一次函数之面积问题(转化法)
一次函数之面积问题(与坐标轴围成的面积)(人教版)(含答案)
一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互转2.已知一次函数y=kx+(k-3)与一次函数y=2x+b交于点C(1，3)，则两条直线的函数图象与x 轴所围成的三角形的面积是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积5.已知一次函数的图象经过点(-2，0)，它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是( )A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积6.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积7.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.（1，0）B.（1，0）或（-1，0）C.（2，0）D.（2，0）或（-2，0）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积8.若直线y=x+k，x=1，x=4和x轴围成的直角梯形的面积等于9，则k的值为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。
当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。
本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。
一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。
通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。
若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。
二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。
如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。
三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。
四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。
解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。
将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。
接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。
将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧
解决一次函数与面积结合的问题需要掌握一些基本的数学技巧和思维方法。
一次函数通常表示为y = mx + c的形式，其中m和c 分别代表斜率和截距。
面积问题涉及到计算图形的面积，可以是矩形、三角形、梯形等各种形状的图形。
首先，对于一次函数与面积结合的问题，我们通常需要确定函数的表达式，并根据具体问题建立函数与图形面积之间的关系。
例如，如果要计算一次函数与x轴之间的面积，可以通过积分或几何方法求解。
对于矩形面积问题，可以利用一次函数的性质建立函数与矩形的关系，进而求解面积。
其次，要注意利用一次函数的性质来简化面积计算。
例如，对于一次函数y = mx + c，可以利用其斜率m的正负来判断图形在x 轴上方还是下方，从而简化面积计算的步骤。
另外，利用一次函数的对称性和平移性也能够简化面积计算的过程。
另外，对于特定形状的图形，可以利用一次函数的性质建立函数与图形面积之间的方程，然后通过方程求解面积。
例如，对于三角形，可以利用一次函数的性质建立直线与x轴之间的关系，然后
计算三角形的面积。
对于梯形，可以利用一次函数的性质建立两条直线与x轴之间的关系，然后计算梯形的面积。
总之，解决一次函数与面积结合的问题需要灵活运用一次函数的性质和面积计算的方法，建立函数与图形面积之间的关系，并通过方程求解面积。
同时，需要注意简化计算步骤，利用一次函数的对称性和平移性，以及对特定形状图形的特殊处理，来提高解题效率。
希望以上技巧对你有所帮助。
一次函数与面积经典题解析
一次函数与面积经典题解析一次函数与面积经典题是数学中常见的问题之一，涉及到了一次函数的性质以及面积的计算方法。
在解析这类题目时，我们需要理解一次函数的特点，并运用相关的几何知识进行推导和计算。
一次函数是指形式为y = ax + b的函数，其中a和b是常数，且a 不等于0。
一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。
我们可以通过斜率和截距来确定一次函数的性质和图像。
在解析一次函数与面积题目时，常见的题型包括计算线段与坐标轴所围成的面积、计算两条直线所围成的面积以及计算曲线与直线所围成的面积等。
首先，我们来看计算线段与坐标轴所围成的面积。
假设已知线段的两个端点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
由于线段与坐标轴平行，所以可以将其看作一个矩形。
根据矩形的面积公式，我们可以得到线段与坐标轴所围成的面积为|x2-x1| * |y1| 或 |x2-x1| * |y2|。
接下来，我们考虑计算两条直线所围成的面积。
假设两条直线的方程分别为y = ax + b1 和y = cx + b2。
我们可以首先求出两条直线的交点，设其坐标为(x0, y0)。
然后，我们可以将这个问题转化成计算两个梯形的面积之和。
其中一个梯形的上底为|x0-x1|，下底为|x0-x2|，高为|y0-y1|，另一个梯形的上底为|x0-x1|，下底为|x0-x2|，高为|y0-y2|。
最后，将两个梯形的面积相加，即可得到两条直线所围成的面积。
最后，我们来看计算曲线与直线所围成的面积。
假设曲线的方程为y = f(x)，直线的方程为y = mx + b。
我们可以首先求出曲线与直线的交点，设其坐标为(x0, y0)。
然后，我们可以将这个问题转化成计算一个梯形和一个三角形的面积之和。
梯形的上底为|x0-x1|，下底为|x0-x2|，高为|y0-f(x0)|，三角形的底为|x1-x2|，高为|f(x0)-mx0-b|。
最后，将梯形和三角形的面积相加，即可得到曲线与直线所围成的面积。
一次函数与面积问题
一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。
遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。
如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。
遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。
01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。
求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。
点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。
本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。
02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。
小专题(十二) 一次函数与面积问题
（2）通过已知点的坐标，求出直线解析式；
（3）求出题目中要求的点的坐标；
（4）检验坐标是否都符合题意.
（1）点 的坐标为______.
（2）求直线 的解析式.
解：把 ， 代入 ，得 解得 ∴直线 的解析式
当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差. 如图1， 或 . 如图2， .
类型3 由图形的面积或面积的数量关系求点的坐标
4.如图，在平面直角坐标系 中，已知一次函数 与 的图象都经过点 ，且分别与 轴相交于点 和点 .
（1）点 的坐标为______,点 的坐标为________.
（2）设点 在直线 上，且在 轴右侧，当 的面积为15时，求点 的坐标.
解：设直线 的解析式为 .把 ， 代入，得 解得 ∴直线 的解析式为 .
（2）求 的面积.
