浙江省台州市临海市第六中学高中数学必修二导学案§411圆的标准方程
高中数学必修二导学案 圆的标准方程
必修二圆的标准方程【学习目标】1、理解圆的定义，能正确推导圆的标准方程2、会求圆的标准方程，了解圆的标准方程的简单应用【重点和难点】教学重、难点：理解圆的标准方程，并求圆的标准方程。
【使用说明及学法指导】1.先预习课本P118-P120内容，然后开始做导学案。
2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。
预习案一．问题导学1.圆的标准方程有什么几何意义？二．知识梳理1、由画圆的过程您能回忆起已学过的圆的定义是什么？圆的定义：_____________________ 其中定点叫______ ，定长叫____ 。
2、圆心在 A（a,b）,半径为 r 的圆的标准方程为_____________圆心在原点，半径为 r 的圆的标准方程为______________________三.预习自测1、写出下列圆的标准方程（1）圆心为 A（-2，-3）半径为 5 （2）圆心为（-3，4）半径为 32、求下列圆的圆心，坐标与半径（1）x2+y2=1 （2）(x+1)2 +(y+2)2 =2 （3）x 2+y2 -2x=0 （4）x2 +y2 -2x+4y+1=03、已知ΔAOB 的顶点坐标分别是 A（4，0），B（0，3），O（0，0），求ΔAOB 外接圆的方程四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1.写出圆心为 A（2，-3）半径为 3 的圆的标准方程，并判断点 M1（4，-1），M2（-1，-3），M3（0，0）是在圆上、圆外、还是会圆内？探究2.平面直角坐标系中有A（0,1）,B（2,1），C（3，4），,D（-1,2）四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？探究3.已知圆心为 C 的圆经过点 A （1，1） B （2，-2） 且圆心 C 在直线l ： x-y+1=0 上，求圆心为C 的圆的标准方程。
小结：通过三个探究，你能归纳出求圆的方程的基本思路有哪些吗？训练案一、课堂训练与检测1、已知两点 P 1（4，9） P 2（6，3） ，求以线段 P 1P 2 为直径的圆的方程，并判断点 M （6，9）在圆上、在圆内、还是在圆外？2、已知圆1)1(1221=-++y x C ）：（，圆12C C 与关于直线x-y-1=0对称，求2C 的方程3、求以点C （2，-1）为圆心，截直线x+y+1=0所得的弦长为22的圆的方程。
高一数学必修2第四章导学案课题
课题：§4.1.1圆的标准方程编写:高一数学组审核: 时间:2014年元月一、【学习目标】1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
2.通过本节的学习，由问题情景入手，我们要学会分析问题的方法；通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。
【重点难点】重点：圆的标准方程的求法及其应用。
难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择合适的坐标系解决与圆有关的实际问题。
二、【问题导学】1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是2.圆定义3.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？4.圆心为，半径为的圆的标准方程为 . 特别的：若圆心为坐标原点，这时，则圆的方程是探究：确定圆的标准方程的基本要素是三、问题探究：1. 判断下列方程是否为圆的方程？如果是，写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）x2 + (y + 3)2 = 2；（2）(x + 2)2 + (y– 1)2 = a2 (a≠0)(3)x2+(y+3)2=0 （4）(x+a)2+y2=a22、写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是6 (2) 经过点P(6,3),圆心为C(2,-2)四、【合作、探究、展示】例1:写出圆心为，半径长为 5 的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.【规律方法总结】点M(x0,y)与的关系的判断方法：⑴，点在；⑵，点在圆上；⑶，点在圆内.例 2: 三个顶点的坐标是，求它的外接圆的方程.【规律方法总结】_________________________________________________例３：已知圆C 经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程.【规律方法总结】_________________________________________________五、课堂练习：求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．六、【达标训练】1. 已知，则以为直径的圆的方程（）.A． B．C． D．2.点与圆的的位置关系是A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定3.圆心在直线上的圆 C 与 y 轴交于两点，则圆C 的方程为（）A． B．C． D．4.圆关于原点对称的圆的方程5.过点向圆所引的切线方程6. 已知圆经过点，圆心在点的圆的标准方程.7.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.七．本节小结课题：§4.1.2 圆的一般方程编写:高一数学组审核: 时间:2014年元月一、【学习目标】1.理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法.【重点难点】教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.二、【问题导学】１．圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程是_______________________.２．将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得__________________３．能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?4、新知识：问题1．方程表示什么图形？方程表示什么图形？问题2．方程在什么条件下表示圆？结论：方程表示的轨迹：（1）当_____________时，方程表示以为圆心，为半径的圆（2）当_____________时，方程只有实数解，即只表示一个点（3）______________________时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程表示的曲线不一定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，形如的方程称为圆的一般方程。
数学必修2导学案4.1.1圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程一、学习目标知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
高中数学必修二第四章 圆与方程导学案
问题4如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？
问题5用坐标表示点M适合的条件并化简将得到什么等式？
问题6如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心坐标为A(a，b)，半径为r的圆的方程？
【知识要点】
1．圆的定义：在平面内，到的距离等于的点的集合叫做圆．确定一个圆的基本要素是和．
2．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是，当圆的圆心在坐标原点，圆的半径为r时，则圆的标准方程是.
