2016届高考数学大一轮复习二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课时跟踪检测(三十七)理(含解析)

课时跟踪检测(三十七) 二元一次不等式(组)及简单的线性规
划问题
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋2y ≥3，
2x ＋y ≤3，
则z ＝x －y 的最小值是
( )
A ．－3
B ．0
C ．3
2
D ．3
3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP 的最大值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
4．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥x ，
x ＋y ≤4
上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域
Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
5．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥－1，x －y ≥2，
3x ＋y ≤14，
若使z ＝ax ＋y 取
得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )
A ．{－3,0}
B ．{3，－1}
C ．{0,1}
D ．{－3,0,1}
6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，
且z ＝x ＋ay 的最小
值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
二、填空题
7．(2014·安徽高考)不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，
x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为
________．
8．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝
3x －y 的最大值为________．
9．(2013·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，2x －y ≤0，
x ＋y －3≤0
所表示的平面区域，区域D 上
的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
10．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x 3a ＋y 4a ≤1，
若z ＝
x ＋2y ＋3
x ＋1
的最小值为3
2
，则a 的值为________．
三、解答题
11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2.
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
答案
1．选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.
2．选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋2y ≥3，
2x ＋y ≤3
表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内
部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.
3．选D 如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)
处z max ＝2.故选D.
4．选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则
根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫422
＝4π，
故选D.
5.选B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.故选B.
6．选B 法一：联立方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝a ，
x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a －1
2，y ＝a ＋1
2，
代入x ＋ay ＝7中，
解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.
法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．
当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．
图(1)
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －y ＝－1，x ＋y ＝－5
得交点A (－3，－2)，
则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．
z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．
当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
图(2)
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －y ＝－1，x ＋y ＝3
得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1
＋3×2＝7，满足题意．
7.解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
所示，可知S △ABC ＝1
2
×2×(2＋2)＝4.
答案：4
8．解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.
答案：4
9．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22
＋1
＝255，故最小距离为255. 答案：25
5
10．解析：∵x ＋2y ＋3
x ＋1＝1＋y ＋x ＋1
，
而
y ＋1
x ＋1
表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率， 易知a >0，
∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝
0－－3a －－
＝13a ＋1＝1
4
⇒a ＝1. 答案：1
11.解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平
移初始直线12x －y ＋1
2＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大
值1.
所以z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a
2
＜2，解得－4＜a ＜2. 故所求a 的取值范围为(－4,2)．
12．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋7y ＋－x －y ，
100－x －y ≥0，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .
整理得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .
目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：
初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝50，
y ＝50.
最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。