初三数学重难点专题：二次函数的综合专题(word答案版
二次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）
⼆次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）⼆次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）⼀、⽬录⼀、⽬录 (1)⼆、基础知识点 (2)1.⼆次函数的概念 (2)2.⼆次函数y=的图像和性质 (2)3.⼆次函数y=a（）（）的性质 (4)4，⽤配⽅法求（） (6)5.⼆次函数图像性质总结 (7)6.⼆次函数解析式的求法 (7)7.⼆次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.⽤待定系数法求⼆次函数的解析式 (13)3.运⽤抛物线的对称性解题 (17)4.⽤⼆次函数解决最值问题 (18)5.⼆次函数的图像 (20)6.⼆次函数与应⽤问题 (21)⼆、基础知识点1.⼆次函数的概念形如y=（a≠0）的函数叫作⼆次函数。
注：①a、b、c为常数，且a≠0，即⼆次项必须有，⼀次项和常数项可以没有②⼆次函数为函数的⼀种，满⾜函数的所有性质。
即在定义域内，⾃变量x有且仅有唯⼀应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的⼆次函数的有：①y=；②y=（）（m为常数）；③y=（m为常数）；④y=答案：①是⼆次函数，⼆次项系数不为0；②不应定，当m=1时，⼆次项为0，则不是⼆次函数；③是⼆次函数，⼆次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是⼆次函数例2.已知y=（）是⼆次函数，求k的值。
答案：因为y=（）是⼆次函数所以解得：k=22.⼆次函数y=的图像和性质y=（a≠0，b=0，c=0，即⼀次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开⼝向上；a<0，开⼝向下③过原点（顶点），为最⼤值或最⼩值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤越⼤，开⼝越⼩，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三⾓形⾯积S与边长a的函数关系式。
答案：由等边三⾓形性质可知S=例2.根据抛物线y=（a≠0）的性质回答下列问题；（1）抛物线的开⼝向上，则a：（2）当x＜0时，抛物线y值随x的增⼤⽽减⼩，则a：（3）除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下⽅，则a：（4）当x＞0且a＜0时，则抛物线的y值随x的增⼤⽽：答案：（1）因为抛物线开⼝向上所以a＞0（2）因为当x＜0时，抛物线y值随x的增⼤⽽减⼩所以抛物线开⼝向上所以a＞0（3）因为除顶点外，抛物线上的点都在x轴的下⽅。
中考数学二次函数的综合热点考点难点含详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=，2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式；（2）如图，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE ＝S △CGO ，求点E 的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．3．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+．设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =3． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．4．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2．∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．5．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a （x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ． 【详解】（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4）， 当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4）， 又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2， ∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC 10，sin ∠ABC 310BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝3104610BE 210， ∴CE ＝3105， ∴tan ∠ACB ＝2AECE=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（34-，94）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为（32-，32）或（34-，94）． 【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P 1（1，）；②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（ ，），Q （2，），m ＝，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P 2（1，－4）．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示： （1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为 ．（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，⎛⎫- ⎪⎝⎭、31122⎛-+ ⎝⎭，、31122⎛-- ⎝⎭，． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-x 232-x +2． 故答案为y 12=-x 232-x +2； （2）当y =0时，12-x 232-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）． 当x =0时，y =2，即C （0，2）．AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形； （3）y 12=-x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132+）2+n 2254=+n 2，CP 294=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论：①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解； ②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（32-，0）； ③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=211+，n 2=211-，P 2（32-，2112+），P 3（32-，2112-）． 综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（32-，0），（32-，211+），（32-，211-）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。
中考数学二次函数的综合热点考点难点含详细答案
