中考数学分类解析 专题 二次函数的应用(几何问题)
二次函数综合专题分类解析
二次函数综合专题分类解析
二次函数与各种几何问题的结合是代数几何综合的常见考察，每年中考都会有类似的题型出现。
数形结合在此类问题中大放光彩，成为一个必不可少的解题思想。
今天来盘点一下二次函数抛物线与几何结合在一起有哪些常见的题型。
一、二次函数与面积
1.纵割法（铅锤法）
2.等积变形
3.倍分面积问题
二、二次函数与角度
1.角度与等腰三角形
2.角度与全等三角形
③45°角度构造
三、二次函数与特殊图形
1.二次函数与等腰三角形
2.二次函数与直角三角形
3.二次函数与平行四边形
4.二次函数与正方形
四、二次函数与定点
1.与参系数无关
2.用几何条件求定点
3.对称点与定点
五、二次函数与定值
1.等长线段
2.线段之和
3.线段之差
4.线段之积
5.线段之比
六、二次函数与最值问题
1.配方法→建立二函数最值模型
2.化斜为直法
七、抛物线的平行弦问题
1.横坐标之差为定值
2.线段差为定值
3.面积差为定值
八、抛物线的切线问题
666。
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题一、综合题1．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为2640m .（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？2．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？3．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A （-1，0）和点D （5，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.4．如图，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米.（1）求y关于x的函数表达式.（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？6．如图，将直角三角形截出一个矩形PMCN，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点P，M，N分别在AB，AC，BC上，设CN＝x．（1）试用含x的代数式表示PN，并写出x的范围;（2）设矩形PMCN的面积为y，当x为何值时，y取得的最大值是多少?7．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB 边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．8．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中y m．的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为()2（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（12m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否符合题意．9．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8－2x，CF＝x+2，DF＝3x－3．（1）x的取值范围是；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（4）求矩形OFCH的面积S的取值范围．10．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m 的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为2432m的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为m x，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝12S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．12．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长20,6AB cm AD cm==，（1）若点PQ分别从A B、同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，PBQ 的面积为()2y cm ．求PBQ 面积的最大值；（2）若点P 在边AB 上，从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上，从BC 中点出发，沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当点P 运动到AB 中点时，点Q 开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 运动时间为t 秒，PBQ 的面积为2mcm ．求m 与t 的函数关系式．13．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短直角边长n ，且n ＝m ﹣2，大正方形的面积为S.（1）求S 关于m 的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值.14．如图（1）问题提出如图1，在ABCD 中，45A ∠=︒，8AB =，6AD =，E 是AD 的中点，点F 在DC 上且5DF =求四边形ABFE 的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE 按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN ，使点O 、P 、M 、N 分别在边BC 、CD 、AE 、AB 上，且满足22BO AN CP ==，AM OC =.已知五边形ABCDE 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，800m AB =，1200m BC =，600m CD =，900m AE =.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.15．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN 和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD ，已知墙长a 米，AD≤MN ，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）若a=150．求矩形隔离区ABCD 面积的最大值．16．如图，抛物线28y ax bx =++(0)a ≠经过(2,0)A -，(4,0)C 两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t ，过点P 作PM BD ⊥，交BC 于点M ，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ ，边QN 交BC 于点R ，延长NM 交AC 于点E .①当t 为何值时，点N 落在抛物线上；②在点P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ 为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-经过B ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作直线CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ⊥于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ⊥于点Q （点Q 在线段PC 上），BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.18．如图，抛物线2y x bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，P 为y 轴上的动点，连接AP ，以AP 为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN 与△AOP 面积之比为5∶2时，求点P 的坐标；（3）当正方形AMPN 有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P 的坐标.19．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点.（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P P 的对应点为E ，点C 的对应点为F.当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标.20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：设通道的宽为x 米，根据题意得：()()522282640x x --=，解得：34x =（舍去）或6x =，答：通道的宽为6米；（2）解：设月租金上涨a 元，停车场的月租金收入为y 元，根据题意得：()200505a y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，整理，得()2125101255y a =--+，所以，当25a =时，y 有最大值为10125；答：每停车场的月租金收入最多为10125元.【解析】【分析】（1）设通道的宽为x 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．（2）设车位的月租金上涨a 元，则租出的车位数量是（50-5a）个，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式求解即可．2．【答案】（1）解：根据题意，得()303S x x =-，即所求的函数关系式为2330S x x =-+．∵03039x <-≤，∴710x ≤<，即S 与x 的函数关系式为S=-3x 2+30x(7≤x ＜10)；（2）解：当263m S =时，233063x x -+=，解得17x =，23x =（不合题意，舍去）．∴当7m AB =时，围成花圃的面积为263m ．【解析】【分析】（1）先求出()303S x x =-，再求出710x ≤<，最后作答即可；（2）先求出233063x x -+=，再求解即可。
中考重点二次函数的应用
中考重点二次函数的应用二次函数的应用在中考中是一个重点考察的内容。
二次函数是一种常见的数学模型，它可以描述抛物线的形状和变化规律。
掌握二次函数的应用，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的数学思维和问题解决能力。
1. 图像的性质和变化规律：二次函数的标准形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为实数且$a \neq 0$。
当$a>0$时，抛物线开口朝上；当$a<0$时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$，其中$\Delta=b^2-4ac$为判别式，用来确定抛物线与$x$轴的交点个数和位置。
当$\Delta>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$\Delta=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点；当$\Delta<0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
根据顶点坐标和开口方向，可以确定抛物线的图像。
2. 求解问题：二次函数的应用主要涉及到求解实际问题。
比如下面的例题：例题1：一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，从起点开始，经过2小时后到达目的地，求汽车在2小时内行驶的距离。
解析：设汽车行驶的距离为$y$千米，行驶的时间为$x$小时。
根据已知条件，可以建立二次函数模型：$y=80x$。
代入$x=2$，可以得到汽车在2小时内行驶的距离为$y=80\times2=160$千米。
例题2：甲、乙两地的距离为100千米，两辆汽车同时从两地出发，甲地汽车的速度为每小时60千米，乙地汽车的速度为每小时80千米，问多长时间后两辆汽车相遇？解析：设两辆汽车相遇的时间为$x$小时，则甲地汽车行驶的距离为$60x$千米，乙地汽车行驶的距离为$80x$千米。
根据已知条件，可以建立二次函数模型：$60x+80x=100$。
化简得到$140x=100$。
解方程可得$x=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$小时，即两辆汽车在$\frac{5}{7}$小时后相遇。
二次函数在几何问题中的应用解析
二次函数在几何问题中的应用解析二次函数是一种常见的数学函数形式，它在几何问题中扮演了重要的角色。
本文将探讨二次函数在几何问题中的应用，并对其解析进行分析。
