正弦定理的几种证明
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法正弦定理是三角学中的重要定理，它可以用于求解任何三角形中的未知边和角，下面将介绍几种证明正弦定理的方法：证明方法一：三角形的面积法设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。
根据三角形面积公式，可以得到：S(三角形ABC)=0.5*a*h1=0.5*b*h2=0.5*c*h3其中h1、h2、h3分别为三角形ABC对应边的高，可以通过正弦函数关系得到：h1 = b * sinCh2 = c * sinAh3 = a * sinB代入前面的面积公式，得到：S(三角形ABC) = 0.5 * a * b * sinC = 0.5 * b * c * sinA = 0.5 * c * a * sinB移项整理后得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC证明方法二：向量法在平面直角坐标系中，设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义，可以得到：\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x2 - x1, y2 - y1)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x3 - x1, y3 - y1)根据向量的数量积公式，可以得到：\vec{AB}， = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = a\vec{AC}， = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2} = c又根据向量的叉积公式，可以得到：而叉积的模也可以通过坐标计算得到：综上，可以得到正弦定理的向量形式：证明方法三：海伦公式法根据海伦公式，三角形ABC的面积S可以通过三角形的周长p和三条边的长度a、b、c计算得到：S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}其中p=(a+b+c)/2、又根据三角形面积的定义，可以得到：S = 0.5 \cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C将前面两个公式等式右边进行等式转换，得到：\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} = 0.5\cdot a \cdot b \cdot \sin\angle C两边平方，整理得到：16p^2 \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) = a^2 \cdot b^2 \cdot \sin^2\angle C整理后得到：16(p-a)(p-b)(p-c)p = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再根据赫罗定理，可以得到：p(p-a)(p-b)(p-c)=S^2将上面两个等式联立，整理得到：16S^2 = a^2 b^2 \cdot \sin^2\angle C再开更号，得到：2S = ab \cdot \sin\angle C即得正弦定理。
正弦定理的证明方法
正弦定理的证明方法正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了在任意三角形中，三边的长度和角度之间的关系。
正弦定理可以用于解决一些与三角形有关的问题，例如确定未知边长或角度的大小。
为了证明正弦定理，我们首先需要定义一些符号。
设在一个三角形ABC中，边长a、b、c 分别对应于角A、B、C；角度α、β、γ分别对应于边a、b、c。
我们可以利用三角形的面积来证明正弦定理。
设三角形ABC的面积为S。
根据三角形的面积公式，S可以表示为：S = 1/2 * a * b * sinγ同样，我们可以将面积表示为其他两个角的正弦函数。
设三角形ABC的面积分别与角A、B、C 对应的边的正弦函数表示为Sa、Sb、Sc，则有：Sa = 1/2 * b * c * sinαSb = 1/2 * c * a * sinβSc = 1/2 * a * b * sinγ通过对上述三个公式进行观察，我们可以发现Sa、Sb、Sc 都是相等的，因为它们都代表了同一个三角形的面积。
即：Sa = Sb = Sc = S将上述公式进行整理，我们可以得到以下等式：a *b * sinγ= b *c * sinα= c * a * sinβ= 2S为了得到正弦定理，我们将上述等式进行变换。
首先，我们将其中一对等式分子和分母进行交换：a / sinα=b / sinβ=c / sinγ此时，我们可以将上述等式的分子和分母都除以边长abc 的乘积，得到这样的等式：a / (bc) =b / (ac) =c / (ab)接下来，我们可以通过简单的代数运算来证明正弦定理。
设上述等式左半边等于k，则有：a = kbcb = kacc = kab将上述等式代入三角形ABC 的面积公式S = 1/2 * a * b * sinγ，我们可以得到以下表达式：S = 1/2 * (kbc) * (kac) * sinγ= 1/2 * (k^2 * a * b * c) * sinγ根据上述表达式，我们可以推出以下等式：k^2 * a * b * c * sinγ= 2S将上述等式转换回正弦函数的形式，我们可以得到正弦定理的表达式：sinγ= 2S / (abc)利用相似的推理，我们还可以得出其他两个角度对应的正弦定理表达式：sinα= 2S / (bca)sinβ= 2S / (cab)至此，我们通过利用三角形的面积公式进行代数推理，证明了正弦定理的正确性。
正弦定理知识点总结(精华)与试题
正弦定理知识点总结（精华）与试题1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=c a sinB=c b sinC=1 即：c=A a sin c=B b sin c=C c sin A a sin =B b sin =Cc sin2．能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜△ABC 当中： S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin3．用向量证明：证二：过A 作单位向量j 垂直于ACAC +CB =AB 两边同乘以单位向量jj •(AC +CB )=j •AB 则：j •AC +j •CB =j •AB ∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=|j |•|AB |cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理：若过C 作j 垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90︒ 过A 作单位向量j 垂直于向量AC 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，A a sin =B b sin =Ccsin 注意：（1）正弦定理适合于任何三角形。
