2017年江苏省高考数学卷及答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1．（5分）已知集合A ={1，2}，B ={a ，a 2+3}．若A ∩B ={1}，则实数a 的值为 ． 2．（5分）已知复数z =（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入x 的值为161，则输出y 的值是 ．（第4题） （第6题） （第12题） 5．（5分）若tan （α﹣4 ）=61．则tan α= ．6．（5分）如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则21V V 的值是 ． 7．（5分）记函数f （x ）=26x x -+定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ． 9．（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=47，S 6=463，则a 8= ． 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 11．（5分）已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数．若)2()1(2a f a f +-≤0．则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m +n = ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PB PA ⋅≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 ．14．（5分）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=Dx x D x x x f ,,)(2，其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ，则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

15．（14分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证： （1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．16．（14分）已知向量a =（cos x ，sin x ），b =（3，3-），x ∈[0，π]． （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记f （x ）=b a ⋅，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为21，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为710cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．1（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数1)(23+++=bx ax x x f （a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f ，)(x 的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b 2＞3a ； （3）若f )(x ，f ，)(x 这两个函数的所有极值之和不小于﹣27，求a 的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II （附加题）考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~ 第23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

三、附加题：本大题共3小题，共计40分。

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。

若多做，则按作答的前两小题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ．【选修4-1：几何证明选讲】（10分）如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证： （1）∠P AC =∠CAB ； （2）AC 2 =AP •AB ．B ．【选修4-2：矩阵与变换】（10分） 已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001． （1）求AB ；（2）若曲线C 1：12822=+y x 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．C ．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=28ty tx （t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==sy sx 2222（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．D ．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac +bd ≤8．22．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，∠BAD =120°．（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值．23．已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，n ∈N *，n ≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m +n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k =1，2，3，…，m +n ）．123…m +n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E （X ）是X 的数学期望，证明E （X ）＜)1)((-+n n m n．2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考答案与试题解析数学I一、填空题。

1．（5分）已知集合A ={1，2}，B ={a ，a 2+3}．若A ∩B ={1}，则实数a 的值为 1 ． 【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A ={1，2}，B ={a ，a 2+3}．A ∩B ={1}， ∴a =1或a 2+3=1， 解得a =1． 故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z =（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z ．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数z =（1+i ）（1+2i ）=1﹣2+3i =﹣1+3i ，∴|z |=223)1(+-=10．故答案为：10．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件． 【分析】由题意先求出抽样比例即为1006，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为100060=1006， 则应从丙种型号的产品中抽取300×1006=18件． 故答案为：18．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为161，则输出y 的值是 ﹣2 ． 【分析】直接模拟程序即得结论． 【解答】解：初始值x =161，不满足x ≥1， ∴y =2+log 2161=2﹣log 242=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的 常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）若tan （α﹣4π）=61．则tan α= 1.4 ． 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可．【解答】解：∵tan （α﹣4π）=611tan 1tan 4tan tan 14tantan =+-=+-ααπαπα ∴6tan α﹣6=tan α+1， 解得tan α=1.4． 故答案为：1.4．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．6．（5分）如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则21V V 的值是 1.5 ．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果． 【解答】解：设球的半径为R ，则球的体积为：π34R 3， 圆柱的体积为：πR 2•2R =2πR 3．则233423321==R R V V ππ． 故答案为：23． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）记函数f （x ）=26x x -+定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是95． 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【解答】解：由6+x ﹣x 2≥0得x 2﹣x ﹣6≤0，得﹣2≤x ≤3， 则D =[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率P =)4(5)2(3----=95．故答案为：95 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是32．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线1322=-y x 的右准线：x =23，双曲线渐近线方程为：y =33x ，所以P （23，23），Q （23，﹣23），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是：3421⨯⨯=32． 故答案为：32．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=47，S 6=463，则a 8= 32 ． 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ≠1，S 3=47，S 6=463，可得471)1(31=--q q a ，4631)1(61=--q q a ，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ≠1，∵S 3=47，S 6=463，∴471)1(31=--q q a ，4631)1(61=--q q a ，解得a 1=41，q =2， 则a 8=7241⨯=32． 故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ． 【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和为6600⨯xx 4+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=6600⨯xx 4+≥⨯⨯24x x⨯900=240（万元），当且仅当x =30时取等号． 故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知函数xxe e x x xf 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数．若)2()1(2a f a f +-≤0．则实数a 的取值范围是 [1-，5.0] ．【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数x xee x x xf 12)(3-+-=的导数为： f ′（x ）=3x 2﹣2+e x +xe 1≥22+-x xe e 1⨯=0， 可得f （x ）在R 上递增；又f （﹣x ）+f （x ）=（﹣x ）3+2x +e ﹣x ﹣e x +x 3﹣2x +e x ﹣xe 1=0， 可得f （x ）为奇函数， 则f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f （1﹣a ）， 即有2a 2≤1﹣a ， 解得﹣1≤a ≤． 故答案为：[﹣1，21]． 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m +n = 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7．可得cos α=251，sin α=257．C （51，57）．可得cos （α+45°）=53-．sin （α+45°）=51．B （53-，54）．利用OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），即可得出． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）． 由OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7． ∴cos α=251，sin α=257．∴C （51，57）． cos （α+45°）=22（cos α﹣sin α）=53-． sin （α+45°）=22（sin α+cos α）=54． ∴B （53-，54）． ∵OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），∴51=m 53-n ，57=0+54n ， 解得n =47，m =45．则m +n =3． 故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PB PA ⋅≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 [25-，1] ．【分析】根据题意，设P （x 0，y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x +y +5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P （x 0，y 0），则有x 02+y 02=50，PB PA ⋅=（﹣12﹣x 0，﹣y 0）•（﹣x 0，6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y +x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x +y +5≤0以及直线下方的区域，联立⎩⎨⎧=++=+05250002020y x y x ，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[25-，1]． 故答案为：[25-，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x 0、y 0的关系式．14．（5分）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=D x x D x x x f ,,)(2，其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ，则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 8 ． 【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=Dx x Dx x x f ,,)(2，其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ，分析f （x ）的图象与y =lg x 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=D x x Dx x x f ,,)(2，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，⎩⎨⎧∉-∈-=Dx x Dx x x f ,1,)1()(2，此时f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点；区间[3，4）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f （x ）的图象与y =lg x 有且只有一个交点； 区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y =lg x 无交点； 故f （x ）的图象与y =lg x 有8个交点； 即方程0lg )(=-x x f 的解的个数是8． 故答案为：8．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二、解答题。