[答案] 对于 ，令 ，则 . . ， .联立 解得 . .
当所求三角形的一边在坐标轴上时，如图1， . 如图2， .
类型2 利用和差法求面积
2.已知直线 与直线 相交于点 ，点 的纵坐标为1，且直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，直线 与 轴相交于点 .
5.如图，在平面直角坐标系 中，直线 的解析式为 ，点 ， 的坐标分别为 ， ，直线 与直线 相交于点 .
（1）直线 的解析式为_____________.
（2）求点 的坐标.
[答案] 由题意，得 解得 ∴点 的坐标为 .
（3）若直线 上存在一点 ，使 的面积是 的面积的2倍，求点 的坐标.
（1）直线 的解析式为______________.
（2）连接 ，求 .
一次函数与面积问题
一次函数与面积问题一次函数与面积问题结合起来一起考查，是一类常考题型，它要求学生充分理解点的坐标的几何意义，能在坐标系中表示出线段的长度，会将面积问题转化为线段、坐标的关系问题，同时对于较复杂的问题能够依据题意画出图象，并借助图象进行分析与解答.一次函数与面积问题的相关类型如下.三角形的底在坐标轴上 三角形的底在坐标轴上时，利用点到坐标轴的距离求出高后直接求面积即可，注意点到坐标轴的距离要带绝对值． 如图①，S △OAC =21·OA ·CH=21·︱x A ︱·︱y C ︱； 如图②，S △OBC =21·OB ·CH=21·︱y B ︱·︱x A ︱三角形的底平行于坐标轴三角形的底平行于坐标轴时，利用平行于坐标轴的直线上的两点间距离求出底和高，最后用面积公式求出面积 如图①，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱x B -x A ︱·︱y C -y H ︱；如图②，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱y B -y A ︱·︱x C -x H ︱补形法或分割法如果三角形的边都不平行于坐标轴，可以采用补形法构造出有边平行于坐标轴的三角形或四边形后再求解． 如图①，S △ABC = S △OBC + S △OAC + S △AOB ； 如图②，S △ABC = S 梯形OACD + S △BCD + S △AOB ；如图③，S △ABC = S 梯形BOEC + S △ACE -S △AOB ； 如图④，S △ABC = S 矩形OAFD - S △BCD - S △ACF - S △AOB ；通过作平行于坐标轴的直线将三角形分成左右两个三角形或上下两个三角形来求解面积.作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法.如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽a ”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =0.5ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图①中，S △ABC =21·︱x A -x B ︱·︱y C -y M ︱，如图②，S △ABC = S △ACM + S △BCM ；如图③，S △ABC = S △ABN + S △BCN 平行线转移法通过作平行线，利用平行线间的距离处处相等和底高关系转移三角形面积．如图④，AB ∥CG ，S △ABC =S △ABG例题1：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，2）和点B（0，4）．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）画出一次函数图象；（3）求一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积？分析：（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可；（2）用两点法画函数的图象（确定两点，描点，连线）．（2）利用交点点坐标求出三角形面积可．解：（1）依题意得：，解得，所以该一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）画出一次函数图象；（3）一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为：S＝×2×4＝4．例题2：已知直线y＝﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线y ＝﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．分析：（1）分别令x＝0、y＝0求解即可得到与坐标轴的交点；（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解：（1）当x＝0时，y＝﹣3x+6＝6，当y＝0时，0＝﹣3x+6，x＝2．所以A（2，0），B（0，6）；（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积＝S△ABO＝×2×6＝6．例题3：求一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积．分析：分别设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，则可分别求得A、B、C的坐标，则可求得△ABC的面积．解：设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，在y＝x+中，令y＝0可解得x＝﹣1，故A（﹣1，0），在y＝﹣2x+6中，令y＝0可解得x＝3，故B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，联立两函数解析式可得，解得，故C（2，2），∴在△ABC中，AB边上的高为2，∴S△ABC ＝×4×2＝4，即一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积为4．例题4：已知一次函数的图象与x轴交于点A（6，0），又与正比例函数的图象交于点B，点B在第一象限，且横坐标为4，如果△AOB（O为坐标原点）的面积为15，求这个一次函数与正比例函数的函数关系式．分析:如图作BC⊥OA于C，先根据三角形面积公式求出BC＝5，则B点坐标为（4，5），然后利用待定系数法分别求正比例函数和一次函数解析式．解：如图，作BC⊥OA于C，∵S△OAB＝OA•BC，∴×6×BC＝15，∴BC＝5，∴B点坐标为（4，5），设正比的解析式为y＝kx+b，把A（6，0）、B（4，5）代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+15．例题5：如图，已知一次函数图象交正比例函数图象于第二象限的A点，交x轴于点B（﹣6，0），△AOB的面积为15，且AB＝AO，求正比例函数和一次函数的解析式分析：作AC⊥OB于C点，如图，根据等腰三角形的性质得BC＝OC＝BC＝3，则C（﹣3，0），再利用三角形面积公式得×6•AC＝15，解得AC＝5，所以A（﹣3，5），然后利用待定系数法分别求直线OA的解析式和直线AB的解析式即可．