对数函数的性质
对数函数的性质
对数函数的性质
对数函数是幂函数的反函数，具有以下性质：
1. 一次函数性：对数函数是一次函数，包括可以用它的切线求倾斜度和利用它的单调性来求函数的最大值或最小值。
2. 增函数性：对数函数x＞0时在实数轴上单调递增，但任意的实数n 值的对数函数在实数轴上都是凸函数。
3. 平移和缩放性：对数函数的图形不受平移影响，向左平移a，其图像也向左平移a个单位；如果沿x轴缩放k倍，其图像也同时沿x轴缩放k倍。
4. 放缩性：对数函数可以沿y轴放缩，当改变函数中的常数参数时，其函数图形直接受到放缩的影响，如果把常数参数a改变为ka，那么其函数图形会沿y轴放大k倍。
5. 对称性：对数函数具有狭义的对称性，即射线y＝x与y轴上的点(0,a)是函数表达式x＝loga(y)的镜像。
6. 连续性：对数函数是连续函数，即其在域上是连续的，可以在实数轴上画出来。
7. 相似性：对数函数图形存在相似性，当变量a不变时，不论变量b 取何值，该函数的形状都不变，只有比例变化而已。
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质 (1)谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)(3)①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧 对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎， 若是底数小于1，左上穿点渐右下， 若是底数大于1，左下穿点渐右上， 绕点旋转底变化，顺时方向底变大， 可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A ．，43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110D ．43，110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110． 答案：A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B．1 2xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a x(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m＝n，这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=，再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2，则a－2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a=±．又a＞0，所以12a=．当然，也可以直接写出124a-=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a---====．【例4－1】已知f(e x)＝x，则f(5)＝()A．e5B．5e C．ln 5D．log5e解析：(方法一)令t＝e x，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x．所以f(5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5． 答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值． 分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ． ∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝log(1－x )；(2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y=．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值． 分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]． 令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13． 7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ． 又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2． 答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况： (1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小． 要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较． (4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论． 【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9，log 32；(2)log 23，log 0.32；(3)log a π，log a 3.141．分析：(1)构造函数y ＝log 3x ，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (1.9)＜f (2)．所以log 31.9＜log 32． (2)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜log 0.31＝0， 所以log 23＞log 0.32．(3)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数， 则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数， 则有log a π＜log a 3.141．综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141； 当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141． 【例8－2】若a 2＞b ＞a ＞1，试比较log aa b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小． 分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断． 解：∵b ＞a ＞1，∴0＜ab＜1． ∴log aab＜0，log a b ＞log a a ＝1，log b 1＜log b a ＜log b b ，即0＜log b a ＜1． 由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2a b＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有 ①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)； ③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)． (2)常见的对数不等式有三种类型： ①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝⎛⎭⎫－∞，32． 设u ＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32， ∵u ＝3－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，32． 