字典树和kmp

• 如果a[i+1]==b[j+1],i和j各加1，什么时候
KMP算法的运行过程
• i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… • A=abababaabab… • B=ababacb
j=1234 567 如果a[i+1]!=b[j+1],这时候怎么办？ j=5时，a[i+1]!=b[j+1],我们要把j改成比它 小的值j’。改成多少合适呢？
-1,i=0; next[i]=｛Max{k|0<k<i,其中 ‘0~k-1’ 与‘i-k+1~i-1’ 相匹配}; 0,其他;
KMP算法的运行过程
• 我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+ 1..i]与
B[1..j]完全相等。也就是说，i是不断增加的， 随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾 的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符 （j当然越大越好），现在需要检验A[i+1]和 B[j+1]的关系。 j==m，就说B是A的子串（B串已经整完了）
ba b band abc
Sample Output 2 3 1 0
虽然可以用map， 可是太慢了~ Map方法大家自 己想想哈~
初步分析
假设单词表容量为M，需要统计的前缀数 量为N，单词的平均长度为L，则常规算法 的时间复杂度是？ Question: 如果单词表容量很大->查找效率? ->低 更有效率的方法：字典树
j=nest[j]; //对应字符不等，移动到next[j]
}
if(j>T_len) return 1;//匹配成功
else return 0;//匹配不成功
}
求next数组
void getNext(Sstring S){ int i=0,j=-1; next[0]=-1; while(i<len){
用途：数据库里学的索引等以及电子目录查找等
空 词 典
插 入 A
插 入 AN
插 入 ASP
插 入 AS
插 入 ASC
插 入 ASCII
插 入 BAS
插 入 BASIC
Trie的查找（最主要的操作）
(1)在trie树上进行检索总是始于根结点。
(2)取得要查找关键词的第一个字母，并根据该字母 选择对应的子树并转到该子树继续进行检索。
• 通俗地讲，next[i]保存了以s[i]为结尾的后缀与
定义
•
字符串： a b a b a c b next[i] ：-1 0 0 1 2 3 0 0
•
•
字符串： a b c a b a b c a b c a b c a b next[i]： -1 0 0 0 1 2 1 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5
示例—(HDOJ-1247)
题意：输入一些字符串，输出由别的两个单 词组成的单词。
Sample Input a ahat hat Sample Output ahat hatword
hatword
hziee word
分析：
虽然还是可以用map，但是map太慢了~
前者是字典树的代码，31ms，代码长度1729KB 后者是map的代码 ，359ms，代码长度529KB Map方便，代码好写，但是慢！因为stl都慢！ 字典树运行快！效率高！ 一旦数据加强或时限变小，则map会TLE了
定义
• next: 为对应模式串的数组 • 设字符串为 s1s2s3...sm ,其中s1，s2，s3，...