3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外⇔;点P在圆上⇔；点P在圆内⇔.
【问题探究】
2．点与圆的位置关系的判定：（1）利用点到圆心距离d与圆半径r比较．（2）利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解.
【课后作业】
§4.1.2圆的一般方程
【学习要求】
跟踪训练2已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
小结本例充分利用了圆的几何性质得到圆心所在的位置是两条直线的交点，然后利用代数的方法通过解方程组求出了圆心坐标，最后利用两点间的距离公式求出了半径．这种思考的方法称为几何法，有些与圆有关的问题充分利用几何性质求解往往比较简便．本例也可用待定系数法求圆的标准方程．
人教版高中数学必修二第4章第1节圆的标准方程导学案
第四章第一节圆的标准方程三维目标1．掌握圆的标准方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.初步体会求点的轨迹方程的思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1.在平面直角坐标系中，圆的定义是什么？确定它的要素有哪些？问题2.如果一个圆以点P（a,b）为圆心，r为半径，你能否求出表示圆的方程？如果圆心在原点，方程又该如何？确定圆的标准方程的要素有哪些？.【学做思2】1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M（5，-7），N（2，-1），P(5，2)是否在这个圆上。
【思考】点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？*2.已知圆的方程过点A(-4,0),B(0,2)和原点，求圆的标准方程。
【思考】从几何角度思考，该题还可以怎样解？3.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。
【思考】比较两个例题，你能总结出求圆的标准方程的两种方法吗？达标检测*1.方程x+1=1-y2表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．半个圆2.圆心在C(8，-3),且经过点M(5，1)的圆标准方程是_____________；3.若A(4,9),B(6,3)，则以A、B两点为直径的圆的标准方程是_____________；4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则求圆C2的标准方程。
5.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程。
高中数学必修二41圆的方程412圆的一般方程导学案
4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，把握求点的轨迹方程的思想方法。
二、课前导学：学问回忆：1、 圆的圆心为(1,2)C ，半径为2 ，那么圆的标准方程为222(1)(2)4x y -+-= ，将此方程绽开得222410x y x y +--+=问题导入：问题1、方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222450x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？〔1〕表示以)2,1(-为圆心，2为半径的圆；(2)表示点〔1，2〕〔3〕不表示任何图形问题2、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ （1） 配方44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （2） 当0422>-+F E D 时，方程表示 以(,)22D E --为圆心，2422F E D -+为半径的圆 （3） 当0422=-+F E D 时，方程表示 一个点(,)22D E -- （4） 当0422<-+F E D 时，方程表示 不表示任何图形 问题3、圆的一般方程的定义：当2240D E F +->时， 220 x y Dx Ey F ++++= 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，在什么条件下表示圆的方程？220040A C B D E AF =≠=+->，，练习2、圆22210240x y x y +-+-=的圆心为：___)51(-，_____，半径为：___25_____。
三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：以下二元二次方程能否表示圆？假设能表示圆，求出其圆心和半径。
高中数学必修二导学案：第四章第一节圆的一般方程
第四章第一节圆的一般方程三维目标1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；2. 会用待定系数法求圆的一般方程；3. 会用坐标法求点的轨迹方程；4．体会代入消元的思想。
___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么?(1)222210x y x y +-++=； (2) 054222=++-+y x y x ；(3) 064222=+-++y x y x问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是多少？【试试】1. 圆的一般方程： （ ）圆心坐标（ ， ），半径为 .【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k>1B.k<1C.1≥kD.k 1≤【学做思2】*1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=．（1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程．【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
（学生小组讨论展示解题思路）【小结】求轨迹方程的一般步骤【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。
3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆．(1)求m 的取值范围；(2)圆心的轨迹方程.达标检测*1. 当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为( )(A) 04222=+-+y x y x (B) 04222=+++y x y x(C) 04222=-++y x y x (D) 04222=--+y x y x2. 判断下列方程分别表示什么图形?(1) 022=+y x (2) 064222=-+-+y x y x3. 求圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3)的圆的方程.4. 经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点的轨迹方程.5.已知点A(－1,1)，B(3,3)是⊙C的一条直径的两个端点，又点M在⊙C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程．。
