高一数学必修1教师用书：模块综合检测(苏教版)
高中数学(苏教版必修一)模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，请把答案填在题中横线上)．已知集合＝，＝，则∩＝.【解析】＝＝，∩＝.【答案】．如果集合＝{>－}，那么下列结论成立的是．(填序号)()⊆；(){}∈；()∅∈；(){}⊆.【解析】元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故()()()不对，又∈，所以{}⊆.【答案】()．设集合＝{，，…，}，＝{，，…，}，定义集合⊕＝{(，)＝＋＋…＋，＝＋＋…＋}，已知＝{}，＝{}，则⊕的子集为．【解析】因为根据新定义可知，＋＋＝＋＋＝，故⊕的子集为∅，{()}．【答案】∅，{()}．若函数()＝的定义域为，()＝(－()的定义域为，则∁(∪)＝.【解析】由题意知，(\\(－>，－>))⇒<<.∴＝()．(\\(－>，(－(≥))⇒≤.∴＝(－∞，]，∪＝(－∞，]∪()，∴∁(∪)＝(]∪[，＋∞)．【答案】(]∪[，＋∞)．若方程－＋＝在区间(，)(，∈，且－＝)上有一根，则＋的值为．【解析】设()＝－＋，则(－)＝－<，(－)＝>，所以＝－，＝－，则＋＝－.【答案】－．已知函数＝()与＝互为反函数，()＝(－)＋，则()的图象恒过定点．【解析】由题知()＝，∴()＝－＋，由－＝，得＝，故函数()＝－＋(>，≠)的图象恒过定点.【答案】．已知函数()＝(－)＋＋为偶函数，则()在(－，－)上是．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数．【解析】∵()为偶函数，∴＝，即()＝－＋在(－，－)上是增函数．【答案】①．已知函数()＝＋(＞且≠)在[]上的最大值与最小值之和为＋，则＝.【解析】依题意，函数()＝＋(＞且≠)在[]上具有单调性，因此＋＋＝＋，解得＝.【答案】．已知()＝(\\(＋，≤，，>，))若()＝，则＝.【解析】当≤时，令＋＝，解得＝－或＝(舍去)；当>时，令＝，解得＝.综上，＝－或＝.【答案】－或．若＝()是奇函数，当>时，()＝＋，则错误!＝.【解析】∵()是奇函数，∴错误!＝(－)＝－( )．又>，且>时，()＝＋，∴错误!＝－.【答案】－．定义在上的函数()满足()＝(\\((－(，≤， (－(－ (－(，>，))则()的值为．【解析】∵>，且>时，()＝(－)－(－)，∴()＝()－()，又()＝()－()，所以()＝－()，又∵≤时，()＝(－)，∴()＝－()＝－(－)＝－.【答案】－．函数＝()的图象如图所示，则函数＝()的图象大致是．(填序号)。
【三维设计】2013届高中数学 教师用书 模块综合检测 苏教版必修1.doc
模块综合检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上) 1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，13)，则f (25)的值是________．解析：设f (x )＝x α，将(9，13)代入得9α＝13，即32α＝3－1，∴2α＝－1，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12.∴f (25)＝25－12＝15.答案：152．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．①y ＝x 3②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |解析：y ＝x 3为奇函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数．故只有②符合条件答案：②3．若集合A ＝{x |log 12x ≤12}，则∁R A ＝________．解析：由log 12x ≤12得x ≥(12)12＝22.∴A ＝[22，＋∞)．∴∁R A ＝(－∞，22)． 答案：(－∞，22) 4．试比较1.70.2、log 2.1 0.9与0.82.1的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________． 解析：log 2.10.9<0，1.70.2>0，0.82.1>0. ∵1.70.2>1.70＝1，0.82.1<0.80＝1， ∴log 2.10.9<0.82.1<1.70.2. 答案：log 2.10.9<0.82.1<1.70.25．设集合M ＝{x |x －m ≤0}，N ＝{y |y ≥－1}，若M ∩N ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：M ＝(－∞，m ]，N ＝[－1，＋∞)，∵M ∩N ＝∅， ∴m <－1. 答案：m <－16．(2012·山东高考改编)函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋ 4－x 2的定义域为________．解析：x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.答案：(－1，0)∪(0，2]7．若函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________． 解析：由条件可得3a －b ＝0，即b ＝3a ， ∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ，令g (x )＝0 得x ＝－1，0. 答案：－1，08．函数f (x )＝log 13(－3x ＋2)的单调递增区间为________．解析：∵函数的定义域为－3x ＋2>0，∴x <23.令u ＝－3x ＋2，∵f (u )＝log 13u 是减函数，要求f (x )的单调增区间，只需求u ＝－3x ＋2的递减区间，即(－∞，23)．答案：(－∞，23)9．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)，化简得x (e －x＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－110．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝2x，函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又∵当x >0时，f (x )＝2x，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x＝－f (x )， ∴f (x )＝－2－x＝－(12)x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，0，x ＝0，－（12）x，x <0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >00，x ＝0－（12）x，x <011．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则不等式f (x )≥1的解集是________．解析：x >0时，由log 3x ≥1得x ≥3，∴x ≥3. 当x ≤0时，由2x≥1得x ≥0，∴x ＝0. 由上可知解集为{x |x ＝0或x ≥3}． 答案：{x |x ＝0或x ≥3}12．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下左图，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是________．解析：由f (x )的图象可知a ∈(0，1)，b ∈(－∞，－1)．∵0<a <1，∴y ＝a x单调递减，b <－1，∴x ＝0时，y ＝b ＋1<0，故g (x )＝a x＋b 的图象是①.答案：①13．函数y ＝log 2x ＋log 2(1－x )的最大值是________．解析：要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x >01－x >0，解得0<x <1，又y ＝log 2[x (1－x )]＝log 2[－(x －12)2＋14]，当x ∈(0，1)时，0<－(x －12)2＋14≤14，∴y ≤log 214＝－2，∴y max ＝－2. 答案：－214．设定义在R 上的关于x 的函数f (x )＝ax ＋a ＋1，当－1<x <1时，函数有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：根据零点存在性定理知，f (－1)f (1)<0， ∵f (－1)＝1>0，∴f (1)＝2a ＋1<0，解得a <－12.答案：a <－12二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)[(549)0.5＋(0.008)－23÷(0.2)－1]÷0.06250.25；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解：(1)原式＝[(73)2×0.5＋(0.2)3×(－23)÷(0.2)－1]÷(0.5)4×14＝(73＋52÷5)÷0.5＝223÷12＝443. (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝[(log 66－log 63)2＋log 62·(log 63＋log 66)]÷log 64 ＝[log 62(log 62＋log 63＋1)]÷2log 62＝1.16．(本小题满分14分)已知集合M ＝{x |－ax 2＋2x ＋1＝0}只有一个元素，A ＝{x |y ＝－x ＋1}，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x －1}．(1)求A ∩B ；(2)设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与A ∩B 的关系． 解：(1)由x ＋1≥0得x ≥－1， 则A ＝{x |x ≥－1}；由y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，得y ≤0， 则B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤0}．(2)因为集合M 只有一个元素，所以当a ＝0时， 方程2x ＋1＝0只有一个实数解，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝4－4(－a )＝0，解得a ＝－1. 所以N ＝{－1，0}，则N ⊆A ∩B .17．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ＝ax 2＋2－3x －b. 因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x，f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．证明：设x 1<x 2≤－1，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝23(x 2－x 1)(1－1x 1x 2)＝23(x 2－x 1)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵x 1<x 2≤－1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>1，f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．18．(本小题满分14分)A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得小于10 km ，已知供电费用刚好和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数k ＝0.2，若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)写出x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)10≤x ≤90.(2)y ＝[20x 2＋10(100－x )2]×0.2 ＝6x 2－400x ＋20 000(10≤x ≤90)． (3)由(2)知，y ＝6x 2－400x ＋20 000 ＝6(x －1003)2＋40 0003.