中考数学二次函数的综合热点考点难点含详细答案一、二次函数1．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =，∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a -=-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线x =（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为2x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--.∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-， ∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴113222AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得1m =2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=，化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.2．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】 【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x 2+32x+2；（2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩，∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．3．已知点A （﹣1，2）、B （3，6）在抛物线y=ax 2+bx 上 (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ； (3)如图2，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM=2PM ，直接写出t 的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.4．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为2﹣，2；（3）M （13，﹣113）【解析】 【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34m 2﹣94m ﹣3），N（n ，34n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，即可求M ；【详解】（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3），∴a ＝34， ∴y ＝34x 2﹣94x ﹣3，与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴403k b b +=⎧⎨=-⎩，∴343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y ＝34x ﹣3； 过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ， 设H （x ，34x ﹣3），D （x ，34x 2﹣94x ﹣3），∴DH ＝|34x 2﹣3x |， ∵S △ABC ＝1155323⨯⨯=，∴S △DBC ＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OBMN BC,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝54（n﹣m）＝54（4﹣2m）＝5﹣52m，∴ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，∵﹣34＜0，∴当m＝13时，ME+MN有最大值，∴M（13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y ＝kx+2，求得k；（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD2122m+=②当DF＝BD 24522m m-+=，③当BF＝DF22145m m m+-+m＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，将B（2，0）代入，0＝a（2﹣1）2﹣1，∴a＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+， 联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x xBF ==DF ==①当BF ＝BD=m ＝∴F 坐标（11②当DF ＝BD=，m ＝∴F 坐标（1，1，2③当BF ＝DF，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（111，1，2﹣【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．7．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+5152-），P2（352-，1+52），P35+5，1+52），P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535-P3+515-35-1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35-1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。
2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)
2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。
2019年中考数学专题汇编 二次函数-综合题含知识点汇总(word版有答案解析)
二次函数知识点汇总含二次函数-综合题一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，，，是常数，0叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
人教中考数学二次函数的综合热点考点难点含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO OB OA==3，∴OB＝3OA＝3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l2ba=-=-1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴13EM EF ODMP CF CO===，∴MP＝3ME．∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．3．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.4．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++； （2）t 的值为3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得2x =±∵x ﹥0，∴2x =+∴()28+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．5．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)， ∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，BC=2234+=5．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ，∴HB OC BG BC =，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ． 当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910．∴S △CBK =94． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ） =12×4•EK =2（﹣38m 2+32m ） =﹣34m 2+3m ． 即：﹣34m 2+3m=94． 解得 m 1=1，m 2=3． ∴K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．7．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6.(1)求a 的值；(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-.【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP =26，设出Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可【详解】(1)解：由题意得()()1y x x a =---由图知：0a ＜所以A (,0a )，()10B ,,()0,C a - ()()112ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍∴3a =-(2)由(1)得A (-3,0)，()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为：3yx AC 中点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴AC 的垂直平分线为：y x =-又∵AB 的垂直平分线为：1x =-∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1).