新人教A版必修2高中数学学案教案： §4.1.1 圆的标准方程
"数学§4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2 "本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):4.1.1 圆的标准方程1课时4.1.2 圆的一般方程1课时4.2.1 直线与圆的位置关系2课时4.2.2 圆与圆的位置关系2课时4.3.1 空间直角坐标系1课时4.3.2 空间两点间的距离公式1课时本章复习1课时§4.1 圆的方程§4.1.1 圆的标准方程一、教材分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-, |CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.（三）应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m).图2解:建立坐标系如图,圆心在y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52.设点P 2(-2,y 0),由题意y 0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52,解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2+y 2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程. 活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(-+-b a =r+1, ①由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-•-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36.点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47). 又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-, 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.（四）知能训练课本本节练习1、2.（一）拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.（六）课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.（七）作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第2、3题.。
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编写：临海六中数学组
一、学习目标
1．掌握圆的定义及标准方程；
2．能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
二、重点：掌握圆的标准方程及其应用
难点：圆的标准方程的应用
三、预习导引
1．圆的定义：在平面内，到的距离等于的点的集合叫做圆．确定一个圆的基本要素是和．
2．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是，当圆的圆心在坐标原点，圆的半径为r时，则圆的标准方程是.
3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外;点P在圆上；点P 在圆内.
四、精讲点拨
[问题情境]
在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题．
探究点一圆的标准方程
问题1圆是怎样定义的？
问题2圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题3设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r＞0)．设M(x，y)
为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是什么？
问题4如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？
问题5用坐标表示点M适合的条件并化简将得到什么等式？
问题6如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心坐标为A(a，b)，半径为r的圆的方程？
小结方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2就是圆心为A(a，b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
问题7点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？
探究点二圆的标准方程的应用
问题从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？
五、典题训练
例1写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1 (5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上．
跟踪训练1已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a) 2＝2a2的内部，求a的取值范围．
例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)．求它的外接圆的方程．
小结本例是用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方程，把已知条件代入方程，得到关于a，b，r的三个方程组成的方程组，解方程组求出a，b，r，再将a，b，r 的值代入标准方程．
跟踪训练2已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
小结本例充分利用了圆的几何性质得到圆心所在的位置是两条直线的交点，然后利用代数的方法通过解方程组求出了圆心坐标，最后利用两点间的距离公式求出了半径．这种思考的方法称为几何法，有些与圆有关的问题充分利用几何性质求解往往比较简便．本例也可用待定系数法求圆的标准方程．
跟踪训练3用待定系数法求例3中的圆的标准方程．
六、归纳小结
1．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．
2．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解.
七、当堂检测
1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．无法判断3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
八、作业布置
1.课本P124 A
2.(1)、3、4 B 1、2、3
2.校本作业§4.1.1 圆的标准方程。