∴当x ＝1003时，y min ＝40 0003.即核电站建在距A 城1003km 处时，才能使供电费用最小．19．(本小题满分16分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2，2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1，2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解：(1)由条件得f (1)＝1，f (2)＝2，f (0)＝2得a ＝1，b ＝－2，c ＝2，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∴M ＝f (－2)＝4＋4＋2＝10，m ＝f (1)＝1.(2)由条件得ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个相等实根1，从而a ＋b ＋c ＝1，(b －1)2＝4ac ，得c ＝a ，b ＝1－2a .则f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a .∵a ≥1，∴对称轴x ＝2a －12a ＝1－12a ∈[12，1)，∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (1－12a )＝1－14a .∴g (a )＝9a －14a －1，(a ≥1)，又g (a )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (a )最小值＝g (1)＝8－14＝314.20．(本小题满分16分)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(1)求证：函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数； (2)若f (1)<f (lg x )，求x 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0， 因为f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴f (－x 1)>f (－x 2)， 又因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)，f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数． (2)当0<x ≤1时，lg x ≤0，由f (1)<f (lg x )得f (－1)<f (lg x )，函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数， ∴－1>lg x ，0<x <110，当x ≥1时，lg x ≥0，由f (1)<f (lg x )，f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴lg x >1，x >10，综上所述，x 的取值范围是1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪(10，＋∞)．。
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模块检测(时间：100分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x＜m}满足A∪B＝R，A∩B＝∅，则实数m ＝________.解析结合数轴知，当且仅当m＝3时满足A∪B＝R，A∩B＝∅.答案 3答案 43．已知x－1＋x＝22，且x＞1，则x－x－1的值为________．解析由x－1＋x＝22平方得x－2＋2＋x2＝8，则x－2－2＋x2＝4，∴(x－1－x)2＝4，又∵x＞1，∴x－x－1＝2.答案 24．函数y＝log x(3－x)的定义域为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧3－x＞0x＞0x≠1得(0,1)∪(1,3)．答案(0,1)∪(1,3)5．函数f(x)＝x3＋x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．解析f(x)－1＝x3＋x为奇函数，又f(a)＝2，∴f(a)－1＝1，故f(－a)－1＝－1，即f(－a)＝0.答案06．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，若P＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12＜2，x ∈R }，则P －Q ＝________.解析 由定义P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，求P －Q 可检验P ＝{1,2,3,4}中的元素在不在Q ＝{x |x ＋12＜2，x ∈R }中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P －Q 中的元素，故P －Q ＝{4}．答案 {4}7．若函数y ＝12x 2－x ＋32的定义域和值域都为[1，b ]，则b 的值为________．解析 由二次函数图象知：12b 2－b ＋32＝b ，得b ＝1或b ＝3，又因为b ＞1，所以b ＝3.答案 38．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文―→明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 由已知，当x ＝3时y ＝6，所以a 3－2＝6，解得a ＝2；∴y ＝2x －2；当y ＝14时，有2x －2＝14，解得x ＝4.答案 “4”9．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析 画出函数y ＝2－x 与y ＝3－x 2的图象，它们有两个交点，故方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为2个．答案 2答案 a >1或－1<a <011．若函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2；则m 的取值集合为________．解析 由y ＝x 2－2x ＋3即y ＝(x －1)2＋2，结合图象分析知m 的取值范围为[1,2]时，能使得函数取到最大值3和最小值2.答案 [1,2]12．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是________．解析 结合图象分析知：y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位而得到的；而y ＝f (x ＋2)是偶函数，即y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，画出图象可以得到f (72)＜f (1)＜f (52)．答案 f (72)＜f (1)＜f (52)13．如果函数f (x )满足f (n 2)＝f (n )＋2，n ≥2，且f (2)＝1，那么f (256)＝________. 解析 f (256)＝f (162)＝f (16)＋2＝f (42)＋2＝f (4)＋4＝f (22)＋4＝f (2)＋6＝1＋6＝7.答案 714．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 由条件f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2，即－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，由此解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2，所以a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154.答案 154二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上可知，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅，符合题意；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，符合题意；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}，由根与系数的关系得⎩⎨⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)，1×2＝a 2－5.即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，a 2＝7，∴a ∈∅.综上可知，a 的取值范围是a ≤－3.16．(本小题满分14分)试讨论关于x 的方程|3x －1|＝k 的解的个数．解 设f (x )＝|3x －1|，则关于x 的方程|3x －1|＝k 的解的个数可转化为观察函数f (x )的图象与直线y ＝k 的交点个数；而函数f (x )＝|3x －1|＝⎩⎨⎧3x －1，(x ≥0)1－3x ，(x ＜0)，由函数y ＝3x 的图象通过图象变换易作出函数f (x )的图象，如下图所示：直线y ＝k 是与x 轴平行或重合的直线，观察上图知：当k ＜0时，直线y ＝k 与f (x )的图象没有交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为0个；当k ＝0时，直线y ＝k 与f (x )的图象有1个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为1个；当0＜k ＜1时，y ＝k 与f (x )的图象有2个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为2个；当k ≥1时，直线y ＝k 与f (x )的图象有1个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为1个．17．(本小题满分14分)若奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，(1)求满足f (1－a )＋f (－a )＜0的a 的取值集合M ；(2)对于(1)中的a ，求函数F (x )＝log a [1－(1a )2－x ]的定义域．解 (1)不等式f (1－a )＋f (－a )＜0可化为f (1－a )＜－f (－a )，而f (x )为奇函数，∴f (1－a )＜f (a )，又f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，∴⎩⎨⎧ －1＜1－a ＜1，－1＜－a ＜1，1－a ＞a ，解得0＜a ＜12，∴M ＝{a |0＜a ＜12}．(2)为使F (x )＝log a [1－(1a )2－x ]有意义，必须1－(1a )2－x ＞0，即(1a )2－x ＜1.由0＜a＜12得1a ＞2，∴2－x ＜0，∴x ＞2.∴函数的定义域为{x |x ＞2}．18．(本小题满分16分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎨⎧ (30＋t )(40－t )，(0≤t ＜10)，(40－t )(50－t )，(10≤t ≤20).(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.∴第5天，日销售额y 取得最大，为1 225元；第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，试求x ∈[1，a ＋1]时函数f (x )的最值． 解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a ＞1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，∴(a ＋1)－a ≤a －1；又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴结合函数f (x )的图象得x ∈[1，a ＋1]时，函数f (x )的最值为：f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x ＞1时，f (x )＜0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)证明：f (x )在定义域上是减函数；(2)如果f (33)＝1，求满足不等式f (x )－f (x －2)≥－2的x 的取值范围．