(3)解：过点P 做PD ⊥x 轴由题意得：PD =d ，∴12ABP S PD AB ∆=⋅ =2d∵QPB ∆的面积为2d∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等∴AQ PB ∥设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B∴1y x =-∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),由题意及PAQ AQB ∠=∠易得：ABQ QPA ∆∆≌∴BQ =AP =26设Q (m ，-1)(0m ＜)∴()221126m -+= 4m =-∴Q ()4,1-.【点睛】本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式8．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或2或②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以，接着根据平行四边形的性质得到，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=2PQ=2×22=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41，m2=5-41，综上所述，P点的横坐标为4或5+41或5-41；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换10．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．。
中考专题：二次函数的应用专题(word答案版)
二次函数的应用专题知识归纳二次函数的概念及解析式1．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的2、2函数，叫做二次函数．2、二次函数解析式的三种形式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ，h ，k 为常数，a ≠0)，顶点坐标是(h ，k)．(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0. 抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，顶点坐标为(h ，k)．2．保持y ＝ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k)处，二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，当y ＝0时，就变成了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标． 方法归纳 一、当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出，，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式. 二、当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大;当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式(为常数)配方，转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.例题精讲 例1、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①abc ＞0；②a =b ；③a =4c ﹣4；④方程21ax bx c ++=有两个相等的实数根，其中正确的结论是．（只填序号即可）．故答案为：③④．例2、已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是_____________． 答案为(1，4)例3、已知点A(4，y 1)，B( ，y 2)，C(－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是．答案为y 3>y 1>y 2.例4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②2a ＋b>0；③y 随x 的增大而增大；④a －b ＋c<0，其中正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：由二次函数的图象可知a<0，c>0，ac<0，故①错误；∵0<－<1，∴2a ＋b<0，故②错误；在对称轴左边y 随x 的增大而增大，在对称轴右边y 随x 的增大而减小，故③错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c<0，故④正确，故选D .专题练习1. 抛物线 (是常数)的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A2. 如图，直线y ＝－34 x ＋c 与x 轴交于(3，0)，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－32 x 2＋bx ＋c 经过点A ，B.求点B 的坐标和抛物线的解析式；∵直线y ＝－34 x ＋c 过点A(3，0)， ∴－34×3＋c ＝0，解得c ＝2，[来源:学科网] ∴直线AB 的解析式为y ＝－34 x ＋2， ∴B(0，2)．∵抛物线过点A(3，0)，B(0，2)，3. 将抛物线22x y =向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A.5)3(22--=x y B ．5)3(22++=x yC ．5)3(22+-=x yD ．5)3(22-+=x y答案：A4. 对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( ) A.对称轴是直线，最小值是2 B.对称轴是直线，最大值是2 C.对称轴是直线，最小值是2 D.对称轴是直线，最大值是2 解析：，抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线当时，有最大值 2.故选B.5. 对于二次函数，下列说法正确的是( )[来源:] A.当时，随的增大而增大 B.当时，有最大值-3C.图象的顶点坐标为(-2, -7)D.图象与轴有两个交点。
中考数学二轮专题复习——二次函数(Word版含简答)
二次函数一、选择题（共15题）1.将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A.B. C.D.2.抛物线的顶点坐标是（ ） A.（2，） B.（，3） C.（2，3） D.（，）3.已知A （﹣1，y 1），B y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣b （a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是______.A.y 1＜y 2＜y 3B.y 2＜y 3＜y 1C.y 3＜y 1＜y 2D.y 2＜y 1＜y 34.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ （A. y 1=B.22 y x (x 1)=-+C.21 y x 3x 12=-++D.21 y x 2x=+- 5.在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为()0,4，()3,4，若抛物线()223y a x =-+与线段MN 有且只有一个交点，则a 的值可以是（ ） A.16 B.12 C.1 D.326.抛物线2(1)(3)y x x =-+的对称轴是（ ）A.直线x=－1B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=37.如图，是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =，下列结论正确的是（ ）A.0abc >B.若1228,,,33y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y <C.420a b c ++<D.20a b +=8.二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，对称轴是直线x ＝﹣1.5，与x 轴的一个交点在(﹣4，0)和(﹣3，0)之间，有以下结论：（abc ＞0；（b 2﹣4ac ＞0；（3a ﹣b ＝0；（4b +3c ＜0.其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.49.