解：作AC⊥OB于C点，如图，∵AB＝AO，∴BC＝OC＝BC＝3，∴C（﹣3，0），∵△AOB的面积为15，∴OB •AC＝15，即×6×AC＝15，解得AC＝5，∴A（﹣3，5），设直线OA的解析式为y＝kx，把A（﹣3，5）代入得﹣3k＝5，解得k＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x；设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（﹣3，5）、B （﹣6，0）分别代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10，即正比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣x，y＝x+10例题6：已知函数y＝（m+1）x+2m﹣6，（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y＝2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y＝﹣3x+1的交点，并求出这两条直线与y轴所围成三角形的面积．分析：（1）将点（﹣1，2）代入函数解析式求出m即可；（2）根据两直线平行即斜率相等，即可得关于m 的方程，解方程即可得；（3）联立方程组求得两直线交点坐标，再求出两直线与y轴的交点坐标，根据三角形面积公式列式计算即可．解：（1）∵函数y＝（m+1）x+2m﹣6的图象过（﹣1，2），∴2＝（m+1）×（﹣1）+2m﹣6，解得：m＝9，故此函数的解析式为：y＝10x+12；（2）由函数图象与直线y＝2x+5平行知二者斜率相等，即m+1＝2，解得：m＝1，故函数的解析式为：y＝2x﹣4；（3）如图，由题意，得：，解得：，∴两直线的交点A（1，﹣2），y＝2x﹣4与y轴交点B（0，﹣4），y＝﹣3x+1与y轴交点C（0，1）∴S△ABC＝×5×1＝．例题7：如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣3，0），点A的坐标为（﹣2.5，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置（求点P 的坐标）时，△OPA的面积为5，并说明理由．分析:（1）由直线与x 轴的交点的坐标，代入即可求出k 的值；（2）过点P 作x 轴的垂线段，能够发现P 点到x 轴的距离为P 点的纵坐标，代入直线方程用x 表示出来P 点的纵坐标，再套用三角形面积公式即可得出结论，再由点P 在第二象限，即可确定x 的取值范围；（3）分两种情况，一种P 点在x 轴上方，一种在x 轴下方，分类讨论即可得出结论．解：（1）∵点E （﹣3，0）在直线y ＝kx+6的图象上，∴有0=-3k+6，解得：k ＝2．故k 的值为2．（2）过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为点B ，如图1．∵点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，∴P 点横坐标介于E 、F 的横坐标之间，∴﹣3＜x ＜0．∵点P 在直线y ＝2x+6上，∴y ＝2x+6．∵PB ⊥x 轴，且P 点在第二象限，且点A 的坐标为(-2.5,0)，∴PB ＝y ＝2x+6，OA ＝2.5．∴△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝2.5x+7.5．故△OPA 的面积S 与x 的函数关系式为S ＝2.5x+7.5（-3＜x ＜0）．（3）∵令（2）中的关系式中x ＝0，解得S ＝7.5＞5，∴若点P 在x 轴上方时，必在第二象限，点P 在x 轴下方时，必在第三象限．①当点P 在x 轴上方时，有△OPA 的面积S ＝2.5x+7.5，令S ＝5，即2.5x+7.5，解得：x=-1．此时点P 的坐标为(-1,4)；②当点P 在x 轴下方时，如图2，此时PB=-y=-2x-6，△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝0.5·×2.5×（﹣2x ﹣6）＝﹣2.5x ﹣7.5＝5，解得：x=-5．此时点P 的坐标为（-5，-4）．综上可知：点P 运动到(-1,4)或(-5,-4)时，△OPA 的面积为5．例题8：如图，已知l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于点D ．（1）求直线l 1，l 2的解析式；（2）若直线l 1与l 2交于点P ，求S △ACP ：S △ACD 的值分析:（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可；（2）观察两个三角形，它们具有相同的底边，因此它们面积的比就是它们高的比，即点P 和点D 横坐标绝对值的比．解：（1）∵l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），∴﹣2＝2×（﹣3）+m ，解得：m ＝4，∴l 1：y ＝2x+4；∵l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：k ＝，b ＝﹣3，∴l 2：y ＝x ﹣3；（2）令，解得：，∴点P （﹣，），∵△ACP 和△ABD 同底，∴面积的比等于高的比，∴S ：S ＝PM ：DO ＝：6＝7：9．例题9：如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，并把△AOB的面积分为2：3两部分，求直线l的解析式．分析:根据直线y＝x+4的解析式可求出A、B两点的坐标，当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，可分别求出△AOB与△AOC的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，同（1）．解：直线l的解析式为：y＝kx，对于直线y＝x+4的解析式，当x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝4，OB＝4，∴S△AOB＝×4×4＝8，当直线l把△AOB的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，S△AOC＝，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，∴×AO•CF＝，即×4×CF＝，∴CF＝．当y＝时，x＝﹣，则＝﹣k，解得，k＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S △BOC＝3：2时，同理求得CF＝，解得直线l的解析式为y＝﹣x．故答案为y＝﹣x或y＝﹣x．例题10：如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标分析:（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到AD的距离．解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，，代入表达式y＝kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值＝|﹣3|＝3，则P到AD距离＝3，∴P纵坐标的绝对值＝3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y＝1.5x ﹣6，y＝3，∴1.5x﹣6＝3x＝6，所以P（6，3）．