(1)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2x 1＞1， ∴f (x 2x 1)＜0. 又f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )在定义域内是减函数．(2)解 由已知f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，得2f (33)＝f (33)＋f (33)＝f (13)＝2.∴f (x )－f (x －2)≥－2即为f (x )＋2＝f (x )＋f (13)＝f (x 3)≥f (x －2)，∵f (x )在定义域内是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 3≤x －2，x ＞0，x －2＞0，∴x ≥3.∴满足题意的x 的取值范围是[3，＋∞)．。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x ||x |<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x ||x |<2＝{}x |－2<x <2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】{}0，12．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .【解析】 元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .【答案】 (4)3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B ⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．【解析】 因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．【答案】 ∅，{(3,15)}4．若函数f (x )＝log 2 (x －1)2－x 的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________.【解析】 由题意知，⎩⎨⎧x －1>0，2－x >0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．⎩⎨⎧1－x >0，ln (1－x )≥0⇒x ≤0. ∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)． 【答案】 (0,1]∪[2，＋∞)5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．【解析】 设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.【答案】 －36．已知函数y ＝g (x )与y ＝log a x 互为反函数，f (x )＝g (3x －2)＋2，则f (x )的图象恒过定点________．【解析】 由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －2＋2，由3x －2＝0，得x ＝23，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，37．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是________．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数． 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．【答案】 ①8．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.【解析】 依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.【答案】 29．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)； 当x >0时，令2x ＝10， 解得x ＝5.综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】 －3或510．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝________.【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝f (－log 2 3) ＝－f (log 2 3)．又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝－4.【答案】 －411．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.【答案】 －212．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是________．(填序号)图1【解析】 设y ＝log 12u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.【答案】 ③13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.【解析】 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥1)，2x －1(x <1)，∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 [－1,0)14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ， 当a ≤－1，x ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ， 即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3.所以－3≤a ≤－1. 【答案】 [－3，－1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 3＋23log 2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 3 2＋32log 3 2＋log 3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝152＋lg 2＋lg 5＝152＋1＝172.16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．图2(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？ 【解】 由题图知P 1：y 1＝ax n 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a ·1n，52＝a ·4n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x ，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎨⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)． (2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516， 此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示． 【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)， 即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧a x－1(x ≥0)，－a －x＋1(x ＜0).(3)不等式等价于 ⎩⎨⎧ x －1＜0，－1＜－a－x ＋1＋1＜4， 或⎩⎨⎧x －1≥0，－1＜a x －1－1＜4，即⎩⎨⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎨⎧x －1≥0，0＜a x －1＜5. 当a ＞1时，有⎩⎨⎧x ＜1，x ＞1－log a 2或⎩⎨⎧x ≥1，x ＜1＋log a 5，注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0， 当a >1时，由a x －1>0，解得x >0； 当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的. 20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，且当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 【解】 (1)令x ＝y ＝0， 则f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数， 得2x ＋2<23，解得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。
苏教版数学高一 必修1模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．已知集合A ＝{}0，1，2，3，4，B ＝{}x ||x |<2，则A ∩B ＝________. 【解析】 B ＝{}x ||x |<2＝{}x |－2<x <2，A ∩B ＝{}0，1. 【答案】{}0，12．如果集合P ＝{x |x >－1}，那么下列结论成立的是________．(填序号) (1)0⊆P ；(2){0}∈P ；(3)∅∈P ；(4){0}⊆P .【解析】 元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故(1)(2)(3)不对，又0∈P ，所以{0}⊆P .【答案】 (4)3．设集合B ＝{a 1，a 2，…，a n }，J ＝{b 1，b 2，…，b m }，定义集合B ⊕J ＝{(a ，b )|a ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，b ＝b 1＋b 2＋…＋b m }，已知B ＝{0,1,2}，J ＝{2,5,8}，则B ⊕J 的子集为________．【解析】 因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故B ⊕J 的子集为∅，{(3,15)}．【答案】 ∅，{(3,15)} 4．若函数f (x )＝log 2 (x －1)2－x的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝________.【解析】 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x >0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，ln (1－x )≥0⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪2，＋∞)． 【答案】 (0,1]∪2，＋∞)5．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＋b 的值为________．【解析】 设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，所以a ＝－2，b ＝－1，则a ＋b ＝－3.【答案】 －36．已知函数y ＝g (x )与y ＝log a x 互为反函数，f (x )＝g (3x －2)＋2，则f (x )的图象恒过定点________．【解析】 由题知g (x )＝a x ，∴f (x )＝a 3x －2＋2，由3x －2＝0，得x ＝23，故函数f (x )＝a 3x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，37．