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：（abc ＜0；（4ac ﹣b 2＜0；（9a ﹣3b+c ＝0；（a ﹣b≥m （am+b ）（m 为实数），其中错误结论的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知点（﹣2（y 1（（（（5.4（y 2（（（1.5（y 3）在抛物线y=2x 2（8x+m 2的图象上，则y 1（y 2（y 3大小关系是（ ）A.y 2（y 1（y 3B.y 2（y 3（y 1C.y 1（y 2（y 3D.y 3（y 2（y 111.已知抛物线()()()12121y x x x x x x =--+<，抛物线与x 轴交于(,0)m ，(,0)n 两点()m n <，则m ，n ，1x ，2x 的大小关系是（ ）A.12x m n x <<<B.12m x x n <<<C.12m x n x <<<D.12x m x n <<<12.已知抛物线2y ax bx c =++（0a >）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）A.只能是x=﹣1B.可能是y 轴C.在直线x=2的左侧D.在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧13.抛物线y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则下列结论：（abc（0（（3a+c=0（（当y（0时，﹣3（x（1（（b 2（4ac（（当y=3时，x 只能等于0.其中正确结论的个数为（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个14.已知二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）（abc（0（（a+c（0（（2a+b=0（（关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=（1（x 2=3（b 2（4acA.（（（B.（（（（C.（（（D.（（（15.如图，已知函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象与x 轴交于()1A x ,0及()2B x ,0两点，与y 轴交于点()C 0,3.5，对称轴为直线x 2=，且12x 1-<<-，则下列结论中错误的是( )A.4a b 0+=B.2b 4ac 0->C.方程2ax bx c 3++=有两个不相等的实数根D.26x 7<<二、综合题（共10题）16.二次函数y= 2ax +bx+c 的图象如图所示，其对称轴与x 轴交于点（-1（0），图象上有三个点分别为（2（1y （（（-3（ 2y （（（0（ 3y ），则 1y （ 2y （ 3y 的大小关系是________（用“（”“（”或“=”连接）.17.将二次函数2y x 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为______. 18.地物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当0y >时，x 的取值范围是______.19.已知函数245y x x =+-，当30x -≤≤时，此函数的最大值是____________，最小值是______________. 20.如图所示，设长方体底面是边长为xcm 的正方形，高为20cm ，这个长方体的表面积S =________，它是x 的________函数；这个长方体的体积V =________，它是x 的________函数.21.如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场ABCD ，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙MN ，墙MN 可利用的长度为24米，另外三边用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）. 若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边长AB 为多少米？该矩形养兔场ABCD 的面积有最大值吗？若有最大值，请求出面积最大时AB 的长度；若没有最大值，请说明理由.22.已知二次函数y=ax 2-4x+c 的图象过点(-1, 0)和点(2,-9).求该二次函数的解析式并写出其对称轴；已知点P(2 , -2),连结OP , 在x 轴上找一点M,使（OPM 是等腰三角形,请直接写出点M 的坐标(不写求解过程). 23.如图，直线y ＝﹣12x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点B ，并且顶点D 的坐标为（﹣2，﹣1）.（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB 的另一个交点为F ，点C 是线段BF 的中点，过点C 作BF 的垂线交抛物线于点P ，Q ，求线段PQ 的长度；（3）在（2）的条件下，点M 是直线AB 上一点，点N 是线段PQ 的中点，若PQ ＝2MN ，直接写出点M 的坐标.24.如图，已知一次函数122y x =+的图像与x 轴交于点A ，与二次函数的图像交于y 轴上的一点B ，另一交点为D ，二次函数图像的顶点C 在x 轴的正半轴上，且OC=2.（1）求二次函数的表达式；（2）设P 为x 轴上的一个动点，当PBD △为直角三角形，且Rt PBD 面积最小时，求点P 的坐标；（3）当02x ≤≤时，抛物线的一段BC 上是否存在一点Q ，使点Q 到直线AD 求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.25.如图，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE OF=.（1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）（2）若矩形ABCD的周长为20，求四边形AEDF的面积的最大值；=，且存在点E，使四边形AEDF能成为一个矩形，求BC的取值范围.（3）若AB m参考答案1.A2.D3.A4.C5.B6.A7.D8.D9.A10.A11.A12.D13.C14.B15.D16.3y ＜2y ＜1y .17.()212y x =++18.1x <-或3x >19.-5 -920.2280x x + 二次 220x 二次21.（1）15米 （2）有，1322.(1) y=x 2-4x -5，x=2;（2）M 1（4，0）；M 2（-0）M 3（0）；M 4（2，0）. 23.（1）y ＝12x 2+2x +1；（2）；（3）M （52，﹣14）或（﹣152，194） 24.（1）21222y x x =-+；（2）(1,0)P ；（3）存在，Q25.（1）当点E 运动到BC 的中点时，四边形AEDF 是菱形；（2）25；（3）BC ≥2m。
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5
②当 G 在 BC 上时，如图 4，tan∠C= BD = GH = 4 =2，∴GH=2HC，∴4﹣ 1 t=2（6﹣ 3 t），t= 16 ，当 8 ＜t≤16
DC HC 2
2
2
53
5
时，如图 5，S△BCG=S△BDC﹣S 梯形 BDHG﹣S△GHC，4= 1 ×4×2﹣ 1 （4﹣ 1 t+4）（ 3 t﹣4）﹣ 1 ×（4- 1 t）（6- 3 t），
解析：（1） y = − 1 x2 + 4 x + 4 33
（2）如图 1，由题意得：AE= 2 t，∵A（0，4），B（4，4），∴AB⊥y 轴，且 AB∥x 轴，∵OA=OD=4，∴△AOD
是等腰直角三角形，∴∠ADO=∠BAD=45°，∴△AFE 是等腰直角三角形，∴AF=EF=t，∵△EFG 是等腰直角三角
形，∴G（t+ 1 t，4﹣ 1 t），即：点 G（ 3 t，4﹣ 1 t），将点 G（ 3 t，4﹣ 1 t）代入到抛物线得： 4﹣
2
2
2222来自1 t= − 1 ( 3 t)2 + 4 × 3 t + 4 ，解得：t1=0（舍），t2= 10 ．
2 32 3 2
3
答：当 t= 10 时，点 G 落在抛物线上； 3
二次函数的综合专题
知识归纳
二次函数与一元二次方程的关系 两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 ⇔ △=b2-4ac
＞0。
(2)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(
，0) ⇔ 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两
个相等实根，
⇔ b2 − 4ac = 0
(3)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点，一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 ⇔ △=b2-4ac＜0.
