对数函数及其性质
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质 (1)谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)(3)①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧 对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎， 若是底数小于1，左上穿点渐右下， 若是底数大于1，左下穿点渐右上， 绕点旋转底变化，顺时方向底变大， 可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A ．，43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110D ．43，110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110． 答案：A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B．1 2xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a x(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m＝n，这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=，再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2，则a－2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a=±．又a＞0，所以12a=．当然，也可以直接写出124a-=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a---====．【例4－1】已知f(e x)＝x，则f(5)＝()A．e5B．5e C．ln 5D．log5e解析：(方法一)令t＝e x，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x．所以f(5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5． 答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ． ∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝log(1－x )；(2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y=．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值． 分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]． 令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13． 7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ． 又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2． 答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况： (1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小． 要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较． (4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论． 【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9，log 32；(2)log 23，log 0.32；(3)log a π，log a 3.141．分析：(1)构造函数y ＝log 3x ，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (1.9)＜f (2)．所以log 31.9＜log 32． (2)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜log 0.31＝0， 所以log 23＞log 0.32．(3)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数， 则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数， 则有log a π＜log a 3.141．综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141； 当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141． 【例8－2】若a 2＞b ＞a ＞1，试比较log aa b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小． 分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断． 解：∵b ＞a ＞1，∴0＜ab＜1． ∴log aab＜0，log a b ＞log a a ＝1，log b 1＜log b a ＜log b b ，即0＜log b a ＜1． 由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2a b＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有 ①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)； ③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)． (2)常见的对数不等式有三种类型： ①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝⎛⎭⎫－∞，32． 设u ＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32， ∵u ＝3－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，32． 【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1． ∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减． 综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律 判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法 函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围． 解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数； (3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性． 解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x ) ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1， 故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )， 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称， ∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1； 当0＜a ＜1时， 由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0． 故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值； (3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4 km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8 km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k )＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．..;.. (2)由于m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，令479.888ln479.8x=-，解得x≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
对数函数的图像与性质
对数函数的图像与性质对数函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将着重探讨对数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数的定义如下：定义：设a为正实数且不等于1，x为正实数，那么以a为底的对数函数y = loga x 定义为x = a^y。
对数函数的图像在直角坐标系中呈曲线状，其主要性质如下：1. 定义域与值域：对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
2. 特殊性质：当x = 1 时，对数函数的值为0，即loga 1 = 0。
3. 单调性：当0 < a < 1 时，对数函数随着x的增大而递减；当a > 1 时，对数函数随着x的增大而递增。
4. 对称性：对数函数在y轴上有一个对称中心O(1,0)。
以上是对数函数的基本性质，接下来我们将进一步探讨对数函数的图像。
二、对数函数的图像特点对数函数的图像在直角坐标系中呈现出一些特殊的特点，我们将分别从底数的大小和常数c的引入的平移和伸缩等方面进行讨论。
1. 底数的大小对图像的影响底数a的大小对对数函数的图像有显著的影响。
当0 < a < 1 时，对数函数的图像在一象限内，从左上方无穷递减到右下方；当a > 1 时，对数函数的图像在一、三象限内，从左下方无穷递增到右上方。
2. 平移和伸缩对图像的影响引入常数c对对数函数的图像进行平移和伸缩。
当常数c大于0时，对数函数的图像在x轴的正方向上平移c个单位；当常数c小于0时，对数函数的图像在x轴的负方向上平移|c|个单位。
另外，对数函数的图像近似于一条曲线，它的凹性和凸性取决于底数的大小。
当0 < a < 1 时，对数函数图像凸向下；当a > 1 时，对数函数图像凹向下。
三、对数函数在实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际问题：1. 指数增长问题：对数函数可以用来描述指数增长的问题，例如人口增长、物种扩散等。
2.2.2对数函数及其性质(二)
区间[a, 2a]上的最大值是最小值的
3倍，求a的值.
x 例4 求证: 函数f(x)＝ log 2 1 x
在[0, 1]上是增函数.
例5 已知f (x)＝loga (a－ax) (a＞1).
(1) 求f (x)的定义域和值域； (2) 判证并证明f (x)的单调性.