1. 抛物线的性质抛物线是二次函数的图像，其标准形式为y = ax² + bx + c。
在几何中，抛物线具有以下性质：- 对称轴：抛物线的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求抛物线的顶点坐标得到。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，可以通过求导数等方法求得。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项的系数决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程求得。
2. 抛物线在几何中的应用抛物线在几何问题中的应用广泛，以下是其中几个典型的应用示例。
2.1 求解最值问题抛物线的顶点即为其最值点，可通过二次函数的最值性质求解几何问题。
例如，在确定水平距离为d的情况下，求抛物线y = ax² + bx + c的最大值或最小值。
我们可以通过求导数找到使得导数为0的x坐标，再代入函数得到对应的y坐标。
2.2 确定几何形状抛物线的开口方向可以用来确定几何形状。
若抛物线开口向上，则形状类似一个U；若开口向下，则形状类似一个倒置的U。
这在建模物体的运动轨迹、桥梁设计等问题中有广泛的应用。
2.3 优化问题二次函数可以被用于解决优化问题。
例如，当我们需要绘制一个围起来面积最大的矩形时，可以通过分析矩形的边长与面积的关系，建立二次函数模型，并通过求解最值问题得到最大面积。
3. 示例分析假设有一块长为L的铁板，要制作一个没有顶盖的长方体盒子，使得盒子的体积最大。
设长方体的底边宽度为x，高度为h，由此可以得到体积函数V(x) = x( L - 2x )h。
我们可以通过建立函数模型并求解最值问题来解决这个几何问题。
对于函数V(x)，我们首先计算其导数V'(x)，然后令导数为0，解得x = L/4。
2023中考数学专题训练：二次函数的实际应用-几何问题
2023中考数学专题训练：二次函数的实际应用-几何问题1．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.2．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为16米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？花圃的面积是多少？3．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2.（1）用x的代数式表示BC的长；（2）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？4．如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏48米，设AB长x 米．（1）若AD为y米，直接写出y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围；（2）AB长为多少米时，这个花园的面积最大，并求出这个最大值．5．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙(墙长为40m)，饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A、B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C.（1）若A（-1，0），B （3，0），C（0，-3）①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；（2）如图2，若直线y=bx+t(t>c)与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）.直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.7．某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为米（请用含x的代数式表示）；（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．8．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式．（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．9．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.（1）求y与x的函数表达式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；（3）若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.10．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）当矩形ABCD空地的面积最大时，利用的墙长是多少m；并求此时的最大面积．11．某社区决定把一块长为50m、宽30m的矩形空地建为居民健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区均为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的四个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）求y与x的函数表达式并求出自变量x的取值范围，（2）求活动区最大面积．12．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.（1）求y关于x的函数表达式．（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．14．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求△P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当△P的半径为1时，若△P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D （m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos△APD的大小．15．如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2．（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？16．如图，抛物线y=ax2- 43x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（-1，0），且抛物线经过点D（2，-2）。
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题8( 附答案)
高，正方形 DEFG 的边 DE 在高 CH 上，F ，G 两点分别在 AC ， AH 上．将正方形
DEFG 以每秒1cm 的速度沿射线 DB 方向匀速运动，当点 G 与点 B 重合时停止运
动．设运动时间为 ts ，正方形 DEFG 与 BHC 重叠部分的面积为 Scm2 ，则能反映 S 与
t 的函数关系的图象（ ）
2．二次函数 y= 2 3x2 的图象如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，
点 B． C 在函数图象上，四边形 OBAC 为菱形，且∠AOB=30 0 ，则点 C 的坐标为（ ）
A．
1 2
,
3
B．
1 2
,
3 2
C．
1,
3 2
D． 1, 3
3．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB 90 ， AB 8cm ，CH 是 AB 边上的
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题 8（附答案）
1．汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式
为 s=-6t2+bt（b 为常数）．已知 t= 1 时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ） 2
A． 15 米 2
B．8 米
C． 75 米 8
D．10 米
的大小变化情况是（ ）.
A．一直减小
B．一直不变
C．先减小后增大
D．先增大后减小
9．在▭ABCD 中，对角线 AC=4，BD=6，P 是线段 BD 上一动点，过 P 作 EF∥AC，与
▱ ABCD 的两边分别交于 E、F．设 BP=x，EF=y，则反映 y 与 x 之间关系的图象是（ ）
A．
B．
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14（附答案）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；（3）若点P在第四象限，连结P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（4）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝1120S△ABC，求m的值；（3）K 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6cm ，动点P 从点C 出发以1cm /s 的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q 从点A 出发以2cm /s 的速度沿AB 匀速运动，当点P 到达点A 时，点P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t （s ）（1）当t ＝3时，线段PQ 的长为 cm ；（2）是否存在某一时刻t ，使点B 在线段PQ 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，以PC 为边，往CB 方向作正方形CPMN ，设四边形CPMN 与Rt △ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC .（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 是直线BC 上方抛物线上的点，若PCB BCO ∠=∠，求出P 点的到y 轴的距离.5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6（a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，且OB ＝3OA ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）如图2，直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点，直线AH ，AG 分别交y 轴负半轴于M ，N 两点，求OM+ON 的值；（3）如图1，点P 在线段DE 上，作等腰△BPQ ，使得PB ＝PQ ，且点Q 落在直线CD 上，若满足条件的点Q 有且只有一个，求点P 的坐标．6．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C 重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.7．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；②若矩形ABCD 是“完美四边形”，且AB ＝4，则BC ＝ ；（2）如图1，“完美四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，AP ＝1，PC ＝5，求另一条对角线BD 的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD 的四个顶点A （﹣3，0）、C （2，0），B 在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，直线BD 的斜率为3，且四边形ABCD 的面积为153，若二次函数y ＝ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．8．如图，抛物线与x 轴相交于点 (3, 0)A -、点 (1, 0)B ，与 y 轴交于点(0, 3)C ，点 D 是抛物线上一动点， 联结 O D 交线段 AC 于点 E ．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求 ACB ∠的正切值；（3）当AOE ∆与ABC ∆相似时，求点 D 的坐标．9．如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．10．如图，批物线2y ax bx c =++经过点()2,0A -，B 两点，对称轴为1x =，与y 轴交于点()0,6C ，点P 是抛物线上一个动点，设点P 的横坐标为()14m m <<.连接BC .（1）求抛物线的函数解析式；（2）当BCP ∆的面积等于92时，求点P 的坐标； 11．