跟踪练习1.如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6,0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABO的面积为15，求直线OA的解析式2.点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标3.如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P.(1)求点P的坐标；(2)求△PAB的面积4.已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5．（1）求这两条直线的函数关系式（2）求它们与x轴围成的三角形面积5.已知两条直线y=2x-3和y=6-x.(1)求出它们的交点A的坐标；(2)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积6.已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B．（1）求两直线交点C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由.7.如图，已知直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点．（1）求点A、点B的坐标和△AOB的面积．（2）求线段AB的长．（3）若直线l经过原点，与线段AB交于点P（P为一动点），把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式．8.已知如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，另一直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（4，0），且把△AOB分成两部分．（1）若l1∥l2，求过点C的直线的解析式．（2）若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，求过点C的直线的解析式．9.已知：如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y＝kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由10.如图，直线y＝kx+12与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（16，0），点A的坐标为（12，0）．点P （x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．（1）求k的值；（2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式．（3）是否存在点P（x，y），使△OPA的面积为△OEF的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．11.已知正比例函数y＝k1x和一次函数y＝k2x+br的图象如图所示，它们的交点A（﹣3，4），且OB＝OA．（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积和周长．12.直线PA 是一次函数y=x+n 的图像，直线PB 是一次函数y=-2x+m （m ＞n ＞0）的图像，（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标（2）直线PB 交y 轴于点Q ，四边形PQOB 的面积是65，AB=2，求直线PA 、直线PB 的解析式13.△AOB 的顶点O （0，0）、A （2，1）、B （10，1），直线CD⊥x 轴且△AOB 面积二等分，若D （x ，0），求x 的值14.如图，已知由x 轴、一次函数y ＝kx+4（k ＜0）的图象及分别过点C （1，0）、D （4，0）两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．15.已知长方形ABCD 的边长AB ＝9，AD ＝3，现将此长方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴的正半轴上，经过点C 的直线y ＝x ﹣2与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．（1）求点E 、B 的坐标；（2）求四边形AECD 的面积；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形？若存在，则求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16.正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）．（1）直线y ＝x经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；（2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（3）若直线l 1经过点F （﹣，0），且与直线y ＝3x 平行，将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位交轴x 于点M ，交直线l 1于点N ，求△NMF 的面积．17.直线L 1：y=kx+b 过点B （-1,0）与y 轴交于点C,直线L 2：y=mx+n 与L1交于点P （2,5）,且过点A （6,0）,过点C 与L 2平行的直线交x 轴与点D ．（1）求直线CD 的函数解析式（2）求四边形APCD 的面积．18.直线y=-33x+1与x 轴y 轴分别交点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=900，点P （a ，1／2）在第二象限，△ABP 的面积与△ABC 面积相等，求a 的值.19.已知直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b （k ≠0）经过点C （1，0），且把△AOB 分为两部分，（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；（2）若△AOB 被分成的两部分面积为1：5，求k 和b 的值20.直线y=-32x+3交x 、y 两坐标轴分别于点A 、B ，交直线y=2x-1于点P ，直线y=2x-1交x ，y 坐标轴分别为C 、D ，求△PAC 和△PBC 的面积各是多少？21.如图，直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 、B ，直线l 1，l 2相交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求△ADC 的面积．22.已知直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（-1,6）和（1，2），它和x 轴、y 轴分别交于B 和A ；直线l 2：y ＝-0.5x-3，它和x 轴、y 轴的交点分别是D 和C ．