例6 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的 计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表 示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计 算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离 子的浓度之间的变化关系； (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
1 ( 2) log 3.4 0.7, log 0.6 0.8, 3
1 2
(3) log 0.3 0.1, log 0.2 0.1
练习 比较大小
(1) log 0.3 0.7, log 0.4 0.3 log 0.3 0.7 log 0.4 0.3
1 ( 2) log 3.4 0.7, log 0.6 0.8, 3
a＞ 1 0＜ a＜ 1
y
图 象
y
O
x
O
x
定义域：(0, +∞)；
性 质
2. 对数函数的性质：
a＞ 1 0＜ a＜ 1
y
图 象
y
O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 质
2. 对数函数的性质：
a＞ 1 0＜ a＜ 1
y
图 象
yБайду номын сангаас
O
x
O
x
高考数学中的对数函数性质及其应用
高考数学中的对数函数性质及其应用对数函数是高中数学中非常重要的一个概念。
在高考中，对数函数也是非常重要的考点之一。
本文将从对数函数的定义、性质、公式以及应用来进行简单的讲解，帮助同学们更好地掌握这一重要概念。
一、对数函数的定义与性质对数函数可以这样定义：设a>0，且且a≠1，则称y=loga x是以a为底，x为真数的对数函数。
其中a被称为底数，x为真数，y 为对数值。
对数函数最基本的性质是：若a>1，则loga 1=0；若0<a<1，则loga 1=0；若a=1，则无解。
对于对数函数的底数a和真数x均不能为负数或零。
对数函数还有一个很重要的性质是对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
这个性质说明了，对数函数的定义需要满足a>0，x>0，根据定义，y=loga x，那么y也一定为实数，因此对数函数的值域为实数集。
二、对数函数的公式运用对数函数公式，能够快速简便地完成数值计算，增强数学思维，提高解题能力。
主要有以下四个公式：1、loga (mn) = loga m + loga n2、loga (m/n) = loga m - loga n3、loga m^p = p*loga m4、loga a^n = n公式1和2用于将对数函数中的乘、除法转换成加、减法。
公式3用于将对数函数中的指数运算转换成乘法。
公式4是对数函数的基本公式，即对数函数中以a为底，a的幂次方的值等于幂次数。
三、对数函数的应用1、复利计算：实际生活中，人们常常要面临各种复利计算问题。
在复利计算中，常常需要用到对数函数。
例如求N年后本金为P的投资，在年利率为r的情况下，总收益为多少。
用对数函数可以快速算出结果，公式为：A=P*(1+r)的N次方。
2、化简大数：在高精度计算和密码学领域中，经常需要对大数进行化简计算。
对于x^y的结果，如果y过大，那么我们需要通过对数函数将其化简。
即对x取对数，乘以y，再通过反函数将结果还原。
对数函数及其性质
对数函数及其性质对数函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于科学和工程领域。
它的性质包括增减性、定义域、值域等。
本文将详细介绍对数函数及其性质，帮助读者深入理解并运用该函数。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个固定的正数（底数）为底，将任意的正数（真数）映射到另一个数上的函数。
对数函数的常见表示形式为y=logₐx，其中底数a>0且a≠1，真数x>0。
二、对数函数的性质1. 增减性对数函数的增减性与底数a的大小有关。
当底数a>1时，对数函数随着真数的增加而增加；当底数0<a<1时，对数函数随着真数的增加而减小。
2. 定义域和值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
值域为实数集，即y∈R。
3. 特殊值当真数x=1时，对数函数的值为0，即logₐ1=0。
当底数a=1时，对数函数无定义。
4. 对数函数的基本关系（1）对数函数和指数函数的互逆关系：对于任意的正实数x和底数a>0且a≠1，有aⁿ=x⇔logₐx=n。
（2）对数函数的乘积法则：logₐ(xy)=logₐx+logₐy，其中x、y>0。
（3）对数函数的商法则：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy，其中x、y>0。
（4）对数函数的幂法则：logₐ(xⁿ)=nlogₐx，其中x>0，n为任意实数。
5. 对数函数的图像当底数a>1时，对数函数的图像呈现典型的递增曲线；当底数0<a<1时，对数函数的图像呈现典型的递减曲线。
对数函数在x轴的正半轴上的图像称为对数曲线。
三、对数函数的应用1. 数据压缩与展示对数函数可以用于对数据进行压缩和展示。
当数据的幅度较大时，可以通过对数函数对其进行压缩，从而使得数据更易读取和呈现。
2. 指数增长模型对数函数常用于描述指数增长模型，如人口增长、物种繁殖等。
对数函数能够将指数增长转化为线性关系，便于模型的建立和求解。
3. 信号处理对数函数在信号处理中有广泛的应用，如音频信号处理、图像处理等领域。
对数函数及其性质
对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ．2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。
类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log 0,1)a y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+；（4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．a ＞1 0＜a ＜1定义域：（0，+∞）类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求函数y =.【答案】(1，23) (23，2] 【解析】因为121210log (1)0log (1)1x x x ⎧⎪->⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≠⎪⎩， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-≤⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2].【变式2】函数y ＝12log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5；(3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
对数函数与指数函数的基本概念与性质
对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。
对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）对数的真数必须是正数，即x>0。
（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。
（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。
（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。
3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。
（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。
（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。
（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。
二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。
指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。
指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。
2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。
（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。
（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。
3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。
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（0，+∞） R
对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数;
底数只能大于0, 等于1来也不行;
底数若是大于1, 图象从下往上增;
底数0到1之间, 图象从上往下减;
无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
例1：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
谢 谢 ！
当 x > 1 时，y > 0; a＞1
当 0 < x < 1 时， y < 0.