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△P AB＝8，请求出此时P点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图a，已知抛物线y=－12x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式.（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC 的形状.并证明你的结论.（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D．（1）求点D的坐标．（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标．（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围．（4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.点P、Q是BC边上两个动点(点Q在点P右边)，PQ＝2cm，点P从点C出发，沿CB向右运动，运动时间为t秒.5s后点Q到达点B，点P、Q停止运动，过点Q作QD⊥BC交AB于点D，连接AP，设△ACP 与△BQD的面积和为S(cm²)，S与t的函数图像如图2所示.(1)图1中BC＝cm，点P运动的速度为cm/s；(2)t为何值时，面积和S最小，并求出最小值；(3)连接PD，以点P为圆心线段PD的长为半径作⊙P，当⊙P与ABC的边相切时，求t的值.16．已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的开口向上．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；（2）试说明抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；（3）将抛物线C1沿（2）所求的两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，①写出抛物线C2的表达式；②当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．17．如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC ＝90°，将△ABC沿着射线AB平移得到△A′B′C′，当点A′与点B重合时停止运动．设平移距离为m，△A′B′C′与△ABO重合部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示．（其中0≤m≤255m2555时，函数的解析式不同）（1）填空：a＝；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t 的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x 轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N 的坐标．（3）过点A 的直线与抛物线交于点F ，当tan ∠FAC ＝12时，求点F 的坐标． （4）过点D 作直线AC 的垂线，交AC 于点H ，交y 轴于点K ，连接CN ，△AHK 沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK 与四边形DGNC 产生重叠，设重叠面积为S ，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S 与t 的函数关系式． 20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，15AC =，20BC =.动点P 以每秒5个单位长度的速度从点A 出发，沿A C B →→的方向向终点C 运动.点P 关于点C 的对称点为D ，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PD 、PQ 为边作PDEQ ，设点P 的运动时间为()t s .（1）当点P 在AC 上运动时，用含t 的代数式表示PQ 的长.（2）当PDEQ 为菱形时，求t 的值.（3）设PDEQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式.（4）作点E 关于直线PQ 的对称点E '，当点E '落在ABC ∆内部时，直接写出t 的取值范围.21．如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D 在AB 边上，EF 在BC 边上，点G 在AC 边上，设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ．（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x 的取值范围_______；（3）若DG ＝2DE ，则矩形DEFG 的面积为_______．27．如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标． （3）点M 是抛物线在第一象限内图像上的任意一点，求当∆BCM 的面积最大时点M 的坐标.28．已知：如图.在△ABC 中.AB =AC =5cm ，BC =6cm .点P 由B 出发，沿BC 方向匀速运动.速度为1cm /s .同时，点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动.速度为1cm /s ，过点P 作PM ⊥BC 交AB 于点M ，过点Q 作QN ⊥BC ，垂足为点N ，连接MQ ，若设运动时间为t (s )(0<t <3)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 是边AB 中点?（2）设四边形PNQM 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形PNQM :S △ABC =4:9?若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使四边形PNQM 为正方形?若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.29．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与x 轴交于A 、B 两点，其中点A （﹣1，0），抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）如图2，直线l 是抛物线的对称轴，点P 是直线l 上一动点，是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC ，点M 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，当△MBC 的面积最大时，求△MBC 的面积的最大值；点N 是线段BC 上的一点，求MN +22BN 的最小值．30．如图在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y ax bx =+与x 轴交于点()10,0A ，点()1,2B 是抛物线上点，点M 为射线OB 上点(不含,O B 两点)，且MH x ⊥轴于点H .(1)求直线OB 及抛物线解析式;(2)如图,过点M 作//MC x 轴,且与抛物线交于,C D 两点(D 位于C 左边),若MC MH =,点Q 为直线BC 上方的抛物线上点,求OBQC 面积的最大值，并求出此时点Q 的坐标;参考答案1．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）当t＝32时，S有最大值278；（4）存在，理由，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）；（3）△P AE的面积S＝12PH×OE＝32（t﹣3﹣t2+2t+3）＝32（﹣t2+3t），即可求解；（4）分∠PEA＝90°、∠P AE＝90°两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4，故t＝4，则点P（4，5）；（3）过点C作y轴的平行线交AE于点H，由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），△P AE 的面积S ＝12PH ×OE ＝32（t ﹣3﹣t 2+2t +3）＝32（﹣t 2+3t ）， 当t ＝32时，S 有最大值278； （4）直线AE 表达式中的k 值为1，则与之垂直的直线表达式中的k 为﹣1．①当∠PEA ＝90°时，直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +b ，经点E 的坐标代入并解得：直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②并解得：x ＝﹣2或3（舍去3），故点P （﹣2，5）；②当∠P AE ＝90°时，同理可得：点P （1，﹣4）；综上，点P 的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）y ＝﹣14x 2+32x +4；（2）m 1＝4或m 2＝223；（3）点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【解析】【分析】（1）结合A （﹣2，0），B （8，0）由两点式可得抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣8），求出点C 坐标，代入即可求出抛物线解析式；（2）点P 在抛物线上，可设P （m ，﹣14m 2+32m +4），结合C 点坐标可得直线PC 的解析式，已知直线与对称轴交点E 的坐标，DE 长可知，根据S △ABC ＝12×AB ×OC 求出其面积，由题中条件可知△CDP 的面积，由三角形面积公式可得m 的值；（3）分类讨论，①若BC 为边，∠CBK ＝90°时，将BC 绕点B 逆时针旋转90°得到BC '，根据AAS 证明△BCO ≌△BC 'E ，依据全等的性质可得点B 点C 的坐标，求出直线BC 的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K 横坐标，由矩形的性质可知x C ﹣x B ＝x H ﹣x K ，C B K H y y y y -=-，结合点B 、C 、D 点坐标可得H 点坐标.②若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H 点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣14x2+32x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况. 【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）∴OA＝2，OB＝8，∵OC＝2OA，∴OC＝4，∴点C（0，4）∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，∴4＝﹣16a，∴a＝﹣14，∴抛物线解析式为：y＝﹣14（x+2）（x﹣8）＝﹣14x2+32x+4；（2）如图1，由题意：点D（3，0），∴OD＝3，设P（m，﹣14m2+32m+4），（m＞0，﹣14m2+32m+4＞0）∵C（0，4），∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣14m+32）x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣34m+172），∴DE＝﹣34m+172，∵S△ABC＝12×AB×OC，∴S△ABC＝12×10×4＝20，∵S△CDP＝1120S△ABC，∴12×（﹣34m+172）×m＝1120×20，∴m1＝4或m2＝223；（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，∴△BCO≌△BC'E（AAS）∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，∴2x﹣16＝﹣14x2+32x+4，∴x1＝﹣10，x2＝8，∴点K（﹣10，﹣36），∵x C﹣x B＝x H﹣x K，∴0﹣8＝x H﹣（﹣10），∴x H ＝﹣18，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣32，∴点H （﹣18，﹣32），若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK 的解析式为：y ＝2x +4，∴2x +4＝﹣14x 2+32x +4， ∴x 1＝﹣2，x 2＝0，∴点K 坐标（﹣2，0）∵C B K H x x x x -=-，∴0﹣8＝﹣2﹣x H ，∴x H ＝﹣6，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣4，∴点H （6，﹣4），若BC 为对角线，∵B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形，∴BC ＝KH ，BC 与KH 互相平分，∵B （8，0），C （0，4）∴BC 中点坐标（4，2），BC设点K （x ，﹣14x 2+32x +4）∴（x ﹣4）2+（﹣14x 2+32x +4﹣2）2＝（2， ∴x （x ﹣2）2（x ﹣8）＝0，∴x 1＝0，x 2＝2，x 3＝8，∴K （2，6），且KH 的中点坐标（4，2），∴点H （6，﹣2）综上所述：点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键.3．