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是________．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数． 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数．【答案】 ①8．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a ＝________.【解析】 依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.【答案】 29．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，若f (x )＝10，则x ＝________. 【导学号：37590093】【解析】 当x ≤0时，令x 2＋1＝10，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)； 当x >0时，令2x ＝10， 解得x ＝5.综上，x ＝－3或x ＝5. 【答案】 －3或510．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝________.【解析】 ∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝f (－log 2 3) ＝－f (log 2 3)．又log 2 3>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1， 故f (log 2 3)＝2log 2 3＋1＝3＋1＝4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 13＝－4. 【答案】 －411．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．【解析】 ∵3>0，且x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝－f (0)，又∵x ≤0时，f (x )＝log 2 (4－x )，∴f (3)＝－f (0)＝－log 2 (4－0)＝－2.【答案】 －212．函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是________．(填序号)图1【解析】 设y ＝log 12u ，u ＝f (x )，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u ＝f (x )的单调性，在(0,1)上u ＝f (x )为减函数，所以整体是增函数，u >1，所以函数值小于0，在(1,2)上u ＝f (x )为增函数，所以整体是减函数，u >1，所以函数值小于0，所以选③.【答案】 ③13．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________. 【导学号：37590094】【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥1)，2x －1(x <1)，∴画图象可知－1≤m <0. 【答案】 －1,0)14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ≤－1)，若当x ∈－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ，当a ≤－1，x ∈－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .又f (x )≥a 恒成立，所以f (x )min ≥a ， 即3＋2a ≥a ，解得a ≥－3. 所以－3≤a ≤－1. 【答案】 －3，－1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分) 的值；(2)求(log 2 3＋log 8 9)(log 3 4＋log 9 8＋log 3 2)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值．【解】(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 3＋23log 2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 3 2＋32log 3 2＋log 3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝53log 2 3·92log 3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝152＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝152＋lg 2＋lg 5＝152＋1＝172.16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2 x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2 x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．(本小题满分14分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n ，P 2：y 2＝bx ＋c 如图2所示．图2(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？ 【解】 由题图知P 1：y 1＝ax n 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，x ∈0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎨⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈0，＋∞)．(2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54 x ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516， 此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 18．(本小题满分16分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a ＞0且a ≠1.(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1＜f (x －1)＜4，结果用集合或区间表示． 【解】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)， 即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－a －x ＋1(x ＜0)． ∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1(x ≥0)，－a －x ＋1(x ＜0).(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＜0，－1＜－a－x ＋1＋1＜4，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，－1＜a x －1－1＜4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＜0，－3＜a －x ＋1＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，0＜a x －1＜5.当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞1－log a 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＜1＋log a 5，注意此时log a 2＞0，log a 5＞0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0＜a ＜1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为R .19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【解】 (1)函数f (x )有意义，则a x －1>0， 当a >1时，由a x －1>0，解得x >0； 当0<a <1时，由a x －1>0，解得x <0. 所以当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．(2)当a >1时，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则即f (x 1)>f (x 2)．由函数单调性定义知：当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是单调递增的. 20．(本小题满分16分)设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，且当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值；(2)判断函数的奇偶性； 【导学号：37590095】 (3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 【解】 (1)令x ＝y ＝0， 则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数．(3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则x 2－x 1>0， ∴f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0.∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f x ＋(2＋x )] ＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数， 得2x ＋2<23，解得x <－23. 故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第1章 集合综合检测 苏教版必修1
