02 A 0 . x x 0n 0n
0 ，全部适合条件
的向量 所成的集合， 也就是 A 的属于 0 的全 部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一
A = 0
个子空间，称为 A 的一个特征子空间，记为 V . 0
显然， V0 的维数就是属于 0 的线性无关的特征向
的最大个数.
六、性质
性质 1 性质7.3.1 设 1 , 2 , … n 是 n 阶矩阵 A = (aij)
当
1 5
时, 解方程组
(5E A) X 0 ,
4 2 2 x1 2 4 2 x2 0, 2 2 4 x 3
即
4 2 2 x1 2 4 2 x2 0, 2 2 4 x 3
0 0 D 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
D 的特征多项式是
0 | E D | 0 0
1
0 0
0 1 0 n . 0 1 0 0
O 图 7-8
此时， S 没有实特征值；
当 = 时，R2 中任何非零向量 都与 S ( ) 共线，且S ( ) = - (图 7-9所示)， 量. 所以，- 1 是
S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向
2
O
1
S (1)
图 7-9
S (2)
如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征 向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属
单击这里开始求解 解之得基础解系为
T
1 5 所以属于 的一个线性无关的特征向量就是
(1 , 1 , 1) ,
1 = 1 + 2 + 3，
全部特征向量就是
k11 (k1 P) .
当
2 3 1
时, 解方程组
( E A) X 0 ,
2 2 2 x1 2 2 2 x2 0, 2 2 2 x 3
次多项式.
上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特
征值，那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个 根； 反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数
域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性
方程组 ( 0E - A ) X = 0 就有非零解. 这时，如果 (x01 , x02 , … , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一
1 2 2 A 2 1 2 , 2 2 1
求 A 的特征值与特征向量.
解
单击这里求特征值 A 的特征多项式为
1 E A 2
2
2
2 2 1
1
2
( 1) ( 5) .
2
所以，A 的特征值为
1 5 , 2 3 1,
n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；
Step 2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征
方程在数域 P 中的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同 的特征值 1 , 2 , …, s ，它们也就是线性变换 A 的全部特征值.
Step 3 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2,
于 | A | 与 | | 之比值； 如果特征值 0 = 0，则特
征向量被线性变换变成 0 .
例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转
角的旋转变换 S ，当 0 < < 时，对任意非零
向量 R2 ， S ( ) 与 都不共线 ( 图 7-8所示 )
S ( )
零，即齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 有非零解. 我们
知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 它的系数行列式等于零，即
0 a11 a12 a1n a21 0 a22 a22 | 0 E A | 0. an1 an 2 0 ann
…,s ), 求解齐次线性方程组 (i E - A ) X = 0，该
方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部
特征向量在基 1 , 2 , …, n 下的坐标.
矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的
特征值，而相应的线性方程组 (i E - A ) X = 0 的
解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量.
令 = 0 可得其常数项为 |A| .