（1）3；（2）存在，理由见解析, t ＝（12﹣s ；（3）S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）【解析】【分析】（1）由题意得：当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ，即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，得出PQ 为△ABC 的中位线，得出PQ ＝12BC ＝3即可； （2）由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分两种情况，由正方形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案．【详解】（1）∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴AB ＝，当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ， 即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ ＝12BC ＝3（cm ）； 故答案为：3；（2）存在．理由如下：连接BP ．如图1，在Rt △ACB 中，∵AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝，若点B 在线段PQ 的垂直平分线上，则BP ＝BQ ，∵AQ t ，CP ＝t ，∴BQ ＝t ，∵PB 2＝62+t 2，∴（62﹣2t ）2＝62+t 2，整理得：t 2﹣24t +36＝0，解得：t ＝12﹣63或t ＝12+63（舍去），∴t ＝（12﹣63）s 时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．（3）分两种情况：①当0＜t ≤3时，如图2：S ＝正方形CPMN 的面积＝t 2；②当3＜t ≤6时，如图3：∵PC ＝t ，AC ＝6，∴AP ＝6﹣t∵∠C ＝∠APM ＝∠M ＝90°，∠A ＝∠EFM ＝45°，∴△APE ∽△FME ∽△ACB ，并且都是等腰直角三角形∴PE ＝AP ＝6﹣t ，∴EM ＝FM ＝t ﹣（6﹣t ）＝2t ﹣6，∴S ＝S 正方形CPMN ﹣S Rt △EFM ＝t 2﹣12（2t ﹣6）2＝﹣t 2+12t ﹣18； 综上所述，S 关于t 的函数关系式为：S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形中的动点问题，根据题意，分类讨论，求出二次函数解析式，是解题的关键.4．（1）224233y x x =-++（2）存在，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）118【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，按照分类讨论的方法得到符合条件的值；（3）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点，过点H 作HN 垂直y 轴于N ，先利用平行线的性质、等量代换等求证HC HB =、HB OB ⊥，Rt HCN ∆利用勾股定理求出H 坐标，写出直线CP 的函数表达式，求出一次函数与二次函数的交点P 的坐标，即可得到答案.【详解】（1）解：（1）将点()1,0A -，()3,0B 代入22y ax bx =++， 可得23a =-，43b =， ∴224233y x x =-++； （2）存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x +=，∴2x =-， ∴102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=，∴2x =， ∴()2,2M ；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=，∴4x =， ∴104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点.∵BH OC∴OCB HBC ∠=∠又OCB BCP ∠=∠∴PCB HBC ∠=∠∴HC HB =又OC OB∴HB OB ⊥故可设()3,H m ，即HB HC m ==过点H 作HN 垂直y 轴于N在Rt HCN ∆中，则()22232m m =+-解得134m = ∴133,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CP 的解析式为y kx b =+得21334b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得512k =，2b = ∴5212y x =+故2245223312x x x -++=+ 解得10x =（舍去），2118x = 即点P 到y 轴的距离是118 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）y ＝12（x ﹣2）2﹣8，D （2，﹣8）（2）9;（3）P （2，8﹣） 【解析】【分析】（1）由OB=3OA 可设A （-t ，0），B （3t ，0），代入抛物线解析式即得到关于a 、t 的二元方程，解方程求出a 即求得抛物线解析式，配方即得到顶点D 的坐标．（2）由（1）求得t=2可知点A （-2，0），设G （x 1，12x 12-2x 1-6），H （x 2，12x 22-2x 2-6），把直线y=−12x+n 与抛物线解析式联立方程组，消去y 后整理得关于x 的一元二次方程，x 1、x 2即为方程的解，根据韦达定理求得x 1+x 2=3．设直线AG 解析式为y=kx+b ，把点A 、G 坐标代入求出b 的值即为点N 纵坐标，进而得到用x 1表示的ON 的值，同理可求得用x 2表示的OM 的值，相加再把x 1+x 2代入即求得OM+ON 的值．（3）以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P ，由于满足PB=PQ （即点Q 在⊙P 上）且点Q 在直线CD 上的点Q 有且只有一个，即⊙P 与直线CD 只有一个公共点，所以直线CD 与⊙P 相切于点Q ．由（1）得点C 、D 坐标可知直线CD 与DE 夹角为45°，△PDQ 为等腰直角三角形，PD=⎷ 2PQ=⎷ 2PB ．设点P 纵坐标为p ，用p 表示PB 和PD 的长并列得方程即可求p 的值．由于点P 在线段DE 上，故p 的值为负数，舍去正数解．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6与x 轴交于A ，B 两点，OB ＝3OA∴设A （﹣t ，0），B （3t ，0）（t ＞0）∴2246091260at at at at ⎧+-=⎨--=⎩ 解得：122a t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ﹣6＝12（x ﹣2）2﹣8 ∴顶点D 的坐标为（2，﹣8）（2）∵t ＝2∴A （﹣2，0）设抛物线上的点G （x 1，12x 12﹣2x 1﹣6），H （x 2，12x 22﹣2x 2﹣6） ∵直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点 ∴2121262y x n y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ 整理得：x 2﹣3x ﹣12﹣2n ＝0 ∴x 1+x 2＝3设直线AG 解析式为y ＝kx+b ，即N （0，b ）（b ＜0） ∴21112k b 0 1kx b x 2x 6 2-+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩①② ①×x 1得：﹣2kx 1+bx 1＝0 ③②×2得：2kx 1+2b ＝x 12﹣4x 1﹣12 ④③+④得：（x 1+2）b ＝（x 1+2）（x 1﹣6）∵点G 与A 不重合，即x 1+2≠0∴b ＝x 1﹣6即ON ＝﹣b ＝6﹣x 1同理可得：OM ＝6﹣x 2∴OM+ON ＝6﹣x 2+6﹣x 1＝12﹣（x 1+x 2）＝12﹣3＝9（3）如图，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，以点P 为圆心、PB 为半径作圆∵PB＝PQ∴点Q在⊙P上∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上∴⊙P与直线CD相切于点Q∴PQ⊥CD由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF∴∠CDF＝45°∴△DPQ为等腰直角三角形∴PD2PQ∴PD2＝2PQ2＝2PB2设P（2，p）（﹣8≤p≤0）∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2∴（p+8）2＝16+p2解得：p1＝8﹣6，p2＝6（舍去）∴点P坐标为（2，8﹣6）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，圆的定义，切线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理．第（2）题的解题关键是设点G、H的坐标，求直线AG、AH解析式，即得到OM、ON的表示，联立直线GH与抛物线解析式得到点G、H横坐标的关系并代入求OM+ON，计算量较大．第（3）题的解题关键是由PB=PQ联想到圆，再由有且只有一个满足条件的Q 联想到相切，体现数形结合的过程．6．(1) 234y x x =--；(2)当ECD EDC ∠=∠时，4m =-(3)存在. 1.5m =时，BEF 的周长最小.【解析】【分析】(1)易求(),)40 04(A C -，，，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H ，易得：点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，进而可知：,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，根据ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，列出方程，即可求解；(3)易证：BFE △的周长=BF FE BE BF AF BE AB BE ++=++=+，可知：当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小，进而可求出BEF 的周长最小时，m 的值.【详解】(1)在4y x =-中，当0x =时，4y =-；当0y =时，4x =，40())0,( 4A C ∴-，，.把()()4,0,0,4A C -代入23y ax x c =-+中， 得： 161204a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式是234y x x =--；(2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H .4OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，45HEC HCE ∴∠=∠=︒.点()()2,34, ,4D m m m E m m ---， ,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，∴当ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，2 4m m =-+，解得：10m =(舍去)，242m =-.∴当ECD EDC ∠=∠时，42m =-；(3)存在.在抛物线234y x x =--中，当0y =时，2340x x --=，解得121,4x x =-=， ∴点B 坐标为()1,0-.45FAE FEA ∠=∠=︒，EF AF ∴=.设BFE △的周长为l ，则l BF FE BE BF AF BE AB BE =++=++=+，AB 的值不变，∴当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小.当BE AC ⊥时，45EBA BAE ∠=∠=︒，BE AE ∴=，2.5BF AF ∴==，1.5m ∴=时，BEF 的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E 的坐标用未知数m 表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法.7．（1）①菱形、正方形；②43或43；（2）BD＝26；（3）a的值为-6-3或6-3．【解析】【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=3x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到x B+x D和x B•x D进而得到用a表示的（x B-x D）2．