第一章集合(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．下列指定的对象，不能构成集合的是________．(把正确的序号填上)①一年中有31天的月份；②平面上到点O的距离等于1的点；③满足方程x2－2x－3＝0的x；④某校高一(1)班性格开朗的女生．【解析】①是集合，一年中有31天的月份只有1,3,5,7,8,10,12这7个月份；②是集合，平面上到点O的距离等于1的点在圆上；③是集合，满足方程x2－2x－3＝0的x只有－1和3；④不是集合，“性格开朗”无明确界限不符合集合中元素的确定性．【答案】④2．在下列5个写法：①{0}∈{0,1,2}；②∅；③0∈∅；④{0,1,2}⊆{1,2,0}；⑤0∩∅＝∅.其中错误的写法个数为________．【解析】①不正确，因为{0}⊆{0,1,2}；②正确，因为空集是任何非空集合的真子集；③不正确，∅不含有任何元素；④正确，因为任何集合是它自身的子集；⑤不正确，元素与集合不能运算．【答案】3个3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.【解析】∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.【答案】 34．已知集合A＝(1,3)，B＝[2,4]，则A∪B＝________.【解析】∵A＝(1,3)，B＝[2,4]，∴结合数轴(如图)，可知A∪B＝(1,4]．【答案】(1,4]5．满足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的集合M的个数是________．【解析】∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中必须含有元素5，∴M可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．【答案】 46．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝________.【解析】M∪N＝{1,3,5,6,7}，则∁U(M∪N)＝{2,4,8}．7．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为________．【解析】 当a ＝0时，A ＝{－12}，当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，则Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，综上，a ＝0或1.【答案】 0或18．下列四个推理，其中正确的序号为________．①a ∈A ⇒a ∈A ∪B ； ②a ∈A ∪B ⇒a ∈A ∩B ；③A ∪B ＝B ⇒A ⊆B ； ④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .【解析】 ①正确，结合A ∪B 的定义可知a ∈A ⇒a ∈A ∪B ；②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{3,4},1∈A ∪B ，但1∉A ∩B ；③正确，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；④正确，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ⇒A ∩B ＝B .【答案】 ①③④9．已知集合A ＝{x |x ＝k 3，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k 6，k ∈Z }，则A 与B 的关系为________． 【解析】 ∵k 3＝2k 6，∴k 3∈B ，∴A ⊆B ，但B 中元素16∉A ，∴A B . 【答案】 A B10．(2013·苏州高一检测)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪∁R B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2，∵A ∪∁R B ＝R ，∴a ≥2.【答案】 {a |a ≥2}11．已知集合M ＝{x |x ＝12[1＋(－1)n ]，n ∈Z }，N ＝{－1，0,1}，P ＝{x |x 2＝x }．有下列结论：①M ⊆N ；②P N ；③M ＝P ；④M ⊆P ；⑤M P ；⑥M P .其中，所有正确结论的序号为________．【解析】 集合M ＝{0,1}，N ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1}，由子集意义，得M ⊆N ，M ＝P ，P N ，M ⊆P .所以①③④正确．【答案】 ①③④12．定义集合A 与B 的运算⊗：A ⊗B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}，则(A ⊗B )⊗B 为________．【解析】 由运算⊗的定义，得A ⊗B ＝{1,2,5,6,7}，则(A ⊗B )⊗B ＝{1,2,5,6,7}⊗{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．13．(2013·南京高一检测)某班有学生55人，其中音乐爱好者35人，体育爱好者45人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有________人．【解析】 设既爱好体育又爱好音乐的学生有x 人，则(35－x )＋(45－x )＋x ＋4＝55，解得x ＝29.【答案】 2914．已知集合A ＝{x |x ＝19(2k ＋1)，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝49k ±19，k ∈Z }，则集合A ，B 之间的关系为________．【解析】 设x 1∈A ，则x 1＝19(2k 1＋1)，k 1∈Z ， 当k 1＝2n ，n ∈Z 时，x 1＝19(4n ＋1)＝49n ＋19，∴x 1∈B ；当k 1＝2n －1，n ∈Z 时，x 1＝19(4n －2＋1)＝49n －19，∴x 1∈B .∴A ⊆B .又设x 2∈B ，则x 2＝49k 2±19＝19(4k 2±1)，k 2∈Z ，而4k 2±1表示奇数，2n ＋1(n ∈Z )也表示奇数，∴x 2＝19(4k 2±1)＝19(2n ＋1)，k 2∈Z ，n ∈Z .∴x 2∈A ，∴B ⊆A .综上可知A ＝B .故填A ＝B .【答案】 A ＝B二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}， (1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P .【解】 借助数轴，如图．(1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}，(2)∵∁U B ＝{x |≤－1或x >3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}． 16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{3,4，m 2－3m －1}，B ＝{2m ，－3}，若A ∩B ＝{－3}，求实数m 的值并求A ∪B .【解】 ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A .又A ＝{3,4，m 2－3m －1}，∴m 2－3m －1＝－3，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，B ＝{2，－3}，A ＝{3,4，－3}，满足A ∩B ＝{－3}，∴A ∪B ＝{－3,2,3,4}．当m ＝2时，B ＝{4，－3}，A ＝{3,4，－3}，不满足A ∩B ＝{－3}舍去．综上知m ＝1.17．(本小题满分14分)(2013·杭州高一检测)已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．【解】 (1)A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1a ＋3≤5，解得，－1≤a ≤2，(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .∴a ＋3<－1或a >5，∴a <－4或a >5.18．(本小题满分16分)已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x ，y 2,2}，若A ∩B ＝A ∪B ，求实数x ，y 的值．【解】 ∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 2，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝12，经检验⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，不合题意，舍去， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝12.19．(本小题满分16分)(2013·南京高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅，且B ⊆A ，求实数a ，b 的值．【解】A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}．由B⊆A，B≠∅，得B＝{1}或{－1}或{1，－1}．当B＝{1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根1，由根与系数的关系得a＝1，b ＝1；当B＝{－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根－1，由根与系数的关系得a＝－1，b＝1；当B＝{1，－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个根－1,1，由根与系数的关系得a＝0，b ＝－1.综上，a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1或a＝0，b＝－1.20．(本小题满分16分)设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)，由此你可以得到什么更一般的结论？(不必证明)．【解】(1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A－B＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，故A－B≠B－A.又如，A＝B＝{1,2,3}时，A－B＝∅，B－A＝∅，此时A－B＝B－A，故A－B与B－A不一定相等．(3)因为A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6<x≤4}，A－(A－B)＝{x|4<x<6}，B－(B－A)＝{x|4<x<6}，由此猜测：对于两个集合A，B，有A－(A－B)＝B－(B－A)．。
新教材高中数学模块测评含解析苏教版选择性必修第一册
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( ) A ．±12 B ．±2 C ．12 D ．－2D 〖因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2．〗2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°D 〖由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°．〗 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1〗D ．〖1，＋∞)B 〖由方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0可得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5k ，此方程表示圆，则5－5k >0，解得k <1．故实数k 的取值范围是(－∞，1)．故选B ．〗4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B 〖由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e＝52．〗 5．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD 〖因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，化简可得y ＝x ，故选D ．〗6．以F ⎝⎛⎭⎫0，p2(p ＞0)为焦点的抛物线C 的准线与双曲线x 2－y 2＝2相交于M ，N 两点，若△MNF 为正三角形，则抛物线C 的标准方程为( )A ．y 2＝26xB ．y 2＝46xC ．x 2＝46yD ．x 2＝26yC 〖由题意，以F ⎝⎛⎭⎫0，p 2(p ＞0)为焦点的抛物线C 的准线y ＝－p2代入双曲线x 2－y 2＝2，可得x ＝±2＋p 24，∵△MNF 为正三角形，∴p ＝32×22＋p 24，∵p ＞0，∴p ＝26，∴抛物线C 的方程为x 2＝46y ．〗7．若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．〖2，＋∞) B ．〖1，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－2，＋∞)B 〖由题意得：f ′(x )＝e x (sin x ＋a )＋e x cos x ＝e x ⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ． ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． 