球面几何及其应用(II)

球II ）430062 湖北大学数学与计算机科学学院 李光汉４ 球面几何和欧拉定理由于同半径的球面都是相似的，在不影响研究的具体问题时，我们通常取单位球面作为研究平台。

本节我们介绍球面几何定理在欧拉定理中的应用，而且所涉及的球面都是单位球面。

4.1 球面多边形的内角和在第一讲中我们已经知道，单位球面上，任意二点A 、B 的距离是连接这两点的不超过π的大圆弧AB 的长。

因此我们可以定义球面凸n 边形n A A A A 321是指1+i i A A (1,2,1-=n i )和1A A n 均由长度不超过π的大圆弧连接而成的图形。

特别地，球面三角形ABC ∆是指AB 、BC 、CA 分别由长度不超过π的大圆弧AB 、BC 和CA 连接而成的图形。

球面三角形的内角是指构成该角的两条大圆弧的切线的夹角。

由第一讲命题2.2我们知道，球面三角形的内角和大于π，即引理4.1 在单位球面上任给球面三角形ABC ∆，其面积为ABC S ∆，则三角形的三内角和为ABC S ∆+π，即ABC S C B A ∆+=∠+∠+∠π。

球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。

推论4.２ 在单位球面上任给球面凸n 边形n A A A A 321，其面积为S ，则该n 边形的n 个内角和为S n +-π)2(，即S n A A A n +-=∠++∠+∠π)2(21 。

(#) 证明(用归纳法) 当3=n 时，它就是引理1.1，球面三角形的内角和定理。

假设推论４.2对于单位球面上的球面凸n 边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸1+n 边形，设之为1321+n n A A A A A ，其面积为121+n A AA S。

用大圆弧把1A 、3A 连接起来，并使得31A A 的弧长不超过π。

由于多边形是凸的，这时大圆弧31A A 一定位于凸多边形的内部。

于是原来的球面凸1+n 边形1321+n n A A A A A 被分成球面三角形321A A A ∆和球面凸n 边形131+n n A A A A 。

设球面三角形321A A A ∆的顶点1A 所对应的三角形内角记为11A ∠,顶点3A 所对应的内角记为31A ∠，而球面凸n 边形131+n n A A A A 的顶点1A 所对应的球面多边形的内角记为12A ∠，顶点3A 所对应的球面多边形的内角记为32A ∠。

由前面的做法显然有11211A A A ∠=∠+∠， 33231A A A ∠=∠+∠，其面积有下列关系121131321++=+∆n n A A A A A A A AA S S S 。

故由归纳假设知.}2)1[(])2[()()()()()(1211431321143212312111432312121121+++-+=+-++=∠++∠+∠+∠++∠∠+∠=∠++∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠++∠+∠∆++n n A A A A A A A A A A n n nS n S n S A A A A A A A A A A A A A A A A A πππ 此即我们证明了推论4.2成立。

4.2 欧拉定理的证明首先我们来定义空间中的凸(胞)腔.定义 4.1 空间中的一个凸二维(胞)腔是指平面上的一个凸集, 它的边界含有有限多条线段,称为棱, 这些线段相会于点，称为顶点。

一个凸三维（胞）腔是指空间中的一个凸集，它的边界是有限多个二维（胞）腔的集合，这些二维(胞)腔称为面。

它所有二维（胞）腔的棱和顶点也称为该三维（胞）腔的棱和顶点。

一个凸三维（胞）腔的边界顶点数用e表示，棱数用k 表示，二维（胞）腔数，即面数用f 表示。

于是我们有下面关于三维（胞）腔的顶点数、棱数和面数的欧拉公式命题4.3（欧拉定理） 三维（胞）腔的顶点数e ，棱数k 和面数f 有下列关系： 2=+-k f e 。

（$）证明 设P 是所给的凸三维(胞)腔的边界,显然它由f 个平面凸多边形构成, 而每个凸多边形都是一个二维(胞)腔(见定义4.1)。

设Q 是P 内一点，即它不在所给凸三维（胞）腔的边界上，把边界P 投影到以Q 为中心的单位球面)1(2S 上。

由于P 是凸的， 这是可能的。

实际上，可以取P 的一个二维（胞）腔的一条棱，该棱和Q 点决定一个平面， 平面和单位球面)1(2S 的交线即为该棱在单位球面上的投影。

通过此法每条棱在单位球面上都有投影，从而三维（胞）腔的整个边界P 都投影到了单位球面上。

根据上面的做法及凸集理论，球面上每点刚好被覆盖一次，这样就得到了单位球面上由球面凸多边形构成的网络'P 。

这时'P 是由f 个球面凸多边形构成的。

而且每个球面凸多边形都是所给的原凸三维（胞）腔的边界P 的二维（胞）腔在单位球面上的投影。

因此单位球面上的网络'P 所含的球面凸多边形的个数、边（或棱）数和顶点数分别与P 所含的平面凸多边形的个数（即三维胞腔的面数）、边（或棱）数和顶点数相同。

用),2,1(f j P j =表示第j 个球面凸多边形。

对每个球面凸多边形j P ，由球面凸多边形的内角和定理（#）有j j jj n i jiS n Sn j+-=+-=∑=πππα2)2(1。

（%）其中j n 为该球面凸多边形的边数, j S 为该球面凸多边形的面积。

对于固定的j ，ji α是该球面凸多边形的j n 个内角。

现对一切球面凸多边形j P 求和，则因为每个顶点处的诸角和是π2（球面上一点处，过该点的大圆弧的切线在一个平面上），由于共有e 个顶点，从而所有多边形的内角和应为e π2，即e ej n i jijπα211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑==。