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）设直线l 1与l 2交于点P ，求△PBC 的面积23.如图，直角坐标系xoy 中，一次函数y=-0.5x+5的图像l 1分别与x ，y 轴交于A 、B 两点，正比例函数的图像l 2与l 1交于点C （m ，4）.（1）求m 的值及l 2的解析式；（2）求S △AOC -S △BOC 的值；（3）一次函数y=kx+1的图像为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值一次函数与面积问题答案1.解：过点A 作AC ⊥OB 于点C ，设AC ＝m （m ＞0）由△AOB 的面积为15，OB ＝6得21OB ×m ＝15，即21×6×m ＝15，∴m ＝5，得A （－4，5）．设正比例函数解析式y ＝k 1x （k 1≠0）把x ＝－4，y ＝5代入得k 1＝−45，∴y ＝−45x ．设一次函数解析式y ＝k 2x ＋b （k 2≠0），把x ＝－4，y ＝5和x ＝－6，y ＝0代入得：⎩⎨⎧+-=+-=b k b k 226045，解得k 2=25,b=15．∴y ＝25x+15． 2.点B 在直线y=-x+1上，且点B 在第四象限，点A （2，0）、O （0，0），△ABO 的面积为2，求点B 的坐标解：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵△ABO 的面积为2，∴21OA ×BC=2，OA ×BC=4,∵OA=2,∴BC=2,∵B 点在第四象限，∴B 点的纵坐标是-2，∵B 点在y=-x+1上，∴当y=-2时，-x+1=-2，x=3，∴B 的坐标是（3，-2）3.分析:（1）联立两个解析式，组成方程组，再解方程即可得到P 点坐标；（2）分别利用函数解析式计算出A 、B 两点的坐标，在求△APB 的面积即可．解：（1），解得，故P （﹣1，2）；（2）∵函数y ＝（）x+2.5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴A （﹣5，0），∵函数y ＝﹣x+1中，当y ＝0时，x ＝1，∴B （1，0），∴S △APB ＝×6×2＝6．4.(1)y=kx 过M(2,3),∴3=2k,k=32,∴y=32x.∵y=ax+b 过M(2,3),则2a+b=3,b=3-2a,∴y=ax+(3-2a),∵S ΔOMN =21×|3-2a|×2=|3-2a|=5,∴2a-3=±5,a=4或a=-1,∴直线y=ax+b 的解析式为y=4x+5或y=-x-5；(2)①当y=4x+5时,令y=0得x=-5/4,∴y=4x+5与x 轴交于A(-5/4,0),S ΔOAM =21×45×3=15/8；②当y=-x-5时,令y=0得x=-5,∴y=-x-5与x 轴交于B(-5,0),S ΔOBM =21×5×3=15/2 5.分析:（1）根据两直线相交的问题，通过解方程组即可得到两直线的交点坐标；（2）先根据x 轴上点的坐标特征求出两直线与x 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．解：（1）解方程组得，所以两直线的交点坐标为（3，3）；（2）当y ＝0时，2x ﹣3＝0，解得x ＝，则直线y 1＝2x ﹣3与x 轴的交点坐标为（，0）；当y ＝0时，6﹣x ＝0，解得x ＝6，则直线y 2＝6﹣x 与x 轴的交点坐标为（0，6）；所以这两条直线与x 轴所围成的三角形面积＝×（6﹣）×3＝． 6.分析:（1）解方程组即可得出交点坐标；（2）分别求出A ，B 的坐标即可求出三角形的面积；（3）假设在直线y ＝﹣2x ﹣1上存在点P 使得S △APC ＝6，设点P （x ，y ），分类讨论x 的取值后即可得出答案；解：（1）解方程组解得：x ＝﹣1，y ＝1，所以点C 的坐标为（﹣1，1）；（2）直线y ＝2x+3与y 轴的交点A 的坐标为（0，3），直线y ＝﹣2x ﹣1与y 轴的交点B 的坐标为（0，﹣1），所以AB ＝4，S △ABC ＝×4×|﹣1|＝2；（3）假设在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P使得S△APC＝6，设点P（x，y），则①当x＜﹣1时，有S△APB﹣S △ABC＝6，即×4×|x|﹣2＝6,解得x＝4（舍去）或x＝﹣4，把x＝﹣4代入y＝﹣2x﹣1，得y＝7,②当x＞0时，有S△APB+S△ABC＝6，即×4×x+2＝6,解得x＝2，把x＝2代入y＝﹣2x﹣1得y＝﹣5,所以在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P（﹣4，7）和P（2，﹣5），使得S△APC＝6．7.分析:（1）把x＝0，和y＝0代入解析式y＝x+6解答即可，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）利用两点间的距离公式计算即可；（3）设P点的坐标为（m，m+6），然后分两种情况求得P的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线L的解析式．解：（1）∵直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（0，6）B（﹣6，0），∴OA＝6，OB＝6，∴S△AOB ＝OA•OB＝×6×6＝18；（2）∵A（0，6）B（﹣6，0），∴AB＝＝6；（3）设P点的坐标为（m，m+6），∴S△POB＝OB•（m+6）＝3（m+6），∵把△AOB的面积分成2：1两部分，∴S△POB：S△AOB＝2：3或1：3，∴＝或，解得m＝﹣2或﹣4，∴P（﹣2，4）或（﹣4，2），设直线L的解析式为y＝kx，∴4＝﹣2k或2＝﹣4k，解得k＝﹣2或k＝﹣，∴直线L的解析式为或y＝﹣2x．8.分析:（1）当l1∥l2时，k＝﹣，然后将C（4，0）代入l2的解析式中即可求出b的值．（2）容易求得C（4，0），且C是OA的中点，所以直线l2是△AOB的中线，从而求出C的直线解析式．解：（1）由题意可知：k＝﹣,∴直线的解析式为：y＝﹣x+b,把（4，0）代入上式，∴b＝2,∴直线的解析式为：y＝﹣x+2;（2）令y＝0代入y＝﹣x+4，∴x＝8，∴点A（8，0）,令x＝0代入y＝﹣x+4，y＝4，∴B （0，4）,∴C是OA的中点,若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，则直线l2与△AOB的中线重合，即直线l2过点B把（0，4）和（4，0）代入y＝kx+b，∴,解得：,∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+4 9.分析:（1）直接把E的坐标为（8，0）代入y＝kx+6就可以求出k的值；（2）根据三角形的面积公式S△OPA＝，然后把y转换成x，△OPA的面积S与x的函数关系式就可以求出了；（3）直接把S＝9代入（2）中的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．解：（1）把点E（8，0）代入y＝kx+6，得8k+6＝0，解得，k＝；（2）∵点P（x，y）在第一象限内的直线y＝x+6上,∴点P的坐标为（x，x+6）且x＞0，x+6＞0,过点P作PD⊥x轴于点D，则△OPA的面积＝OA×PD,即.