又由四边形面积可求得x B-x D=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．【详解】（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．故答案为：菱形、正方形．②设矩形ABCD对角线相交于点O∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵矩形ABCD是“美丽四边形”，∴AC、BD夹角为60°，i）如图1，若AB＝4为较短的边，则∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝60°∴Rt △ABC 中，tan ∠OAB ＝3BC AB=， ∴BC ＝3AB ＝43， ii ）如图2，若AB ＝4为较长的边，则∠BOC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OCB ＝60°，∴Rt △ABC 中，tan ∠OCB ＝AB BC ＝3， ∴BC ＝3＝433． （2）过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接OD∴∠OHP ＝∠OHD ＝90°，BH ＝DH ＝12BD ， ∵AP ＝1，PC ＝5∴⊙O 直径AC ＝AP+PC ＝6∴OA ＝OC ＝OD ＝3∴OP ＝OA ﹣AP ＝3﹣1＝2∵四边形ABCD 是“美丽四边形”∴∠OPH ＝60°，∴Rt △OPH 中，sin ∠OPH ＝OH 3OP =，∴OH＝3op ＝3， ∴Rt △ODH 中，DH ＝22OD OH -＝223(3)-＝6，∴BD ＝2DH ＝26．（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N∴∠BMO ＝∠DNO ＝90°∵直线BD 3∴直线BD 解析式为y 3，∵二次函数的图象过点A （﹣3，0）、C （2，0），即与x 轴交点为A 、C∴用交点式设二次函数解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣2） ∵(3)(2)3y a x x y x =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， 整理得：ax 2+（a 3x ﹣6a ＝0， ∴x B +x D 3a -x B •x D ＝﹣6 ∴（x B ﹣x D ）2＝（x B +x D ）2﹣4x B •x D 3a -）2+24 ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝12AC•BM+12AC•DN ＝12AC （BM+DN ）＝12AC （y D ﹣y B ）＝12AC 3D 3B ）＝53（x B ﹣x D ）． 53（x B ﹣x D ）＝3∴x B ﹣x D ＝6，∴）2+24＝36，解得：a 1＝611--，a 2＝611-∴a 611 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．8．（1）223y x x =--+,(1,4)-；（2）2；（3）点D 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或(【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，构造等腰直角△ABH 和直角△BCH ，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案； （3）如图2，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，构造直角△DOK ，设D （x ，−x 2−2x ＋3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．由于∠BAC 是公共角，所以当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况：①∠AOD ＝∠ABC ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．②∠AOD ＝∠ACB ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠抛物线2y ax bx c =++过点(3,0),(1,0),(0,3)A B C -9303a b ca b cc-+=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴这条抛物线的解析式为223y x x=--+顶点坐标为(1,4)-（2）解：过点B作BH AC⊥，垂足为H90,3AOC OA OC︒∠===45,32OAC OCA AC︒∴∠=∠==90BHA︒∠=90HAB HBA︒∴∠+∠=45HAB HBA︒∴∠=∠=在Rt AHB∆中，222,4AH BH AB AB+==22AH BH∴==32222CH∴==90BHC︒∠=22tan22BHACBCH∴∠===（3）解：过点D作DK x⊥轴，垂足为K设()2,23D x x x --+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限 223,DK x x OK x ∴=--+=- BAC ∠是公共角∴当AOE ∆与ABC ∆相似时存在以下两种可能①AOD ABC ∠=∠tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=2233x x x--+∴=- 解得1113x -=，2113x += 1133133,22D ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭②AOD ACB ∠=∠tan tan 2AOD ACB ∴∠=∠=2232x x x--+∴=- 解得13x =-23x =（舍去）(3,23)D ∴综上所述：当AOE ∆与ABC ∆相似时，点D 的坐标为1133133,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,23-【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1）或P（-1，）或P（-1，6）或P（-1，5 3）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】。
中考数学专题复习6二次函数及其运用(解析版)
二次函数及其运用复习考点攻略考点一 二次函数相关概念1. 二次函数：一般地.形如y =ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）的函数.叫做二次函数．2. 二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a .b .c 为常数.a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a .h .k 为常数.a ≠0）.顶点坐标是（h .k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2）.其中x 1.x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标.a ≠0 【例1】若y =（a –1）x 2–ax +6是关于x 的二次函数.那么a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠1且a ≠0D ．无法确定【答案】【答案】B【解析】根据二次函数的定义.a –1≠0.即a ≠1．故选B ．考点二 二次函数的图像和性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）对称轴x =–2b a顶点 （–2b a .244ac b a-） a 的符号a >0a <0图象开口方向 开口向上 开口向下 最值当x =–2ba 时. y 最小值=244ac b a -当x =–2b a时. y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点 抛物线有最高点增减性当x <–2ba时.y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时.y 随x 的增大而增大 当x <–2ba时.y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时.y 随x 的增大而减小 字母的符号图象的特征 aa >0 开口向上 a <0 开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点 c >0 与y 轴正半轴相交 c <0与y 轴负半轴相交【例2】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示.则反比例函数y x=与一次函数y cx b =-+在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：根据二次函数图象与y 轴的交点可得c ＞0.根据抛物线开口向下可得a ＜0.由对称轴在y 轴右边可得a 、b 异号.故b ＞0.则反比例函数ay x=的图象在第二、四象限. 一次函数y cx b =-+经过第一、二、四象限.故选：C ．【例3】如图.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论：①abc ＜0；②3a ＜﹣c ；③若m 为任意实数.则有a ﹣bm ≤am 2+b ； ④若图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】解：由图象可知：a ＜0.c ＞0.12ba-=- .∴b ＝2a ＜0.∴abc ＞0.故①abc ＜0错误； 当x ＝1时.y ＝a +b +c ＝a +2a +c ＝3a +c ＜0.∴3a ＜﹣c .故②3a ＜﹣c 正确； ∵x ＝﹣1时.y 有最大值.∴a ﹣b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数）. 即a ﹣b ≥am 2+bm .即a ﹣bm ≥am 2+b .故③错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的一个交点为（﹣3.﹣2）.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的另一个交点为（1.﹣2）.即x 1＝1.x 2＝﹣3.∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5.故④正确．所以正确的是②④；故选：C ．【例4】若二次函数2y a x bx c =++的图象经过A （m .n ）、B （0.y 1）、C （3–m .n ）、D 2.y 2）、E （2.y 3）.则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．231y y y ＜＜ B ．132y y y ＜＜ C ．321y y y ＜＜ D ．123y y y ＜＜【答案】A【解析】∵经过A （m .n ）、C （3–m .n ）.∴二次函数的对称轴x =32. ∵B （0.y 1）、D 2.y 2）、E （2.y 3）与对称轴的距离B 最远.D 最近. ∵|a |>0.∴y 1>y 3>y 2；故选A ．考点三 二次函数图像的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ） 2+k .顶点坐标为（h .k ）． 2．保持y =ax 2的形状不变.将其顶点平移到（h .k ）处.具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减.左加右减”的原则.据此.可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移.可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度.那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0.–2）.∵向右平移3个单位长度.∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3.–2）.∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．考点四二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）.当y=0时.就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根.抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根.抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根.抛物线与x轴没有交点．【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示.则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分.则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1.∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3.0）.∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1.0）.∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点五二次函数的综合运用1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题.一般先假设该点存在.根据该点所在的直线或抛物线的表达式.设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式.求出该点的坐标.然后判别该点坐标是否符合题意.若符合题意.则该点存在.否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题.要把问题拆分.分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式.进而确定函数图象；解答二次函数综合题.要把大题拆分.做到大题小做.逐步分析求解.最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题.首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动.运动速度是多少.结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度.最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．【例8】如图.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1.与y 轴交于点B （0.﹣2）.点A （﹣1.m ）在抛物线上.则下列结论中错误的是（ ）A ．ab ＜0B ．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.当实数t ＞13时.y 1＜y 2 【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上.∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1. ∴b ＝﹣2a ＜0.∴ab ＜0.所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1.抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0.0）与（﹣1.0）之间. ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2.0）与（3.0）之间.∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间.所以B 选项的结论正确； 把B （0.﹣2）.A （﹣1.m ）代入抛物线得c ＝﹣2.a ﹣b +c ＝m .而b ＝﹣2a . ∴a +2a ﹣2＝m .∴a ＝23m +.所以C 选项的结论正确； ∵点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时t ≥1；当P 1在直线x ＝1的左侧.点P 2在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时0＜t ＜1且t +1﹣1＞1﹣t .即12＜t ＜1. ∴当12＜t ＜1或t ≥1时.y 1＜y 2.所以D 选项的结论错误；故选：D ． 【例9】如图.抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-.并且与y 轴交于点()03，C .与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1.设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D .点E 为直线BC 上一动点.过点E 作y 轴的平行线EF .与抛物线交于点F .问是否存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在.求出点E 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）22(2)143y x x x =--=-+；（2）（222）或（22）或（1.2）或（4.-1）．【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为(21)-，.所以该抛物线的解析式为2(2)1y a x =--.又该抛物线过点(03)C ，.代入2(2)1y a x =--得：学=科网 413a -=.解得1a =.故该抛物线的解析式为22(2)143y x x x =--=-+．（2）假设存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似． 由（1）知.该抛物线的解析式是y =x 2-4x +3.即y =（x -1）（x -3）. ∴该抛物线与x 轴的交点坐标分别是A （1.0）.B （3.0）． ∵C （0.3）.∴易求直线BC 的解析式为：y =-x +3． ∴∠OBC =∠OCB =45°．又∵点D 是对称轴上的一点.∴D （2.1）． 如图.连接DF ．∵EF ∥y 轴.∴只有∠EFD =∠COB =90°．∵以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似. ∴∠DEF =∠FDE =45°. ∴只有△EFD ∽△COB ．设E （x .-x +3）.则F （x .1）. ∴1=x 2-4x +3. 解得x =2±2.当x 2时.y =-x +3=12 当x =22.y =-x 2∴E 1（222）、E 2（2.12）．∠EDF =90°；易知.直线AD ：y =x -1.联立抛物线的解析式有： x 2-4x +3=x -1.解得 x 1=1.x 2=4； 当x =1时.y =-x +3=2； 当x =4时.y =-x +3=-1； ∴E 3（1.2）.E 4（4.-1）．∴综上.点E 的坐标为（222）或（2.12）或（1.2）或（4.-1）．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1. 函数y =21(1)m m x ++是二次函数.则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1C ．–1D ．以上都不对【答案】B【解析】∵函数y =21(1)m m x++是二次函数.∴m 2+1=2且m +1≠0.解得m =1．故选B ．2.一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：A 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴右侧.∴a>0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第一、三、四象限.A 错误；B 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴左侧.∴a>0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、三象限.B 正确；C 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴右侧.∴a<0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、四象限.C 错误；D 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴左侧.∴a ＜0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第二、三、四象限.D 错误．故选：B ．3.在函数2(1)3y x =-+中.当y 随x 的增大而减小时.则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．0x >C ．3x <D ．1x ≤【答案】D【解析】二次函数2(1)3y x =-+的对称轴为直线1x =. ∵0a >.∴1x ≤时.y 随x 的增大而减小.故选D.4.把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位长度.再向下平移2个单位长度.得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y =12（x +1）2–3B ．y =12（x –1）2–3C ．y =12（x +1）2+1D ．y =12（x –1）2+1【答案】B【解析】∵把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位.再向下平移2个单位.∴得到的抛物线的解析式为y =12（x –1）2–3.故选B ．5.如图.一次函数 (a>0)的图象与x 轴交于A.B 两点.与y 轴正半轴交于点C.它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）A.B.C.D. 当(n 为实数)时.【答案】 D 【解析】解：A 、∵图象开口向上.∵a>0.∵对称轴在y 轴左侧. ∵x=-<0, ∵b>0；∵图象与y 轴的交点在y 轴上方. ∵c>0. ∵abc>0, 不符合题意；B、∵抛物线与x轴有两个交点.∵ .即,不符合题意；C、设图象的顶点为（1.k）,∵k<0.则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,∵c=a+k,∵c-a=k<0,不符合题意；D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0,.∵x=-n2-2,由对称的性质可知这时的y≥c. 故答案为：D.6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣3 2t2．在飞机着陆滑行中.滑行最后的150m所用的时间是（）s．A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A【解析】当y取得最大值时.飞机停下来.则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600.此时t=20.飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y=600﹣150=450时.即60t﹣32t2=450.解得：t=10.t=30（不合题意舍去）.∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10.故选A．7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形.两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时.大孔水面宽度为10米.孔顶离水面1.5米；当水位下降.大孔水面宽度为14米时.单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度为20米.则单个小孔的水面宽度为（）A．3B．2米C．13D．7米【答案】B【解析】解：如图.建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可得MN=4.EF=14.BC=10.DO=32.设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32.∵BC =10.∴点B （﹣5.0）.∴0=a ×（﹣5）2+32.∴a =-350. ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32.设点A （b .0）.则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2.∵EF =14.∴点E 的横坐标为-7.∴点E 坐标为（-7.-3625）. ∴-3625=m （x ﹣b ）2.∴x 1615m +b.x 2615m -+b.∴MN =4.∴615m -b -（615m-b ）|=4 ∴m =-925.∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2. ∵大孔水面宽度为20米.∴当x =-10时.y =-92.∴-92=-925（x ﹣b ）2.∴x 1522b .x 2=-522+b . ∴单个小孔的水面宽度=|522b ）-（522b ）|=2（米）.故选：B ．8.已知二次函数()()2221y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.则关于x 的一元二次方程()()22210a x a x --++=的两根之积为（ ） A ．0 B ．1-C ．12-D ．14-【答案】D【解析】解：∵二次函数2(2)(2)1y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.可知二次函数图像的对称轴为直线x=0.即y 轴.则()202(2)a a -+-=-.解得：a=-2.则关于x 的一元二次方程2(2)(2)10a x a x --++=为2410x -+=.