方法归纳 1、当数学问题中的条件、结论不明确或题目中含参数或图形不确定是时，需要进行分类讨论。分类讨论要按统一 标准 ，做到不重复不遗漏。 2、对于两个函数交点的问题，一般要转化为方程来求解 ，因为两个函数图象交点的坐标一定适合两个函数解析式， 只有将点的坐标代入函数解析式再利用等量代换转化为一元二次方程求解即可 3、解是否存在某点问题时，一般先假设符合条件的点存在，并列出解析式，如果能求出结果，则点存在，反之则 不存在。 4、利用二次函数解决实际问题时，一般要先通过分析已知的数量关系，确定二次函数的解析式，建立函数模型然 后通过计算函数值或代入函数值得到关于自变量的方程求解得到实际问题的答案。
2
2
2
2
2
2
2
t= 8 （不在此范围内，不符合题意）； 5
③当 E 与 D 重合时，F 与 B 重合，如图 6，t= 4 2 =4，∴G（6，2），∴AG= 62 + 22 = 2 10 ，∴S△BCG=S 梯形 BDCG 2
﹣S△BDC= 1 ×2×（4+2）﹣ 1 ×2×4=2，∴当 t＞4 时，如图 7，由题意得：DE=t﹣4，∴OE=t﹣4+4=t，∴
2
2
OH=OE+EH=t+2，EH=2，GM=GH=2，BM=t+2﹣4=t﹣2，CH=t+2﹣6=t﹣4，过 G 作 MH⊥x 轴，交 x 轴于 H，交直
线 AB 于 M，∴S△BGC=S 梯形 BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，4= 1 （t﹣4+t﹣2）×4﹣ 1 ×2×（t﹣2）﹣ 1 ×2×（t﹣4），t=5，
2
2
2
当 t=5 时，点 G 的运动路径分为两部分组成：
i）点 G 从 A 运动到 D 时，运动路径为：如图 6 中的 AG 长，即为 2 10 ；
ii）点 G 从 D 点继续在射线 DC 上运动 1 秒时，路径为 1；
所以当 t=5 时，此时点 G 运动的路径长度为1+ 2 10 ．学.科.网
综上所述：当 t1= 8 秒，此时路径长度为 4 10 ，当 t2=5 秒，此时路径长度为1+ 2 10 ．
5
5
例2、二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）
A．a ＞b＞c
B．一次函数y=ax +c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0
答案：D
例 3、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球
（3）如图 2，连接 BD，当 G 在 BD 上时， 3 t=4，t= 8 ，分三种情况讨论：
2
3
①当 0≤t≤ 8 时，如图 3，过 G 作 GH⊥x 轴于 H，延长 HG 交 AB 于 M，则 GM⊥AB，∵B（4，4），D（4，0）， 3
∴BD⊥x 轴，∴S△BCG=S 梯形 GHDB+S△BDC﹣S△GHC，4= 1 （4﹣ 1 t+4）（4﹣ 3 t）+ 1 ×4×（6﹣4）﹣ 1 （6﹣ 3 t）（4
2
2
22
2
2
﹣
1
t），4=
5
t，解得：t= 8
，∴AM= 3
t
=
3
×
8
12
=
，GM=
1
t=
1
×8
=
4
，在
Rt△AGM
中，由勾股定理得：
2
2
5
2 2 55
2 2 55
AG=
AM 2 + GM 2 =
(12)2 + ( 4)2
4
=
10 ，∴当 t= 8 时，此时点 G 运动的路径长为 4
10 ；
55
5
5
例题精讲
例 1、如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 交 y 轴于点 A，并经过 B（4，4）和 C（6，0）两点，点 D 的坐标为（4，0），
连接 AD，BC，点 E 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 AD 向点 D 运动，到达点 D 后，以每秒 1 个
单位长度的速度沿射线 DC 运动，设点 E 的运动时间为 t 秒，过点 E 作 AB 的垂线 EF 交直线 AB 于点 F，以线段 EF 为斜边向右作等腰直角△EFG． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 G 落在第一象限内的抛物线上时，求出 t 的值； （3）设点 E 从点 A 出发时，点 E，F，G 都与点 A 重合，点 E 在运动过程中，当△BCG 的面积为 4 时，直接写出 相应的 t 值，并直接写出点 G 从出发到此时所经过的路径长．