【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增． 又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1． ∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减． 综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律 判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法 函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围． 解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数； (3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性． 解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x ) ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1， 故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )， 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称， ∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1； 当0＜a ＜1时， 由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0． 故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值； (3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4 km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8 km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k )＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．..;.. (2)由于m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，令479.888ln479.8x=-，解得x≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
对数与指数函数的性质
对数与指数函数的性质随着数学的发展，对数与指数函数在数学中扮演着重要的角色。
它们具有独特的性质和特点，对解决实际问题和研究数学规律起到至关重要的作用。
本文将对对数与指数函数的性质进行探讨。
一、对数函数的性质1. 定义与表示对数函数是指数函数的逆运算。
对于正数a和大于0的实数x，a的y次幂等于x，表示为y = logₐx。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 基本性质（1）对数函数的图像：对数函数的图像在底数大于1时是增函数，底数小于1时是减函数。
其图像呈现出一种特殊的曲线形状，通常都是从左下方逐渐上升或下降。
（2）对数函数的反函数：对数函数和指数函数是互为反函数的关系。
这意味着对数函数的定义域就是指数函数的值域，反之亦然。
（3）对数函数的性质：对数函数具有严格单调性、有界性和连续性等基本性质。
3. 常用公式与恒等式（1）对数函数的换底公式：logₐx = logᵦx ÷ logᵦa。
这个公式用于将对数的底数进行转换，方便计算。
（2）对数函数的性质公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy，logₐ(x/y) =logₐx - logₐy，logₐ(xⁿ) = nlogₐx。
这些公式为我们在计算和简化对数表达式时提供了便利。
（3）对数函数的恒等式：logₐa = 1，logₐ1 = 0，logₐaᵇ= b logₐa。
这些恒等式在对数计算中起到重要的作用。
二、指数函数的性质1. 定义与表示指数函数是以自然常数e为底的函数，形式为y = eˣ，其中e是一个无理数，约等于2.71828。
指数函数在数学和科学领域中用于描述指数增长和衰减的现象。
2. 基本性质（1）指数函数的图像：指数函数的图像在x轴的右侧是增函数，在x轴的左侧是减函数。
其图像表现出一种迅速增长或迅速衰减的特点。
（2）指数函数的反函数：指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
对数函数图像及性质
对数函数图像及性质
对数函数是特殊的函数，是一种特殊的曲线，它与指数函数有着密切的关系。
一般的，在数学中，它的函数形式为：y = loga x（a> 0，a ≠ 1）。
对数函数的图像是一条对称曲线，它的绘制出直线 y=x 的两倍半径的弧线，其中倒退曲线位于X轴右半部分。
它的图形主要由三部分组成，即横轴、纵轴和函数线segment。
横轴和纵轴分别封装着值域和值域的标明的定义域。
函数线段是最重要的，它承载了横坐标形成的曲线，把On横坐标映射到定义域对应的值域上，从而绘制出完整的函数图像。
对数函数还具有一些特点：
1.将定义域D上的自然数e投射到值域R上；
2.对数函数反函数是以e为底的指数函数；
3.当x大于e时，y值> 0；当x小于e时，y值<0；当x=e时，y=1；
4.对于定义域D上的任意x> 0，对数函数y=logax的倒数存在；
5.对数函数的定义域是正实数集合，不包括0。
总的来说，对数函数是一种特殊的曲线，具有独特的图像和性质。
学习和研究它是了解基本数学概念和把握数学原理，应用数学解决实际问题的重要基础。
对数函数的图像和性质
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
对数函数的基本概念
对数函数的基本概念对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中有广泛的应用。
对数函数是指以某个正数为底的指数函数，其定义表达式为f(x) = logₐx，其中a为底数，x为实数。
本文将对对数函数的基本概念进行介绍，并探讨其在数学和现实生活中的应用。
首先，让我们了解一下对数函数的基本定义和性质。
对数函数的定义式f(x) = logₐx中，底数a必须大于0且不等于1，被取对数的实数x必须大于0。
对数函数的特点是，它将实数x映射到一个实数域上的数，即函数值。
对数函数的定义域是(0,∞)，值域为(-∞,∞)。
对数函数的基本性质包括对数函数与指数函数的互逆关系、对数函数的增减性和对数函数的运算性质。
首先，对数函数与指数函数是互逆的，即如果f(x) = logₐx，则aˣ = x。
这意味着，对数函数可以帮助我们从指数函数的值中还原出原始数值。
其次，对数函数的增减性可以通过底数a进行判断，当a大于1时，对数函数是增函数，当0 < a < 1时，对数函数是减函数。
最后，对数函数具有一些运算性质，如对数函数的和差性质、积性质和幂法则。
对数函数在数学中有很多重要的应用，其中之一是解决指数方程。
通过取对数函数可以将指数方程转化为对数方程，从而利用对数函数的性质求解。
此外，对数函数还可用于解决一些复杂的指数关系问题，如复利计算、人口增长等。
对数函数也广泛应用于统计学中的回归分析和数据拟合中，通过对数变换可以将非线性关系转化为线性关系，从而进行数据分析和预测。