则两根之积为14-.故选D.9.如图.正方形四个顶点的坐标依次为（1.1）.（3.1）.（3.3）.（1.3）.若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点.则实数a 的取值范围是（ ）A ．139a ≤≤ B ．119a ≤≤ C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 【答案】A【解析】解：当抛物线经过（1.3）时.a=3. 当抛物线经过（3.1）时.a=19.观察图象可知19≤a≤3.故选：A ． 10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示.下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】解：由图象知.抛物线与x 轴有两个交点.∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根.∴b 2﹣4ac ＞0.故①正确.由图象知.抛物线的对称轴直线为x ＝2.∴﹣2ba＝2.∴4a +b ＝0.故③正确.由图象知.抛物线开口方向向下.∴a ＜0.∵4a +b ＝0.∴b ＞0.而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上.∴c ＞0.∴abc ＜0.故②正确.由图象知.当x ＝﹣2时.y ＜0.∴4a ﹣2b +c ＜0.故④错误. 即正确的结论有3个.故选：B ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．设点()1,P m y .()23,Q y 在抛物线上.若12y y <.则m 的取值范围 ．【答案】当a ＞0时.13m -<<；当a ＜0时.1m <-或3m >．【解析】∵抛物线的对称轴为1x =.∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -. 当a ＞0时.若12y y <.则-1＜m ＜3； 当a ＜0时.若12y y <.则m ＜-1或m ＞3.12.将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C .抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为 【答案】22y x =--【解析】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x .即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.13.如图是抛物线形拱桥.当拱顶高离水面2 m 时.水面宽4 m.水面下降2.5 m.水面宽度增加【答案】2 m【解析】如图.建立平面直角坐标系.设横轴x 通过AB .纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点.则通过画图可得知O 为原点.抛物线以y 轴为对称轴.且经过A .B 两点.可求出OA 和OB 均为AB 的一半.即OA =OB =2 m.抛物线顶点C 坐标为（0.2）.设顶点式y =ax 2+2.把A 点坐标（–2.0）代入得a =–0.5.∴抛物线解析式为y =–0.5x 2+2.当水面下降2.5 m.通过观察图上的抛物线可得当y =–2.5时.对应的抛物线上两点之间的距离.也就是直线y =–1与抛物线相交时两点之间的距离.把y =–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x 2+2.解得：x =±3.2×3–4=2.所以水面下降2.5 m.水面宽度增加2 m ．14. 若A （–3.5.y 1）、B （–1.y 2）、C （1.y 3）为二次函数y =–x 2–4x +5的图象上三点.则y 1.y 2.y 3的大小关系是__________． 【答案】y 2>y 1>y 3【解析】对称轴为直线x =–2b a =–42(1)-⨯-=–2.∵a =–1<0.∴当x <–2时.y 随x 的增大而增大.当x >–2时.y 随x 的增大而减小.∵–2–（–3.5）=–2+3.5=1.5.–1–（–2）=–1+2=1.1–（–2）=1+2=3.∴y 2>y 1>y 3．故答案为：y 2>y 1>y 3．15. 如图.抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A （-1.P ）.B （3.q ）两点.则不等式2ax mx c n ++>的解集是__________．【答案】3x <-或1x >【解析】∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -.()3,B q 两点.∴m n p -+=.3m n q +=.∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p .()3,Q q -两点.观察函数图象可知：当3x <-或1x >时.直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c=++的下方.∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．16.如图.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、B .顶点为C .对称轴为直线1x =.给出下列结论：①0abc <；②若点C 的坐标为1,2.则ABC 的面积可以等于2；③()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上两点()12x x <.若122x x +>.则12y y <；④若抛物线经过点(3,1)-.则方程210ax bx c +++=的两根为1-.3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④ 【解析】解：①开口向下.∴ a<0.对称轴x=1,a<0,∴ b>0.抛物线与y 轴的交点在y 的正半轴上.∴ c>0. abc<0.正确． ②从图像可知.AB>4,12ABC y S AB C ∆=⨯⨯>1422⨯⨯.2ABC S ∆∴> .故错误． ③122x x +>.∴从图像可知 1x 到1的距离小于2x 到1的距离.从图像可知.越靠近对称轴.函数值越大；12y y ∴> .故错误．④把点（3.-1）代入抛物线得931a b c ++=- .即21ax bx c ++=- .∴210ax bx c +++=.即x=3.是方程210ax bx c +++=的解.根据抛物线的对称性.所以另一解为-1.故正确．第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17.如图.一名男生推铅球.铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m ？【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为3m ；（2）该男生把铅球推出的水平距离是10m ． 【解析】（1）221251(4)3123312y x x x =-++=--+. ∵1012-<. ∴y 的最大值为3.∴铅球在行进中的最大高度为3m ． （2）令0y =得：212501233x x -++= 解方程得.110x =.22x =-（负值舍去）． ∴该男生把铅球推出的水平距离是10m ．18. 已知：二次函数223y x x =++与一次函数35y x =+． （1）两个函数图象相交吗？若相交.有几个交点？（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.使直线与抛物线只有一个交点.求k 的值． 【答案】（1）见解析；（2）94k = 【解析】（1）22335y x x y x ⎧=++⎨=+⎩. 解得.12x y =-⎧⎨=⎩或211x y =⎧⎨=⎩. 即两个函数图象相交.有两个交点；（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.得直线35y x k =+-. 令22335x x x k ++=+-. 得220x x k --+=.∵直线与抛物线只有一个交点.∴△22414(2)1840b ac k k =-=-⨯-+=+-=.解得.94k =． 19. 如图.在平面直角坐标系中.二次函数 图象的顶点是A.与x 轴交于B.C两点.与y 轴交于点D.点B 的坐标是(1.0).（1）求A.C两点的坐标.并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象.使点D恰好落在点A的位置上.求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】（1）1<x<3；（2）y=-(x-4)2+5【解析】（1）解：把B(1.0)代入y=ax²+4x-3.得0=a+4-3. 解得a=-1.∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1.∴点A坐标为(2.1).∵抛物线的对称轴为直线x-2.且点C与点B关于对称轴对称.∴点C(3.0).∴当y>0时.x的取值范围是1<x<3（2）解：D(0.-3).∴点D移到点A时.抛物线向右平移2个单位.向上平移4个单位.所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+520.如图.直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点.并且点M在第一象限内.连接AM、BM.设点M 的横坐标为m.△ABM的面积为S.求S与m的函数表达式.并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下.当S取得最大值时.动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（3）（.）【解析】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.则点A、B的坐标分别为：（1.0）、（0.3）.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0.3）.则a+4＝3.解得：a＝﹣1.故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H.设点M（m.﹣m2+2m+3）.﹣S⊥OAB﹣S⊥AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣则S＝S梯形BOHMm2+2m+3）]＝﹣m2+m.∵0.故S有最大值.当m＝时.S的最大值为：；（3）当S取得最大值时.此时.m＝.则y＝﹣m2+2m+3＝.故点M′的坐标为：（.）．21.如图.在平面直角坐标系中.已知二次函数图象的顶点为A.与y轴交于点B.异于顶点A的点C(1.n)在该函数图象上.（1）当m=5时.求n的值.（2）当n=2时.若点A在第一象限内.结合图象.求当y 时.自变量x的取值范围.（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方.且在线段OD上时.求m的取值范围. 【答案】（1）（2）1≤x≤5 .（3）0≤m＜1或1＜m＜2 .【解析】（1）解：当m＝5时.y＝.当x＝1时. n＝.（2）解：当n＝2时.将C(1.2)代入函数表达式y＝.得2＝.解得m1＝3. m2＝－1(舍去).∵此时抛物线的对称轴为直线x=3.根据抛物线的轴对称性.当y＝2时.有x1＝1 .x2＝5.∵x的取值范围为1≤x≤5.（3）解：∵点A与点C不重合. ∵m≠1.∵抛物线的顶点A的坐标是(m.4) .∵抛物线的顶点在直线y＝4上.当x＝0时.y＝.∵点B的坐标为(0. ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前.m减小.点B沿y轴上向上移动.当点B 与点O 重合时.＝0. 解得 m 1＝ .m 2＝ .当点B 与点D 重合时.如图2.顶点A 也与点B.D 重合.点B 到达最高点.∵点B 的点坐标为（0.4）.∵＝4.解得 m ＝0.当抛物线从图2位置继续向左平移时.如图3点B 不在线段OD 上.∵ B 点在线段OD 上时.m 的取值范围是0≤m ＜1或1＜m ＜2.22.如图.二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,.()10B ,.交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点.PM x ⊥轴.交直线AC 于点M .交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段AO 上运动.如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动.则在y 轴上是否存在点Q .使以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形．若存在.请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）①94.②存在.123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【解析】解：（1）把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中.