又e x ＞0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ≥0在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1． ∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ∈(－1＋a ，2＋a 〗，∴－1＋a ≥0，解得a ∈〖1，＋∞)．故选B ．〗 8．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．⎝⎛⎦⎤1，324C ．⎣⎡⎭⎫324，＋∞ D ．(2，＋∞)B 〖由题意得，A (a ，0)，F (2a ，0)，设P ⎝⎛⎭⎫x 0，b a x 0，由AP →⊥FP →，得AP →·PF →＝0⇒c 2a 2x 20－3ax 0＋2a 2＝0，因为在E 的渐近线上存在点P ，则Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0⇒9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒e ≤324，又因为E 为双曲线，则1＜e ≤324，故选B ．〗二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于定点P (1，1)和圆C ：x 2＋y 2＝4，下列说法正确的是( ) A ．点P 在圆内部 B ．过点P 有两条圆的切线C ．过点P 被圆截得的弦长最大时的直线方程为x －y ＝0D ．过点P 被圆截得的弦长最小值为22ACD 〖由12＋12＜4知，点(1，1)在圆内，∴A 对；且过P 不能作出圆的切线，∴B 错；过点P 的最大弦长为直径，所以方程应为y ＝x ，即x －y ＝0，∴C 对；D 中，过点P 且弦长最小的方程应是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，∴弦长为24－⎝⎛⎭⎫222＝22， ∴D 对，故应选ACD ．〗10．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，则下列说法正确的是( ) A ．a 5＝－16 B ．S 5＝－63C ．数列{}a n 是等比数列D ．数列{}S n ＋1是等比数列AC 〖因为S n 为数列{}a n 的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝2a 1＋1，因此a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{}a n 是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C 正确； 因此a 5＝－1×24＝－16，故A 正确；又S n ＝2a n ＋1＝－2n ＋1，所以S 5＝－25＋1＝－31，故B 错误；因为S 1＋1＝0，所以数列{}S n ＋1不是等比数列，故D 错误．故选AC ．〗11．定义在区间⎣⎡⎦⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，4)单调递增B ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值 D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值ABD 〖根据导函数图象可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在区间(0，4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选ABD ．〗12．下列说法正确的是( )A ．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为－b 2a 2B ．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点的弦中垂直于实轴的弦长为2b 2aC ．抛物线y 2＝2px上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若弦AB 经过抛物线焦点，则x 1x 2＝p 24D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 ABC 〖对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为A (－a ，0)，B (a ，0)， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点P (m ，n )，则 k P A ·k PB ＝n m ＋a ·n m －a ＝n 2m 2－a 2，又因为点P (m ，n )在椭圆上，可得m 2a 2＋n 2b 2＝1，解得n 2＝⎝⎛⎭⎫1－m 2a 2b 2，所以k P A ·k PB ＝－b 2a 2，所以A 项是正确的；对于B 中，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点F (c ，0)，则AB ＝2bc 2a 2－1＝2b 2a，故B 正确． 对于C 中，当AB 斜率不存在时，x A ＝x B ＝p 2，∴有x 1x 2＝p 24；当AB 斜率存在时，可设AB 方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2． 代入y 2＝2px 得k 2⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2px ，即k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24，故C 正确；对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的．〗三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________．25 〖因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25．〗14．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则|AB |＋r ＝________．2＋23 〖如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2，|AB |＝2r 2－OD 2＝23．∴|AB |＋r ＝23＋2．〗15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，则a 2＝________，S n ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)23 11－2n 〖S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，令n ＝1，则a 2＝2a 1(a 1＋a 2)，∴a 2＝－2(－1＋a 2)，解得a 2＝23．又S n ＋1－S n ＝2S n S n ＋1，整理得1S n －1S n ＋1＝2(常数)，即1S n ＋1－1S n ＝－2(常数)， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝－1为首项，－2为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－2(n －1)＝1－2n ， 故S n ＝11－2n．〗16．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f ′(x )＞f (x )(x ∈R )，f (2)＝e 2(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＜e x 的解集为________．(－∞，2) 〖构造f (x )＝f (x )e x ∴F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x ．由于f ′(x )＞f (x )，故F ′(x )＞0 ，即f (x )在R 上单调递增．又f (2)＝e 2，故f (2)＝f (2)e 2＝1，f (x )＜e x ，即f (x )＝f (x )ex ＜1＝f (2)，即x ＜2．〗四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1，4)，B (3，2)且圆心在y 轴上的圆的方程．〖解〗 线段AB 的中点为(1，3)，k AB ＝2－43－(－1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0，1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为(0＋1)2＋(1－4)2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10．18．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ．〖解〗 (1)设q (q >0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n ．(2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2． (1)求h (x )＝f (x )－3x 的极值；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围． 〖解〗 (1)由已知可得h (x )＝f (x )－3x ＝ln x ＋x 2－3x ， h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x(x ＞0)，令h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝0，可得x ＝12或x ＝1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(1，＋∞)时，h ′(x )＞0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，h ′(x )＜0，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12，(1，＋∞)上为增函数，在⎝⎛⎭⎫12，1上为减函数， 则h (x )极小值＝h (1)＝－2，h (x )极大值＝h ⎝⎛⎭⎫12＝－54－ln 2． (2)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ， g ′(x )＝1x＋2x －a (x ＞0)，由题意可知g ′(x )≥0(x ＞0)恒成立， 即a ≤⎝⎛⎭⎫2x ＋1x min ， ∵x ＞0时，2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立，∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1x min ＝22， ∴a ≤22，即实数a 的取值范围为(－∞，22〗．20．(本小题满分12分)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上，数列{b n }的前n 项和S n ＝2－b n ．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝－1a n ＋1log 2b n ＋1，求{c n }的前n 项和T n ．〖解〗 (1)∵点()a n ，a n ＋1(n ∈N ＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上，∴a n ＋1＝a n ＋1，∴数列{a n }是公差为1的等差数列． ∵a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n ．∵S n ＝2－b n ，∴S n ＋1＝2－b n ＋1，两式相减得：b n ＋1＝－b n ＋1＋b n ，即b n ＋1b n ＝12，由S 1＝2－b 1，即b 1＝2－b 1，得b 1＝1． ∴数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1．