（2）可以证明A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） （3）每个等式可视为一个方程：知三求一ACBjACBj5.知识点整理6、应用：例1、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：21030sin 45sin 10sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=C A c a C c A a 00105)(180=+-=C A B25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin ,sin sin 00+=+⨯==⨯==∴=C B c b C c B b 又练习：1、在△ABC 中，已知A=450,B=600,a=42，解三角形.2、在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 ．3、在△ABC 中，B=45,C=60,c=1，则最短边的边长等于例2．1 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， 222=+=∴c b a例2．2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a Ac C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b注意：时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： （1） 当A 为锐角 （2） 当A 为直角或钝角练习：1. ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若26120c b B ===，，，则a 等于 （ ）AB ．2CD2、已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b = ( )A.2 B ．4＋．4—3、在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = .4、已知△ABC 中，045,a b B ===解三角形例3：在△ABC 中，分别根据下列条件指出解的个数（1）、a=4,b=5,A=300; (2)、a=5,b=4,A=600;(3)、0120a b B ===; (3)、060.a b A ===练习：1．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°1、在△ABC 中，a=5，b=3，C=1200,则sinA:sinB= 2、在△ABC 中，acosB=bcosA,则⊿ABC 为（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、钝角三角形 3、在△ABC 中，若b=2asinB,则A=4、在△ABC 中，若sin cos ,A BB a b=则的值为 5、在△ABC 中，a:b:c=1:3:5,2sin sin sin A BC-则的值为6、在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30，则a=7、若三角形的三个内角之比为1：2：3，则该三角形的三边之比为8、在△ABC 中，0a b c60,sin sin sin A a A B C++=++则等于9.ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若,2a A B ==,则cos B =( )Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）610、在△ABC 中，若sinA>sinB,则有（ ）a<b B a b C a>b D a b A ≥、、、、、的大小关系无法确定。
证明正弦定理
证明正弦定理正弦定理是三角形中常用的一个定理，它描述了三角形中各边与其对应的角度之间的关系。
下面我们将详细证明正弦定理。
一、正弦定理的表述在三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C分别为三个内角，a、b、c分别为三边的长度，则有以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c二、证明思路要证明正弦定理，我们需要利用三角函数中的基本公式和几何知识进行推导。
具体来说，我们可以利用单位圆上点的坐标和勾股定理等方法来推导出该公式。
三、证明过程1. 利用单位圆上点的坐标我们可以将三角形ABC放在单位圆上，并假设点A对应于单位圆上的点P(x1, y1)，点B对应于Q(x2, y2)，点C对应于R(x3, y3)。
则有以下关系：a = PQ = 2sinAb = QR = 2sinBc = RP = 2sinC又因为PQ² + QR² = PR²（根据勾股定理），所以有以下等式：4sin²A + 4sin²B = 4sin²C化简后得到：(sinA/a)² + (sinB/b)² = (sinC/c)²即：sin²A/a² + sin²B/b²= sin²C/c²两边同时乘以c²，得到：c²sin²A/a² + c²sin²B/b² = sin²C由于c = a/sinA，b = c/sinC，代入上式得到：a² + b² - 2abcosC = c²这就是余弦定理的表述形式。
2. 利用勾股定理我们也可以利用勾股定理来证明正弦定理。
具体来说，我们可以将三角形ABC分别投影到AB、BC、CA上，并利用勾股定理得到以下等式：a² = h₁² + (b - h₂) 2b 2= h₂ 2+ (a - h₁) 2c 2= h₁ 2+ h₂ 2其中，h₁和h₂分别为三角形ABC中高的长度。
(完整版)正弦定理知识点总结(精华)与试题
正弦定理知识点总结（精华）与试题1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB= sinC=1 即：c= c= c= ==c a c b A a sin B b sin C c sin A a sin B b sin Cc sin 2．能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜△ABC 当中：S △ABC =Abc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以即得：==abc 21A a sin B b sin Ccsin 3．用向量证明：证二：过A 作单位向量垂直于j AC+= 两边同乘以单位向量AC CB AB j •(+)=• 则：•+•=•j AC CB j AB j AC j CB j AB ∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A)j AC j CB j AB ∴ ∴=A c C a sin sin =A a sin Ccsin 同理：若过C 作垂直于得：= ∴==j CB C c sin B b sin A a sin B b sin Ccsin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90︒ 过A 作单位向量垂直于向量j AC 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，==A a sinB b sin Ccsin 注意：（1）正弦定理适合于任何三角形。
（2）可以证明===2R （R 为△ABC 外接圆半径）A a sin B b sin Ccsin （3）每个等式可视为一个方程：知三求一Cl l ngt h 5.知识点整理6、应用：例1、已知在Bb a C Ac ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：21030sin 45sin 10sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=C A c a C c A a 00105)(180=+-=C A B 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin ,sin sin 00+=+⨯==⨯==∴=C B c b C c B b 又练习：1、在△ABC 中，已知A=450,B=600,a=42，解三角形.2、在△ABC 中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为．33、在△ABC 中，B=45,C=60,c=1，则最短边的边长等于例2．1 在CA a cB b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C cB b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B CB cb 为锐角， 222=+=∴c b a 例2．2 CB b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c ，1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 注意：三角形的情况：时解和中，已知在A b a ABC ,∆（1）当A 为锐角（2）当A 为直角或钝角练习：1. ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B === ，则a 等于（ ）A B ．2C D 2、已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且75A ∠=o ，则b = ( )A.2 B ．4＋．4—3、在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = . 4、已知△ABC 中，045,a b B ===解三角形例3：在△ABC 中，分别根据下列条件指出解的个数（1）、a=4,b=5,A=300; (2)、a=5,b=4,A=600;(3)、; (3)、0120a b B ===060.a b A ===练习：1．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b= ,∠A=30°2 C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°1、在△ABC 中，a=5，b=3，C=1200,则sinA:sinB=2、在△ABC 中，acosB=bcosA,则⊿ABC 为（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、钝角三角形3、在△ABC 中，若b=2asinB,则A=4、在△ABC 中，若sin cos ,A BB a b=则的值为5、在△ABC 中，a:b:c=1:3:5,2sin sin sin A BC-则的值为6、在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30，则a=7、若三角形的三个内角之比为1：2：3，则该三角形的三边之比为 8、在△ABC 中，0a b c60,sin sin sin A a A B C++=++则等于9.的三内角的对边边长分别为,若,则( )ABC ∆,,A B C ,,a bc ,2a A B ==cos B =10、在△ABC 中，若sinA>sinB,则有（ ）a<b B a b C a>b D a bA ≥、、、、、的大小关系无法确定。
正弦定理的5种证明方法
正弦定理的5种证明方法在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C==理．在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高；sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高．sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin sin a B b A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）．所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R ===2sin a R A=同理．2,sin b R B =2sin c R C=因此．2sin sin sin a b c R A B C ===证法三 三角形面积法是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2ac B 根据这个几何意义,定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=．sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22S AB CD ac B == 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()22a B b A ππ--则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下：作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(),AB CB CA - AB ∙CD CB CA - ∙CD 所以，所以,CB CD CA CD ∙=∙ cos()cos()22a CD Bb CD A ππ-=- 即sin sin .a Bb A =所以，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C=因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法． 证明如下： 以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系,x ）且使点B 落在轴的上方,则AC 边上的高即为B 点的纵坐标.x 根据三角函数的定义, B 点的纵坐标．sin h a C =所以三角形ABC 的面积．11sin 22S bh ab C ==同理 ．1sin ,2S ac B =1sin 2S bc A =所以111sin sin sin ,222bc A ac B ab C == 同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C==这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.。
证明正弦定理的方法
证明正弦定理的方法正弦定理是三角形中最基本的定理之一，用于求解三角形的边长和角度。
以下是证明正弦定理的常见方法：方法一：利用三角形的面积公式。
1. 假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
2. 构造高AD，将三角形ABC分成两个高度分别为h1和h2的小三角形。
3. 根据三角形的面积公式，可以得到：面积(三角形ABC) = 1/2 * b * h1面积(三角形ABC) = 1/2 * c * h24. 将上述两个公式联立，可以得到：b * h1 =c * h25. 由于三角形ABC的高度h1 = a * sinB，h2 = a * sinC，代入上述公式可以得到：b * a * sinB =c * a * sinC6. 化简上述公式可得：b / sinC =c / sinB7. 将这个公式稍加变形，可以得到正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC方法二：利用三角形的内接圆。
1. 设三角形ABC的内接圆的半径为R，圆心为O。
2. 连接AO、BO、CO，将三角形ABC分成三个小三角形。
3. 记三角形AOB的角度为θ，可以得到：AB = 2R * sinθ4. 同理，记三角形BOC的角度为φ，可以得到：BC = 2R * sinφ5. 通过连接CO、AO，可以得到：AC = 2R * sin(θ+ φ)6. 根据三角形中的等式关系可以得到：sin(θ+ φ) = sinθ* cosφ+ cosθ* sinφ7. 代入上述公式，可以得到：AC = AB * cosφ+ BC * sinθAC = 2R * sinθ* cosφ+ 2R * sinφ* sinθAC = 2R * (sinθ* cosφ+ sinφ* sinθ)AC = 2R * sin(θ+ φ)8. 化简上述公式可得：sin(θ+ φ) = sinAsinθ* cosφ+ sinφ* sinθ= sinAsinθ* (cosφ+ sinφ) = sinAsinθ= sinA / (cosφ+ sinφ)9. 同理可以得到：sinφ= sinC / (cosθ+ sinθ)10. 将上述两个公式联立，可以得到正弦定理：sinA / (cosφ+ sinφ) = sinC / (cosθ+ sinθ) sinA / (cosC + sinC) = sinC / (cosA + sinA) sinA / sinC = (cosA + sinA) / (cosC + sinC) a / sinC = b / sinB = c / sinC。
正弦定理的公式是什么
正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。
在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。
古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。
股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。
正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。
勾股弦放到圆里。
弦是圆周上两点连线。
最大的弦是直径。
把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cosA=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
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正弦定理的几种证明
内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）
正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。
C c
B b
A a
C B A c b a ABC sin =sin =sin ,,,,:则：和中的三边和三角分别是
在正弦定理的内容：
∆
一向量法
C c
B b
A a
B b A a
C
c
C CB i A CB AC i AB i AC i
ABC sin sin sin :sin sin sin sin ||||sin |
)
(,⊥===
==+∙=∙∆即正弦定理可证
同理可证：，则：中做单位向量
证明：在
即正弦定理可证
同理可证：即中
和则在中做高线证明：在,
sin =sin ,sin =s sin =sin sin =,
sin =,
C c
A a
B b
inA a
B a A b B
a CD A
b CD BDC Rt ADC Rt CD ABC ∆∆∆
三外接圆法
C c
B b
A R
C c
R A a R
B b
B R b B
D a D R b Rt CAD R
AD D C O ABC sin sin sin a ∴2sin ,2sin :2sin ,sin 2∴∠∠,sin ,∴,
,,========∆∆∆同理即且且为设圆的半径为连接连接圆心与圆交于点过点的外接圆证明：做
四面积法 C c
B b
A a
B ac
C ab A bc S ABC sin sin sin ∴sin 21sin 2
1
sin 21=====∆正弦定理可证：。