∴（0＜x＜8）；（3）由S＝9得，，解得x＝4，把x＝4代入y＝x+6，得y＝×4+6＝3,这时，P有坐标为（4，3）；即当P运动到点（4，3）这个位置时，△OPA的面积为9．10.分析:（1）直接把点E的坐标代入直线y＝kx+12求出k的值即可；（2）过点P作PD⊥OA于点D，用x表示出PD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把△OPA的面积为△OEF的面积的，得出△OPA的面积代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线y＝﹣x+12即可得出结论．解：（1）∵直线y＝kx+12与x轴交于点E，且点E的坐标（16，0）,∴16k+12＝0，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+12；（2）过点P作PD⊥OA于点D，∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点,∴PD＝﹣x+12．∵点A的坐标为（12，0）,∴S＝×12×（﹣x+12）＝﹣x+72；（3）∵y＝﹣x+12，∴当y＝0时，x＝16，∴OF＝16，OE＝16，∵△OPA的面积为△OEF的面积的，∴△OPA的面积＝，∴﹣x+72＝36，解得x＝8，将x＝8代入y＝﹣x+12得y＝6，∴P（8，6）．11.分析：（1）先利用两点间的距离公式计算出OA＝5，易得OB＝3，则B（3，0），然后利用待定系数分别求正比例函数和一次函数的解析式；（2）先利用两点间的距离公式计算出AB，然后根据三角形面积公式和周长的定义求解．解：（1）∵点A（﹣3，4），∴OA＝＝5，而OB＝OA，∴OB＝3，∴B（3，0），把A（﹣3，4）代入y＝k1x得﹣3k1＝4，解得k1＝﹣，∴自变量函数解析式为y＝﹣x；把A（﹣3，4）、B（3，0）分别代入y＝k2x+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2）AB＝＝2，△AOB的面积＝×3×4＝6，△AOB的周长＝3+5+2＝8+2．12.分析:二元一次方程组与一次函数的综合运用，再加上四边形的面积．首先根据一次函数求出点的坐标，求第（2）问时，设PB与y轴交于一点M，四边形面积等于三角形MOB的面积﹣三角形MQP的面积，从而得出结果．解：（1）设A（a，0），B（b，0），P（x，y）．由题意得：a+n＝0①，﹣2b+m＝0②，由①②得a＝﹣n，b＝．解方程组，得．故A（﹣n，0），B（，0），P（，）；（2）设PB与y轴交于一点M，则M（0，m），Q（0，n）．则S MOB＝m＝，S MQP＝＝．所以＝③，又＝2④,由③④联立，解得．∴点P的坐标为（，），直线PA的解析式为y＝x+1，直线PB的解析式为y＝﹣2x+2．13.分析：先用待定系数法求出直线OB的解析式，再设CD交AB于点E，交OB于点F，故可得出F点的坐标及EF、EB、AB的长，再根据S△BEF＝S△AOB即可得出x的值，进而得出结论．解：设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），∵B（10，1），∴1＝10k，解得k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，∵D（x，0），∴F（x，），∴EF＝1﹣，EB＝10﹣x，AB＝10﹣2＝8，∴S△BEF＝××（10﹣x）＝，∴S△AOB＝×8×1＝2×，解得x＝10﹣2．14.分析：根据点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上得出A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，根据四边形ABDC的面积为7代入即可求出k的值．解：∵点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上，∴A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，∵四边形ABDC 的面积为7，∴[（k+4）+（4k+4）]•3＝7，∴k＝﹣，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4．15.分析：（1）对于直线y＝x﹣2，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，根据四边形ABCD为矩形，得到对边相等，求出BC的长，即为C纵坐标，代入直线解析式求出C横坐标，即可确定出B坐标；（2）由B与E的横坐标之差求出EB的长，四边形AECD面积＝矩形ABCD面积﹣三角形ECB面积，求出即可；（3）在y轴上存在一点P，使△PEF为等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P1F＝EF；若EF＝P2F；若P3F＝P3E；分别求出P的坐标即可．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝4，∴E（4，0），F（0，﹣2），∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝3，DC ＝AB ＝9，把y ＝3代入直线y ＝x ﹣2，得：x ＝10，即B （10，0）；（2）∵E （4，0），B （10，0），∴EB ＝10﹣4＝6，∴S 四边形AECD ＝S 矩形ABCD ﹣S △ECB ＝9×3﹣×6×3＝27﹣9＝18；（3）存在，如图所示，分三种情况考虑：若P 1F ＝EF ＝＝2，∴OP 1＝OF+P 1F ＝2+2，此时P 1（0，﹣2﹣2）；若EF ＝P 2F ＝2，∴OP 2＝P 2F ﹣OF ＝2﹣2，此时P 2（0，2﹣2）；若P 3F ＝P 3E ，此时P 3在线段EF 垂直平分线上，线段EF 垂直平分线为y+1＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x+3，令x ＝0，得到y ＝3，此时P 3（0，3），综上，在y 轴上存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形，此时P 的坐标为（0，﹣2﹣2）或（0，2﹣2）或（0，3）．16.分析：（1）求得C 的坐标，以及E 的坐标，则求得AE 的长，根据直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分的直线与CD 的交点F 到C 的距离一定等于AE ，则F 的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得直线EF 的解析式；（3）根据直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，知k ＝3，把F 的坐标代入即可求出b 的值即可得出直线11，同理求出解析式y ＝2x ﹣3，进一步求出M 、N 的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF 的面积．．解：（1）在y ＝x 中，令y ＝4，即x ＝4，解得：x ＝5，则B 的坐标是（5，0）；令y ＝0，即x ＝0，解得：x ＝2，则E 的坐标是（2，0）．则OB ＝5，OE ＝2，BE ＝OB ﹣OA ＝5﹣2＝3，∴AE ＝AB ﹣BE ＝4﹣3＝1，边形AECD ＝（AE+CD ）•AD ＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与CD 的交点F ，必有CF ＝AE ＝1，则F 的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y ＝kx+b ，则，解得．则直线l 的解析式是：y ＝2x ﹣4；（3）∵直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，设直线11的解析式是y 1＝kx+b ，则k ＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b ，解得b ＝，∴y 1＝3x+，已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y ＝2x ﹣4+，即：y ＝2x ﹣3，当y ＝0时，x ＝，∴M （，0），解方程组得：，即：N （﹣7，﹣19），S △NMF ＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF 的面积是．17.将B 和P 点带入y=kx+b 中,得：0=-k+b,5=2k+b 即：k=b=35，所以L1为：y=35 x+35，C 的坐标：(0,5/3) 将P 和A 带入y=mx+n 中，得5=2m+n ，0=6m+n ，解得：m=-5/4,n=15/2，即L 2的方程为：y=-45x+215，∵CD ∥AP ， ∴CD 直线的解析式可以设为：y=-45x+b ′，∵x=0时，y=35×0+35=35，∴C 的坐标是（0，35），把C 的坐标带入CD 的解析式中，得b ′=35，∴CD 的直线解析式为y=-45x+35，由y=-45x+35与x 轴交于点D ，得D 坐标为：(4/3,0)，由P 做PM ⊥x 轴于M ，则PM=5，∵A 的坐标是（6,0），B 的坐标是（-1,0），D 的坐标是(4/3,0)，C 的坐标是（0，35），∴AB=7，BD=37，OC=35，∴四边形APCD 的面积=三角形BAP 面积-三角形BDC 面积=21×7×5-21×37×35=9140 18.分析：由已知求出A 、B 的坐标，求出三角形ABC 的面积，再利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 的方程，把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．解：连接OP ，∵直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴A （，0），B （0，1），AB ＝＝2，∴S △ABP ＝S △ABC ＝2，又S △ABP ＝S △OPB +S △OAB ﹣S △AOP ，∴﹣a ×1+×1﹣＝4，解得a ＝．答：a 的值为a ＝．19.分析：（1）△AOB 被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是三角形AOB 的面积的一半，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）必过B 点，因此根据B ，C 两点的函数关系式可得出，直线的函数式．（2）若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角形面积的，已知了直线过C 点，则小三角形的底边是大三角形的OA 边的一半，故小三角形的高应该是OB 的，即直线经过的这点的纵坐标应该是．那么这点应该在y 轴和AB 上，可分这两种情况进行计算，运用待定系数法求函数的解析式．解：（1）由题意知：直线y ＝kx+b （k ≠0）必过C 点，∵C 是OA 的中点，∴直线y ＝kx+b 一定经过点B ，C ，如图（1）所示，把B ，C 的坐标代入可得：，解得k ＝﹣2，b ＝2；（2）∵S △AOB ＝×2×2＝2，∵△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴或AB 交点的纵坐标就应该是：2×2×＝，①当y ＝kx+b （k ≠0）与直线y ＝﹣x+2相交时，交点为D ，如图（2）所示，当y ＝时，直线y ＝﹣x+2与y ＝kx+b （k ≠0）的交点D 的横坐标就应该是﹣x+2＝，∴x ＝，即交点D 的坐标为（，），又根据C 点的坐标为（1，0），可得：，∴，②当y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴相交时，交点为E ，如图（3）所示，∴交点E 的坐标就应该是（0，），又有C 点的坐标（1，0），可得：，∴，因此：k ＝2，b ＝﹣2或k ＝﹣，b ＝．20.解：过P 分别向x 轴、y 轴分别做PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，由y=-32x+3和y=2x-1联立可得x=23，y=2，∴p 的坐标是（23，2），∴PM=23，PN=2，易求得A 、B 、C 、D 的坐标分别为（29，0），（0,3），（21，0），（0，-1），∴AC=4，BD=4，OC=21，∴S △PAC =21AC ·PM=3，S △PBC =S △PBD -S △BCD =21BD ·PN-21BD ·OC=4-1=3. 21.分析：（1）利用直线l 1的解析式令y ＝0，求出x 的值即可得到点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法求出直线l 2的解析式，得到点A 的坐标，再联立直线l 1，l 2的解析式，求出点C 的坐标，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：（1）∵直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，∴令y ＝0，得x ＝1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析式为y ＝kx+b （k ≠0），∵A （4，0），B （3，），∴，解得，∴直线l 2的解析式为y ＝﹣x+6．由，解得，∴C （2，3）．∵AD ＝4﹣1＝3，∴S △ADC ＝×3×3＝．22.分析:（1）因为点（﹣1，6）和（1，2）在直线l 1：y ＝k 1x+b 1，所以把这两点的坐标代入解析式求出k 1、b 1的值就可以了．（2）知道直线l 2的解析式就可以求出C 、D 的坐标，根据l 1的解析式就可以求出A 、B 的坐标就可以求出BD 、OA 、OC 的长利用三角形的面积公式求出四边形ABCD 的面积．（3）利用l 1、l 2的解析式求出交点坐标P ，就可以求出△PDB 的面积，然后求出三角形DCB 的面积，这两个三角形的面积之差就是△PBC 的面积． 解：（1）∵直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（﹣1，6）和（1，2）,∴，解得，∴直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4；（2）∵直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4,当x ＝0时，y ＝4，∴A （0，4）,∴OA ＝4,当y ＝0时，x ＝2，∴B （2，0）,∴OB ＝2,∵直线l 2：y ＝﹣x ﹣3,当x ＝0时，y ＝﹣3，即C （0，﹣3）.∴OC ＝3,当y ＝0时，x ＝﹣6，即D （﹣6，0）,∴OD ＝6,∴BD ＝8,∴S 四边形ABCD ＝+＝12+16＝28；（3）过点P 作PE ⊥BD 于E ，由l 1、l 2的解析式得：解得：，∴P （，﹣）,∴OE ＝，PE ＝,∴S △PBC ＝﹣＝﹣12＝．23.分析：（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，再根据A （10，0），B （0，5），可得AO ＝10，BO ＝5，进而得出S △AOC ﹣S △BOC 的值；（3）分三种情况：当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．解：（1）把C （m ，4）代入一次函数y ＝﹣0.5x+5，可得4＝﹣0.5m+5，解得m ＝2，∴C （2，4），设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2，∴l 2的解析式为y ＝2x ；（2）如图，过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，y ＝﹣0.5x+5，令x ＝0，则y ＝5；令y ＝0，则x ＝10，∴A （10，0），B （0，5），∴AO ＝10，BO ＝5，∴S △AOC ﹣S △BOC ＝0.5×10×4﹣0.5×5×2＝20﹣5＝15；（3）一次函数y ＝kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，∴当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．。
坐标系中的面积问题(转化法)(通用版)(含答案)
A.（1，0）或（5，0）B.（2，0）或（4，0）
C.（0，1）或（0，5）D.（0，2）或（0，4）
答案：B
解题思路：∵A（0，6），B（3，0），
∴直线AB：y=-2x+6．
①如图，过点C作 ∥AB，交x轴于点 ，
则直线 ：y=-2x+4，
易知直线 的解析式为 ，
联立直线 ： 和反比例函数： ，
，解得 ，
∵点 在第三象限，
∴点 ．
∴点P的坐标为 ．
试题难度：三颗星知识点：平行线转化求面积
7.函数y=x的图象与函数 的图象在第一象限内交于点B，点C是函数 的图象上一动点，且点C的横坐标为4．若点P是x轴上的动点，且满足 ，则点P的坐标是( )
A.（-4，1）B.（-8，1）
C.（-4，1）或（8，1）D.（-8，1）或（12，1）
答案：B
解题思路：如图，先作出直线y=1，过点C作 ∥AB，与直线y=1交于第一象限，不符合题意；再在直线AB下方作 ∥AB，与直线y=1交于点P．
由 ，得B（0，2），A（4，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，易证△AOB≌△CDA，
∴ ．
②另一种情况：如图，在直线AB上方作 ∥AB，与x轴交于点 ，由于AB向下平移2个单位到 ，则AB向上平移2个单位到 ，
故 ：y=-2x+8，
∴ ．
综上，答案选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线转化求面积
2.如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点M是OB的中点，点P是直线AM上一动点，若 ，则点P的坐标为( )
解题思路：容易求得反比例函数为 ，点A（2，1），直线OB的解析式为 ．
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一次函数之面积问题（转化法）
单选题(本大题共4小题，共100分)
1.(本小题25分)如图，点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，1)，点P是第一象限内直线y=-x+3
上的一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积( )
∙ A. 逐渐增大
∙ B. 逐渐减小
∙ C. 先减小后增大
∙ D. 始终不变
核心考点:分割法求面积平行线转化求面积
2.(本小题25分)如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B两点，以AB为直角
边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点．若，则点P的坐标为( )
∙ A.
∙ B.
∙ C. (1,4)或(1，-1)
∙ D. (1,3)或(1，0)
核心考点:平行线转化求面积一次函数、坐标、几何的互相转化
3.(本小题25分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为
直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P是直线y=1上一动点，若△ABP 的面积与△ABC的面积相等且点P在第二象限，则点P的坐标为( )
∙ A. (-4,1)
∙ B. (-8,1)
∙ C. (-4,1)或(8,1)
∙ D. (-8,1)或(12,1)
核心考点:平行线转化求面积一次函数、坐标、几何的互相转化
4.(本小题25分)如图，直线与x轴，y轴分别交于A,B两点，以AB为边在
AB上侧
作等边△ABC，若平面内有一点P(m，)，使得△ABP与△ABC的面积相等，则m的值为( )
∙ A.
∙ B.
∙ C.
∙ D.
核心考点:平行线转化求面积一次函数、坐标、几何的互相转化
单选题(本大题共4小题，共100分)
1.(本小题25分)如图，点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，1)，点P是第一象限内直线y=-x+3
上的一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积( )
∙ A. 逐渐增大
∙ B. 逐渐减小
∙ C. 先减小后增大
∙ D. 始终不变
核心考点:分割法求面积平行线转化求面积
2.(本小题25分)如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B两点，以AB为直角
边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点．若，则点P的坐标为( )
∙ A.
∙ B.
∙ C. (1,4)或(1，-1)
∙ D. (1,3)或(1，0)
核心考点:平行线转化求面积一次函数、坐标、几何的互相转化
3.(本小题25分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为
直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P是直线y=1上一动点，若△ABP 的面积与△ABC的面积相等且点P在第二象限，则点P的坐标为( )
∙ A. (-4,1)
∙ B. (-8,1)
∙ C. (-4,1)或(8,1)
∙ D. (-8,1)或(12,1)
核心考点:平行线转化求面积一次函数、坐标、几何的互相转化
4.(本小题25分)如图，直线与x轴，y轴分别交于A,B两点，以AB为边在
AB上侧
作等边△ABC，若平面内有一点P(m，)，使得△ABP与△ABC的面积相等，则m的值为( )
∙ A.
∙ B.
∙ C.
∙ D.
核心考点:平行线转化求面积一次函数、坐标、几何的互相转化。