得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-． （2）设直线AC 的表达式为y kx b =+.把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得.03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组.得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--． ∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∵10a =-<.∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动.且3302-<-< ∴当32m =-时.MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--（i ）当以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形.则有MN=MC .如图.∵C （0.-3）∴222(0)(33)2m m m -+--+= ∴223=2m m m --整理得.432670m m m ++=∵20m ≠.∴2670m m ++=.解得.132m =-.232m =-∴当32m =-.CQ=MN=322.∴OQ=-3-(322)=321-∴Q(0.321-)； 当m=32-时.CQ=MN=-322.∴OQ=-3-(-322)=321∴Q(0.321-)； (ii)若2MC MN =.如图.则有223=22m m m --.432650m m m ++= ∵20m ≠.∴2650m m ++=.解得.11m =-.25m =-当m=-1时.MN=CQ=2.∴Q （0.-1）.当m=-5时.MN=-10＜0（不符合实际.舍去）综上所述.点Q 的坐标为123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --.。
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题22：二次函数的应用（几何问题）一、选择题1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】A ．k ＜－3B ．k ＞－3C ．k ＜3D ．k ＞3 【答案】 D 。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】根据题意得：y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如右图，∵|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。
故选D 。
二、填空题 三、解答题1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求AB Cy y y -的值；（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求AB Cy y y -的最小值．【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2+4x+10。
①∵y=x 2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。
②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2+4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。
∴A B C y 15==5y y 107--。
（Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0bx 12a<=--。
由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。
连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。
过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点F （x 2，0）。
则∠FAA 1=∠CBD。
∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。
∴11AA FA BD CD=，即221x yA1x yB yC 1-==--。
过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。
∴AG EGBD CD=，即A E 1B C y y 1x y y -=--。
∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2+bx+c上，∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12+bx 1+c ，∴()()()211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 12＋x 1－2=0，解得x 1=－2（x 1=1舍去）。
∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。
则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。
∴yAyB yC-的最小值为3。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。
①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。
②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、y B 、y C 的值，然后计算AB Cy yy -的值即可。
（Ⅱ）根据0＜2a ＜b ，求出0bx 12a<=--，作出图中辅助线：点A 作AA1⊥x 轴于点A1，则AA 1=y A ，OA 1=1．连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ，则BD=y B －y C ，CD=1．过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点F （x 2，0）。
证出Rt△AFA 1∽Rt△BCD，得到221x yA1x yB yC 1-==--，，再根据△AEG∽△BCD 得到A E 1B Cy y 1x y y -=--，然后求出y A 、y B 、y C 、y E 的表达式，然后y 0≥0恒成立，得到x 2≤x 1＜－1，从而利用不等式求出AB Cy y y - 的最小值。
2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠O AC 时，求t 的值．【答案】解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴16a+24+c=0a 6+c=0⎧⎨-⎩，解得a=2c=8-⎧⎨⎩。
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x 2+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。
∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。
∴EF ED=DO DA。
∵ED 1=tan DAE=DA 2∠，∴EF 1=DO 2。
∵OD=t，∴EF 1=t 2，∴EF=1t 2。
同理DF ED =OA DA，∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x 2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。
如图，连接EC 、AC ，过A 作EC 的垂线交CE 于G 点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。
在△CAG 与△OCA 中，∵∠OAC=∠GCA，AC=CA ，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA ）。
∴CG=AO=4，AG=OC=8。
如图，过E 点作EM⊥x 轴于点M ，则在Rt△AEM 中，EM=OF=t ﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+1t 2，由勾股定理得： ()222221AE AM EM 4+t +t 22⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭。
在Rt△AEG 中，由勾股定理得：()22222215EG=AE AD 4+t +t 28t 4424⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭。
在Rt△ECF 中，EF=1t 2，CF=OC ﹣OF=10﹣t ，CE=CG+EG=4+25t 444- 由勾股定理得：EF 2+CF 2=CE 2，即()222215t +10t =4+t 4424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解得t 1=10（不合题意，舍去），t 2=6。
∴t=6。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）已知点A 、B 坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。
（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求 解。
（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG 、AG 的长度；然后利用勾股定理求得AE 、EG 的长度（用含t 的代数式表示）；最后在Rt△ECF 中，利用勾股定理，得到关于t 的无理方程，解方程求出t 的值。
3. （2012广东广州14分）如图，抛物线233y=x x+384--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．【答案】解：（1）在233y=x x+384--中，令y=0，即233x x+3=084--，解得x 1=﹣4，x 2=2。
∵点A 在点B 的左侧，∴A、B 点的坐标为A （﹣4，0）、B （2，0）。
（2）由233y=x x+384--得，对称轴为x=﹣1。
在233y=x x+384--中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，ACB 11S AB OC 63922∆=⋅=⨯⨯=。
在Rt△AOC 中，2222AC=OA +OC 4+35==。
设△ACD 中AC 边上的高为h ，则有12AC•h=9，解得h=185。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC ，且到AC 的距离=h=185，这样的直线有2条，分别是L 1和L 2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D 。
设L 1交y 轴于E ，过C 作CF⊥L 1于F ，则CF=h=185，∴18CF CF 95CE 4sin CEF sin OCA 25=====∠∠。
设直线AC 的解析式为y=kx+b ， 将A （﹣4，0），B （0，3）坐标代入，得4k+b=0b=3-⎧⎨⎩，解得3k=4b=3⎧⎪⎨⎪⎩。
∴直线AC 解析式为3y x 34=+。
直线L 1可以看做直线AC 向下平移CE 长度单位（92个长度单位）而形成的，∴直线L 1的解析式为3933y x 3x 4242=+-=-。
则D 1的纵坐标为()3391424⨯--=-。
∴D 1（﹣4，94-）。
同理，直线AC 向上平移92个长度单位得到L 2，可求得D 2（﹣1，274）。
综上所述，D 点坐标为：D 1（﹣4，94-），D 2（﹣1，274）。
（3）如图2，以AB 为直径作⊙F，圆心为F ．过E 点作⊙F 的切线，这样的切线有2条．连接FM ，过M 作MN⊥x 轴于点N 。
∵A（﹣4，0），B （2，0），∴F（﹣1，0），⊙F 半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF 中，-ME=22534-=，sin∠MFE=45，cos∠MFE=35。
在Rt△FMN 中，MN=MN•sin∠MFE=3×41255=，FN=MN•cos∠MFE=3×3955=。
则ON=45。
∴M 点坐标为（45，125）。
直线l 过M （45，125），E （4，0），设直线l 的解析式为y=k 1x+b 1，则有412k+b=554k+b=0⎧⎪⎨⎪⎩，解得3k=4b=3⎧-⎪⎨⎪⎩。
∴直线l 的解析式为y=34-x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=34-x ﹣3。
综上所述，直线l 的解析式为y=34-x+3或y=34-x ﹣3。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。