由于每条棱为两个多边形共有，故,221k n n n f =+++ 即∑==fj j k n 12ππ。

显然又有∑==fj f 122ππ且 =∑=fj jS1整个单位球面的面积π4=。

于是（%）式对j 求和有ππππ4222+-=f k e 。

整理即得（$）式，从而完成了欧拉定理的证明。

4.3 空间中正多面形的讨论此小节我们利用欧拉定理($)式讨论空间中的正多面形的个数问题。

给定空间中一个任意的凸多面形，它是一个凸三维(胞)腔的边界，设其面数、边（棱）数和顶点数分别为f 、k 和e 。

设n f 为该多面形上具有n 边（棱）凸二维(胞)腔的个数，也就是边（棱）数为n 的面的个数。

显然3≥n 且∑≥=3n n f f 。

（1）由于每边属于两个相邻的多边形，所以 ∑≥=32n nnfk （即所有多边形的边数和）。

（2）设m e 为多边形上有m 条棱相会的顶点的个数。

由于空间中的一个多面形至少有4个面，故过每个顶点至少有3条棱，即有∑≥=3m mee 。

（3）由于每条棱有两个顶点，于是有∑≥=32m mmek （即汇聚于所有顶点的边数的总和）。

（4）把（1）、（2）和（3）代入欧拉定理（$）式得 ∑∑∑≥≥≥=-+333422n nm n n m nff e 。

（5）把（1）、（3）和（4）代入欧拉定理（$）式得∑∑∑≥≥≥=-+333422m mm n n m mef e 。

（6）上述两式相加得∑∑∑∑≥≥≥≥+=-+3333844m mn nm n nmmenffe,或者08)4()4(33=+-+-∑∑≥≥m n nmfn em 。

把求和中的3=m 、4和3=n 、4写成单项并合并有∑∑≥≥-+-+=+5533)4()4(8m mn nem fn f e 。

由于上式右端全为非负的数，故有推论4.4 每一个凸多面形(或多面体)或者有三角形的面，或者有三棱形的顶点，也可能兼有二者。

以2乘以（5）式，再与（6）式相加得∑∑∑∑≥≥≥≥+=-+333321266m mn nm n nmmenffe，或者∑∑≥≥-+-=-33)62()6(12m n nmfn em 。

移项使方程两边只含有正项得∑∑≥≥-+-+=++73543)6()62(1223m mn nem fn e e e 。

于是1223543≥++e e e 。

与此类似也有1223543≥++f f f 。

由这两个不等式可以得到空间中的凸多面形有如下限止：推论4.5 (i) 每个凸多面形必含有三棱、或四棱或五棱的顶点。

(ii) 每个凸多面形必有三角形、四角形或五角形的面。

正因为一个凸多面形有上述限止，空间中的正多面形必然不会有任意多的边数。

下面我们就利用欧拉定理来讨论空间中的正多面形的个数问题。

设一个正多面形的各面有相同的边数n ，它的各顶点有相同的棱数m ，于是m e e =， n f f =。

此时（2）、（4）式和欧拉定理($)式变为nf me k ==2 和 2=+-f k e 。

已知m 、n 由上式便可解得mnn m n e -+=)(24,mnn m mn k -+=)(22,mnn m m f -+=)(24。

故当3=m 时，分母都是n -6，因此53≤≤n 。

同样，当3=n 时，53≤≤m 。

我们我们把上述表格用一个定理来表述即为命题4.6 空间中只有五种正多面形，即正四面形、正六面形、正八面形、正十二面形和正二十面形。

５ 球面坐标系与导航问题本节我们给出球面几何在飞行导航系统中的一个应用。

在民航飞行中常常会遇到这样一个问题：同一个点的坐标，使用我国民航总局制定的航图查出来的坐标值，与使用杰普逊公司的航图查出来的往往不是完全相同，有着或多或少的差别。

比如，在一个机场，当输入停机位臵的全球定位系统（Global Positioning System - GPS ）的坐标时，飞机明明停在跑道的南侧停机坪上，但是在中国飞行图（Ｆlying Maps of China – FMC ）上却显示飞机到了跑道的北侧。

而实际跑道北侧根本就没有飞机的影子。

这是什么原因造成的呢？如下我们可以看到，由于使用了不同的球面坐标系，才导致了上述差异。

为了说明上述原因，我们首先了解球面坐标系。

在飞行中所涉及的有地理坐标系（即通常的经纬度坐标系，也称球面坐标系）和平面坐标系。

经纬度坐标系可以确定地球上任何一点的位臵。

如果我们将地球看作一个椭球体，经纬网线就是加在这个椭球表面的地理坐标参照系格网。

穿过椭球（或地球）自转的子午面与椭球表面的交线称为子午线或经线，其中穿过英国格林尼治天文台的子午线称为起始子午线。

通过椭球旋转中心且与旋转轴垂直的赤道面与椭球（或地球）的交线称为赤道，其他与旋转轴垂直但不通过旋转中心的平面与椭球的交线称为纬线。

经度是任一子午面与起始子午面的夹角，从起始子午面向东为东经，向西为西经。

从椭球（或地球）上某点A 做椭球的切平面，过A 点做垂直于切平面的法线（显然这个法线并不过椭球或地球的中心），法线与赤道面的夹角称为纬度，赤道向北称为北纬，向南称为南纬。