除了数学领域，对数函数还在其他学科和现实生活中有许多应用。
在音乐领域，对数函数可以用于计算声音的音量级。
在物理学中，对数函数可以用于描述震级和声强的量度。
在经济学中，对数函数可以用于计算利息、指数增长等。
在计算机科学中，对数函数被广泛用于算法的时间复杂度的分析和设计。
在生物学中，对数函数可以用于描述生物种群的增长和衰减。
综上所述，对数函数作为数学中的一个重要概念，具有丰富的应用和广泛的实际意义。
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总结：比较两个对数式的大小，若底数相同，直接利用对数函数的单调性进行比较；若底数和真数都不同，借助中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小。通常引入中间变量1或0。
三．课堂练习
P120 # 1.2 (简要讲解)
四．课堂小结
1.正确理解对数函数的定义；
附件2：教学设计模板
教学设计
课题名称：对数函数的性质
姓名
沈继勇
工作单位
彭阳职中
学科年级
高一年级
教材版本
中等职业教育
一、课程标准要求
这节课要求学生理解并掌握对数函数的图像及性质，并能熟练的运用性质进行计算和证明
二、教材地位作用（用知识结构图说明）
函数在高中数学教学中有着很重要的地位，而基本初等函数的学习是学习函数的基础，特别是基本初等函数的图像和性质，是进一步学习函数、方程思想的基础。
三、学情调查分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况）
综合素质中等，数学素质中等偏下，部分学生数学素质较差。学生对自己学习数学的信心不足，积极性和主动性不够，而所学的数学基础知识薄弱，基本概念模糊不清，基本方法掌握得不够扎实，缺乏对基础的理解和研究，不能对所学知识和方法及时的复习与巩固，知识积累量不多，而遗忘的速度太快；灵活运用知识分析问题、解决问题的能力差，只会模仿解决一些简单问题，不能举一反三，题目稍微有点变化就束手无策
对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类。现在我们观察对数函数的图象，并对照指数函数的图象特征，分析对数函数的图象特征，从而得到对数函数的性质。请同学们先观察这两个对数函数的图象有哪些共同的特征。
提问学生回答
师生共同总结
我们通过观察图象的特征，归结如下
性质(1)定义域是（0，+∞）；
值域是R
(2)图象都经过（1，0）点(2)过定点（1，0），
3.底数a对对数函数性质的影响。
六、教学过程
一．复习提问，引入新课
师：在新课开始前，我们先复习一些有关知识。指数式和对数式的等价关系是什么？
生：。
师：各个字母的取值范围呢？
生：a＞0且a≠1；N＞0；x∈R。
师：什么是指数函数？
生：函数（a＞0且a≠1）叫做指数函数。
师：指数函数的定义域和值域是什么？
即x=1时，y=0
(3)当a＞1时，图象上升；
当0＜a＜1时，图象下降(3)当a＞1时，为增函0，1）内图象在x轴的下方，在（0，+∞）内图象在x轴的上方；
当0＜a＜1时，图象正相反(4)当a＞1时，若0＜x＜1，则y＜0，若x＞1，则y＞0；
当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则y＞0，若x＞1，则y＜0
四、教学目标确定（从学段课程标准中找到要求，并具体化为本节课的具体要求）
1.会根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究他们的有关性质
2.掌握对数函数的单调性，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对数函数和指数函数的性质的理解。
五、重点、难点
1.对数函数的图象及性质。
2.对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小。
生：定义域是R，值域
师：对数函数的概念？
生：一般地，函数，(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中定义域是（0，+∞）
二.新课讲授对数函数的图象和性质：
同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。在同一坐标系内画出函数和的图象。
师：画函数都有哪些步骤呢？
生：列表、描点、连线。
师：对。我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描点法画出其函数图象，在画图时，首先要列出x、y的对应值表，然后用描点法画出函数图象。（利用多媒体演示解题过程）
2.掌握对数函数的图象和性质；
3.能利用对数函数的性质解决有关问题。
题型：
1．求定义域；
2．比较两个对数式的大小关系。
注意：
1．类比记忆指数函数和对数函数；
2．看见函数式想图象，结合图象记性质。
五．布置作业
1．P120 #2；
2．P121 # 3
七、教学评价（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价），也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）
(三)先讲后练，讲练结合，知识落实比较到位，学生对知识掌握比较牢固，体现了高效课堂的理念。
(四)师生双边活动比较到位，本节课教师始终体现其主导地位和学生的主体地位，学生思考—练习—总结，有利于知识的落实，体现新课程理念。
(五)数学思想方法应用得当，本节课应用了数形结合思想、函数思想等数学思想方法，而数学思想方法是高中数学的灵魂，在教学中要时刻渗透。
(六)例题代表性强，解法简洁，方法总结到位，有利于知识的落实。
本节课缺点：
(一)对学生练习的点评不到位，板书可以再整洁一些。
(二)对本节课在教材中的地位，理解还不到位。
本节课的优点：
(一)引课直入主题，抓住本节课的重点，讲授由浅入深，由易到难，循序渐进，让学生逐步掌握和应用对数函数的图像和性质。
(二)课堂节奏把握较好，教师娓娓道来，语速适中，教学效果好，教态自然，教学思路清晰，重点突出，本节课的重点是：对数函数的性质的应用，对数函数的性质主要有两个应用：第一，恒过定点（1,0），第二，函数的单调性。这节课抓住了对数函数这两个性质，知识的落实效果好。
例2：求下列函数的定义域
（1）（2）
师：求函数的定义域要注意那些问题？
生：（1）分母不能为0；（2）偶次根号下，被开方数非负；（3）0的0次幂没有意
义。
师：还有没有其他限制？
生：对数的真数大于0。
师：好，我们现在来看这题，其实是考查对数函数的定义域，与底数无关，只要满足
真数大于0就可以了。（利用多媒体演示解题过程）
生：因为函数在（0，+∞）上是减函数，又因为1.8＜2.7，所以
师：对。（3）题中的底数和（1）、（2）题有什么不同呢？
生：底数不是一个确定的实数。
师：这时候能不能直接进行比较呢？
生：a＞1和0＜a＜1两种情况讨论。
（师生共同完成解题过程）
上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小。当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数。只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小。
师：我们知道底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称,观察对数函数和的图象，我们有什么发现？
学生思考，提问并总结
对数函数的其他性质：
1．对数函数和对数函数的图象关于x轴对称；
2．对数函数是非奇非偶函数。
例1：比较下列各组中两个数的大小：
（1）（2）
（3）
师：请同学们观察这三组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小？