＜1 当0 x＜ > 1a 时， y < 0;
当 0 < x < 1 时， y > 0.
图 象
⑴定义域：
y loga x(a 1)
y loga x(0 a 1)
性 ⑵值域： ⑶过特殊点： 过点（1，0），即x=1时y=0 质 ⑷单调性 ： 在（0，+∞）上是增函数 ⑷单调性：在（0，+∞）上是减函数
解法:用对数函数的单调性
考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1, ∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数； ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5 解：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞） 上是减函数；
∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
＞0且a≠1) 叫做对数函数。
一. 对数函数的定义：
一般地，我们把函数 y＝logax
(a＞0且 a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数定义域是(0,＋∞)。
注意三点：
（1）底数：a是大于0且不等于1的常数;
（2）真数：自变量x，且x>0;
（3）系数：对数符号前面的系数为1.
判别下列函数是否为对数函数?
2
1 -1
4
…
表 y log
1 2
x
…
2
1
0
y=log2x
2 … -2 …
描 点 连 线
y 2 1
0
11 42
1 2 3
4
-1
这两个函数 x 的图象有什 么关系呢？
y=log1/2x
-2
关于x轴对称
y=logax（a>1）的图象
y=logax（0<a<1）的图象
三、 对数函数y=logax的性质：
对数函数性质 类比 类比指数函数的研究方法 研究函数图像和性质
思想方法
数形结合
布置作业
教材：第78页 习题2.2 A组 7、10
下列是6个对数函数的图象，比较它们底数的大小：
y
y loga1 x
1 0 1
y loga2 x y loga3 x
x
y loga4 x
y loga5 x y loga6 x
(1) y 2loga x
否
(2) y log3 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3) y log2 2 x 1
是
否
二.对数函数的图象:
画出函数y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
作图步骤： 1. 列表 2. 描点 3. 连线
列 表
… y log2 x … y log1 x …
5
... ...
x
6.4 1012
2
21
16 32 24 25
8
2x
0.06 2 3.85 10 1000
2 6.4 10
x 12
43 2 6.4 10 x log（ 2 6.4 10 ） x log2 y
x 12
12
y log2 x
一. 对数函数的定义： 一般地，我们把函数 y＝logax (a
2
x
1/4 1/2
-2 2 -1 1
1
0 0
2
1 -1
4
…
2 … -2 …
x 列 y log x 2
… …
1/4 1/2
-1 1
1
0 0
2
1 -1
4
…
表
-2 y log1 x … 2
2
2 … -2 …
y
描 点
连 线
2 1 0 -1
11 42
y=log2x
1
2
3
4
x
-2
x … 1/4 1/2 1 列 y log2 x … -2 -1 0
对数函数及其性质
鹤高数学组 王金路
你们想到达月球吗？
数学无处不在
如果有一张厚度为0.06mm薄纸，在纸张 可以无限延伸的情况下，我们是否能利用 这张纸到达月球呢？
8 地球与月球的距离约为 3.85 10 m
从实际情境中抽象出对数函数的数学模型，得到：
次数
层数
1
2 4 22
x
3 8 23
4
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
0<a<1时为减数）
结
２.比较真数值的大小； ３.根据单调性得出结果。
（3） loga5.1与 loga5.9
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分 类讨论即0<a<1 和 a > 1
对数函数概念
对数函数
对数函数图像