si，... sm均是字符，则next[i]=m，当且仅当满 足如下条件：字符串s1s2...sm equals 字符串 s(i-m+1)...si-1 si 并且s1s2...sm s(m+1) unequals s(i-m) s(i-m+1)...si-1 si。 模式串前缀的最长匹配数。
思路：
将每个单词枚举每个分开的位置，比如 ahat可以分成 a hat ah at aha t 这三组，查找这三组单词只要有一组同时存在则 输出ahat；比如a和hat都存在于单词表中。
字典树和map的作用就是查找单词是否存在
Map的方法
• 以上两道例题的参考代码都是动态申请 • 空间，用的指针。 • 以下是一个非指针的字典树的模板， • 不喜欢指针的同学可以看看，数组模
KMP算法的运行过程
• i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… • A=abababaabab… • B= ababacb
j= next： 1234 567 0012300
遇到不匹配的时候，KMP算法则将字符串B向后移 动到next[i]位后，重新匹配
KMP算法的运行过程
• i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… • A=abababaabab… • B= ababacb
KMP算法的运行过程
• i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… • A=abababaabab… • B= ababacb
j= 1234 567
next： 0 0 1 2 3 0 0
暴力算法则将字符串B向后移动一位后，重新匹配
KMP算法的运行过程
• i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… • A=abababaabab… • B= ababacb
if(j==m){//模式串匹配到最后一个字母，则表示匹配成功
printf(“匹配成功\n”); return ;} } printf(“无法匹配 ”); }
KMP算法
• 作为一种无回溯的算法，它是高效的，
待会儿你将看到它的时间复杂度为 O(m+n)，空间复杂度也为O(m+n)
Hale Waihona Puke • 而且，它很容易理解，代码也很短
ACM暑假培训
字典树、KMP 扩展：扩展kmp、AC自动机、后缀数组
负责任：彭文文 指导人：孟祥凤 哈尔滨理工大学ACM集训队
参考学习资料
图书：
《算法导论》（第二版） ，机械工业出版社，P557~P568 《算法竞赛入门经典训练指南》，P208~P214
练习题：
字典树：
Hdu1075（简单） Hdu1251（简单） Hdu4099（难！字典树+大数相加） KMP： hdu1686（给两个字符串a,s，判断a在s里出现的个数 ） hdu3336（稍难，kmp+dp，给一个字符串，输出所有字符串前缀的总个数）
时间复杂度分析
• 由于while循环的不确定性，好像时间复杂
度很高.
• 但事实上，我们可以看到无论是j还是temp，
它只在程序的最后+1，故最多+n(+m)。因 而while循环最多-n(-m),因而算法的复杂度 都是线性的.
• next的复杂度O(m),KMP的复杂度为O(n)
示例—(hrbust-1309)
拟 提
• 指针，优点是静态开辟，时间快，但 • 前开辟较大的内存，比较耗内存。 • 仅供参考：
相关练习
• HDOJ-1075What Are You Talking About • HDOJ-1251统计难题 • HDOJ-1298T9 • HDOJ-1800 Flying to the Mars • ZOJ-1109
KMP算法
它是：在一个长字符串中匹配一个短 子串的无回溯算法。
定义
• s: 模式串 , m: 模式串的长度 • text: 要匹配的字符串, n:text的长度 • text中能找到与s完全一样的子串，例如：
abcabca中含有abc；认为text与模式串 匹配，当然text也可能与模式串有多处匹 配 s:abc 则text与s 匹配的位置有3和6
(3)接着取得要查找关键词的第二个字母，并进一步 选择对应的子树进行检索。
(4) ... 关键词的所有字母已被取出，则读取附在该结点上 的信息，即完成查找。
Trie的数据结构定义
• • • • •
struct dictree {
dictree *child[26]; //总共26个字母，所以孩子最多 26个！ int n; //根据需要变化，可以用来标记是不是尾节 点或者出现次数等！
题意：输入两个字符串s和t，查找字符串s中 是否有t这个字符串。
Sample Input
abcdefg abcde abcde bcdef
Sample Output
yes no
剩下的几页有点小小难噢~不过大家如果真正理解了 kmp，剩下的也好理解喽~课下自学哈~
So easy！
关于next的一个性质
j=
next：
1234 567
0012300
遇到不匹配的时候，KMP算法则将字符串B向后移 动到next[i]位后，重新匹配
KMP伪代码
int KMP(Sstring S,Sstring T){ int i=0，j=0; while( i<=S_len && j<=T_len ) { if(S[i]==T[j] || j==-1) else { ++i;++j; }//匹配则向后移动一位
查找效率分析
• •
•
在trie树中查找一个关键字的时间和树中包含的 结点数无关，而取决于组成关键字的字符数。 （对比：二叉查找树的查找时间和树中的结点 数有关O(log2N)。）
如果要查找的关键字可以分解成字符序列且不 是很长，利用trie树查找速度优于二叉查找树。
若关键字长度最大是5，则利用trie树，利用5次 比较可以从265＝11881376个可能的关键字中 检索出指定的关键字。而利用二叉查找树至少 要进行log2265=23.5次比较。