(2)log 2b n ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫12n＝－n ，∴c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x ，a ∈R ．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对任意的x ∈(e ，＋∞)都有f (x )＞0成立，求a 的取值范围． 〖解〗 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋12x 2－2x ，x ＞0，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ，f ′(1)＝0，f (1)＝－32，所以所求切线方程为y ＝－32．(2)f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x ．当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)递增；当a ≤0时，f (x )在(0，1)递减，(1，＋∞)递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，a )递增，(a ，1)递减，(1，＋∞)递增； 当a ＞1时，f (x )在(0，1)递增，(1，a )递减，(a ，＋∞)递增． (3)由f (x )＞0得(x －ln x )a ＜12x 2－x ．注意到y ＝x －ln x ，y ′＝x －1x，于是y ＝x －ln x 在(0，1)递减，(1，＋∞)递增，最小值为1，所以∀x ∈(e ，＋∞)，x －ln x ＞0．于是只要考虑∀x ∈(e ，＋∞)，a ＜12x 2－x x －ln x ．设g (x )＝12x 2－x x －ln x ，g ′(x )＝12(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2，注意到h (x )＝x ＋2－2ln x ，h ′(x )＝x －2x，于是h (x )＝x ＋2－2ln x 在(e ，＋∞)递增，h (x )＞h (e)＝e ＞0，所以g (x )在(e ，＋∞)递增，于是a ≤g (e)＝e 2－2e2(e －1)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．〖解〗 (1)由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3．所以C 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0．于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2． ①由AM ⊥AN 知AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0．将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0． 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0． 因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1，m ＝－23k －13．于是MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13． 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)． 由AM →·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0．又x 216＋y 213＝1，可得3x 21－8x 1＋4＝0．解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23． 此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13． 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13．若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223．若D 与P 重合， 则|DQ |＝12|AP |．综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。
2020_2021学年新教材高中数学模块综合测评含解析苏教版必修一
模块综合测评(教师独具)(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{－2}D ．{－2，－1}C [A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1}，所以A ∩B ＝{－2} ．故选C ．] 2．已知角α的终边经过点P (3，－4)，则tan α＝( ) A ．35 B ．－45 C ．－43 D ．43C [由正切的三角函数定义可知tan α＝y x ＝－43，故选C ．]3．已知命题p ：A ∩(∁U B )＝∅，命题q ：A B ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为A ∩(∁U B )＝∅⇔A ⊆B ，则q ⇒p, pq ．故p 是q 的必要不充分条件．]4．函数f (x )＝ln 3x－14＋3x －x 2的定义域为( ) A ．{x |－1<x <4} B ．{x |0<x <4} C ．{x |x >4}D ．{x |x <－1}B [函数f (x )＝ln 3x－14＋3x －x 2的定义域满足：⎩⎪⎨⎪⎧3x－1>0，4＋3x －x 2>0，解得0<x <4．故选B ．]5．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2A [取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立．] 6．若α＝－4，则下列结论不成立的是( ) A ．sin α>0 B ．cos α<0 C ．tan α<0D ．sin α<0D [α＝－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π，故角α的终边在第二象限．sin α>0，cos α<0，tan α<0，故选D ．]7．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12C [因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12．]8．已知函数f (x )＝sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0及直线l ：x ＝π3对称，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π不存在最值，则φ的值为( )A ． －π3B ．－π6C ．π6D ．π3C [函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0及直线l ：x＝π3对称． 则T 4＋kT 2＝π3＋π6＝π2，∴T ＝2π1＋2k，k ∈N ． f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π不存在最值，则T ≥π，故k ＝0时满足条件，T ＝2π，ω＝1．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，则－π6＋φ＝m π，∴φ＝m π＋π6，m ∈Z ． 当m ＝0时满足条件，故φ＝π6．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是( )A ．若幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，2，则解析式为y ＝x －3B ．若函数f (x )＝x －45，则f (x )在区间(－∞，0)上单调递减 C ．幂函数y ＝x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1) D ．若函数f (x )＝x ，则对于任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)有f x 1＋f x 22≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22CD [若幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，2，则解析式为y ＝x －13，故A 错误； 函数f (x )＝x －45是偶函数且在()0，＋∞上单调递减，故在()－∞，0单调递增，B 错误；幂函数y ＝x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)，C 正确； 任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，要证f x 1＋f x 22≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即x 1＋x 22≤x 1＋x 22，即x 1＋x 2＋2x 1x 24≤x 1＋x 22，即(x 1－x 2)2≥0，易知成立，故D 正确；故选CD ．]10．关于函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，下述结论正确的是( ) A ．若y ＝f (x )是奇函数，则f (0)＝0B ．若y ＝f (x )是偶函数，则y ＝|f (x )|也为偶函数C ．若y ＝f (x )(x ∈R )满足f (1)<f (2)，则f (x )是区间[1,2]上的增函数D ．若y ＝f (x )，y ＝g (x )均为R 上的增函数，则y ＝f (x )＋g (x )也是R 上的增函数 BD [对于A ． 若y ＝f (x )是奇函数，则f (0)＝0，当定义域不包含0时不成立，故A 错误；对于B ．若y ＝f (x )是偶函数，f (x )＝f (－x ) ，故|f (x )|＝|f (－x )|，y ＝|f (x )|也为偶函数，B 正确；对于C ．举反例：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432满足f (1)<f (2)，在[1,2]上不是增函数，故C 错误；对于D ．若y ＝f (x )，y ＝g (x )均为R 上的增函数，则y ＝f (x )＋g (x )也是R 上的增函数． 设x 1<x 2，则[f (x 2)＋g (x 2)]－[f (x 1)＋g (x 1)]＝[f (x 2)－f (x 1)]＋[g (x 2)－g (x 1)]>0， 故y ＝f (x )＋g (x )单调递增，故D 正确．故选BD ．] 11．已知函数f (x )＝1＋m3x＋1(m ∈R )为奇函数，则下列叙述正确的有( ) A ．m ＝－2B ．函数f (x )在定义域上是单调增函数C ．f (x )∈(－1,1)D ．函数F (x )＝f (x )－sin x 所有零点之和大于零 ABC [因为函数f (x )＝1＋m 3x＋1(m ∈R )为奇函数，所以f (0)＝1＋m 30＋1＝1＋m2＝0，解得m ＝－2，故A 正确；因此f (x )＝1－23x＋1．又因为y ＝3x＋1在定义域上是单调增函数，所以y ＝23x＋1为单调减函数，即f (x )＝1－23x ＋1在定义域上是单调增函数，故B 正确；令t ＝3x＋1，t ∈(1，＋∞)，所以f (t )＝1－2t在t ∈(1，＋∞)上的值域为(－1,1)，故C 正确；函数F (x )＝f (x )－sin x所有零点可以转化为f (x )＝sin x 的两个函数的交点的横坐标，因为f (x )和y ＝sin x 都为奇函数，所以若有交点必然关于原点对称，那么其和应等于零，如图，故选项D 错误．故选ABC ．]12．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h 的日晷及其投影长度s 的公式：s ＝h sin 90°－φsin φ，即等价于现在的s ＝h cot φ，我们称y ＝cot x 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是( )A ．函数y ＝cot x 的最小正周期为2πB ．函数y ＝cot x 关于(π，0)对称C ．函数y ＝cot x 在区间(0，π)上单调递减D ．函数y ＝tan x 的图象与函数y ＝cot x 的图象关于直线x ＝π2对称BC [y ＝cot x ＝cos x sin x ＝1tan x，画出函数图象，如图所示：故函数的最小正周期为π，关于(π，0)对称，区间(0，π)上单调递减．且函数y ＝tan x 的图象与函数y ＝cot x 的图象不关于直线x ＝π2对称．故选BC ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝sin x －tan x 在[－2π，2π]上零点的个数为________． 5 [由y ＝sin x －tan x ＝0得sin x ＝tan x, 即sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1cos x ＝0． ∴sin x ＝0或1－1cos x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )，又－2π≤x ≤2π，∴x ＝－2π，－π，0，π，2π， 从而图象的交点个数为5．]14．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，∁U B ∩A ＝{9}，则A ＝________．{3,9} [由题意画出Venn 图，如图所示．由图可知，A ＝{3,9}．]15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＝________．34 [2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝34．]16．已知函数f (x )＝12x －22x ＋1，则g (x )＝f (x )＋1是________函数(从“奇”“偶”“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式f (x 2－x )＋f (4x －10)≤－2的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)奇 (2)[－5,2] [函数y ＝12x ，y ＝－22x ＋1单调递增，故f (x )＝12x －22x ＋1单调递增；g (x )＝f (x )＋1＝12x －22x ＋1＋1＝12x ＋2x－12x ＋1，函数单调递增；g (－x )＝12(－x )＋2－x－12－x ＋1＝－12x －2x－12x ＋1＝－g (x )，故g (x )是奇函数；f (x 2－x )＋f (4x －10)≤－2，即g (x 2－x )≤－g (4x －10)＝g (10－4x )．故x 2－x ≤10－4x ，解得－5≤x ≤2．]三、解答题(本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4．(2)∵q 是p 的必要条件 ∴p 是q 的充分条件， ∴A ⊆∁R B ，∴m ＞6或m ＜－4．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2(其中a 为非零常数)． (1)求f (x )的单调增区间；(2)若a >0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为1，求a 的值．[解] (1)当 a >0时，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴当a >0时，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，当a <0时，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴当a <0时，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴当a >0时，f (x )的最小值为－a ＋2＝1，∴a ＝1．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )． (1)判断f (x )的奇偶性，并证明；(2)用定义证明函数f (x )在(0,2)上单调递减； (3)若f (x －2)＜f (x )，求x 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )＝lg(4－x 2)，所以函数f (x )的定义域为(－2,2)，因为f (－x )＝lg(4－(－x )2)＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)任取x 1，x 2∈(0,2)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(4－x 21)－lg(4－x 22)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 214－x 22，因为x 1，x 2∈(0,2)且x 1＜x 2，所以4－x 21＞4－x 22＞0，所以4－x 214－x 22＞1，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 214－x 22＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在区间(0,2)上单调递减． (3)因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (||x )，又因为f (x )定义域为(－2,2)，且在区间(0,2)上单调递减，f (x －2)<f (x )，所以⎩⎨⎧|x －2|>|x |，－2<x －2<2，－2<x <2，解之得0<x <1，所以x 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3． (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos (x 1－x 2)的值．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3． 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1．(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π．又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos (x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos (x 1－x 2)＝23．21．(本小题满分12分)如图，天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一 ．永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分钟．现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点P ，当点P 到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点P 在最低点处开始计时．(1)试确定在时刻t (单位：分钟)时点P 距离下层桥面的高度H (单位：米)；(2)若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？[解] (1)如图，建立平面直角坐标系．由题可知OP 在t 分钟内所转过的角为2π30×t ＝π15t ，因为点P 在最低点处开始计时，所以以Ox 为始边，OP 为终边的角为π15t －π2，所以点P 的纵坐标为55sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15t －π2，则H ＝55sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15t －π2＋58＝58－55cos π15t (t ≥0)，答：在t 分钟时点P 距离下层桥面的高度H 为58－55cos π15t (米)．(2)根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点P 在t ＝52分钟时距离下层桥面的高度．当t ＝52时，H ＝58－55cos π15t ＝58－55cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15×52＝58－5532． 答：上层桥面距离下层桥面的高度约为58－5532米．22．(本小题满分12分) 对于函数f (x )，若存在定义域中的实数a ，b 满足b >a >0且f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，则称函数f (x )为“M 类” 函数．(1)试判断f (x )＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；(2)若函数f (x )＝|log 2x －1|，x ∈(0，n )，n ∈N *为“M 类” 函数，求n 的最小值． [解] (1)不是．假设f (x )为M 类函数，则存在b >a >0，使得sin a ＝sin b ， 则b ＝a ＋2k π，k ∈Z 或者b ＋a ＝π＋2k π，k ∈Z ， 由sin a ＝2sina ＋b2，当b ＝a ＋2k π，k ∈Z 时，有sin a ＝2sin(a ＋k π)，k ∈Z ， 所以sin a ＝±2sin a ，可得sin a ＝0，不成立；当b ＋a ＝π＋2k π，k ∈Z 时，有sin a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，k ∈Z ， 所以sin a ＝±2，不成立， 所以f (x )不是M 类函数．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－log 2x ，0<x ≤2log 2x －1，x >2 ，则f (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，又因为f (x )是M 类函数，所以存在0<a <2<b ，满足1－log 2a ＝log 2b －1＝2|log 2a ＋b 2－1|， 由等式可得：log 2(ab )＝2，则ab ＝4， 所以a ＋b 2－2＝12(a ＋4a －4)＝a －222a>0， 则log 2a ＋b 2－1>0，所以得log 2b －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a ＋b 2－1， 从而有log 2b ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，则有2b ＝a ＋b 24，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋b 2＝8b ， 所以b 4－8b 3＋8b 2＋16＝0，则(b －2)(b 3－6b 2－4b －8)＝0，由b >2，则b 3－6b 2－4b －8＝0，令g (x )＝x 3－6x 2－4x －8，当2<x <6时，g (x )＝(x －6)x 2－4x －8<0，且g (6)＝－32<0，g (7)＝13>0，且g (x )连续不断，由零点存在性定理可得存在b ∈(6,7)，使得g (b )＝0，此时a ∈(0,2)，因此n 的最小值为7．。
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模块综合检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，13)，则f (25)的值是________． 解析：设f (x )＝x α，将(9，13)代入得9α＝13， 即32α＝3－1，∴2α＝－1，∴α＝－12， ∴f (x )＝x －12.∴f (25)＝25－12＝15. 答案：152．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |解析：y ＝x 3为奇函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数．故只有②符合条件答案：②3．若集合A ＝{x |log 12x ≤12}，则∁R A ＝________． 解析：由log 12x ≤12得x ≥(12)12＝22. ∴A ＝[22，＋∞)．∴∁R A ