《正弦定理》教案

《正弦定理》教学设计

一、教学目标分析

1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析

重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教法与学法分析

本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。

四、学情分析

对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

五、教学工具

多媒体课件

六、教学过程

创设情境，导入新课

兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。上课一开始，我先提出问题：

工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，，AB的长为1m，但他不知道AC和BC的长

是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？

教师：请大家思考，看看能否用过去所学过的知识解决

这个问题？（约2分钟思考后学生代表发言）

学生活动一:

（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”，本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程，我们把它习惯上叫解三角形，要求边的长度，过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函数进行求解，即本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。

学生：如图，过点A作BC边上的高,垂直记作D

然后,首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD 的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。

教师：这位同学的想法和思路非常好，简直是一位天才

（同时再一次回顾该同学具体的做法）

教师：能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢？

学生：可以

教师：那么具体应该怎么做呢？

学生：过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

接下来，只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度

教师：总结学生的做法

通过作两条高线后，即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来

接下来，只需要将题目中的相关数据代入，本题便迎刃而解。

定理的发现：

教师：如果把本题目中的有关数据变一下，其中A＝50o，B＝80o大家又该怎么做呢？

学生1：同样的做法（仍得作高）

学生2：只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度

教师：还需要再次作高吗？

学生：不用

教师：对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边，求其他两边的长”的问题是否都可以用上述两个等式进行解决呢？

学生：可以

教师：既然这两个等式适合于任意的锐角三角形，那么我们只需要记住这两个等式，以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题，直接应用这两个等式

并进行代入求值即可。

教师：大家看看，这两个等式的形式是否容易记忆呢？

学生：不容易

教师：能否美化这个形式呢？

学生：美化之后可以得到：（定理）

教师：锐角三角形中的这个结论，到底表达的是什么意思呢？

学生：在锐角三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等

教师：那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢？那么接下来就让我们分别来验证一下，看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否成立。

定理的探索：

教师：大家知道，在直角三角形ABC中：若

则：

所以：

故：

即：在直角三角形中也成立

教师：那么这个等式在钝角三角形中是否成立，我们又该如何验证呢？请大家思考。

学生活动二：验证在钝角三角形中是否成立

教师（提示）：要出现sinA、sinB的值

必须把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用诱导公式将转化为）

学生：学生可分小组进行完成，最终可由各小组组长

汇报本小组的思路和做法。（结论成立）

教师：我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立，接下来，用类比的方法对它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证，结果发现，这个等式对于

任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立，那么我们此时能否说：“这

个等式对于任意的三角形都成立”呢？

学生：可以

教师：这就是我们这节课要学习的《正弦定理》（引出课题）

定理的证明教师：展示正弦定理的证明过程

证明：（1）当三角形是锐角三角形时，过点A作BC 边

上的高线，垂直记作D，过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

同理可得：

所以易得

（2）当三角形是直角三角形时；

在直角三角形ABC中：若

因为：

所以：

故：

即：

（3）当三角形是钝角三角形时（角C为钝角）

过点A作BC边上的高线，垂直记作D

由三角形ABC的面积可得即：

故：

所以，对于任意的三角形都有成立。

教师：这就是本节课我们学习的正弦定理（给出定理的内容）

（解释定理的结构特征）

思考：正弦定理可以解决哪类问题呢？

学生：在一个等式中可以做到“知三求一”

定理的应用

教师：接下来，让我们来看看定理的应用（回到刚开始的那个实际问题，用正弦

定理解决）（板书步骤）

随堂训练

学生：独立完成后汇报结果或快速抢答

教师：上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用，其实正弦定理的应用相

当广泛，那么它到底可以解决什么问题呢，这里我送大家四句话：“近测

高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮）

课堂小结：

1、知识方面：正弦定理：

2、其他方面：

过程与方法：发现推广猜想验证证明

（这是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今

后的学习中一定要注意这样的一个过程）

数学思想：转化与化归、分类讨论、从特殊到一般

作业布置：

①书面作业：P527

②查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法（比如“面积法”、“向量法”等）

③思考、探究：若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况，结果如何？

板书设计：

1、定理：

2、探索：

3、证明：

4、应用：

检测评估：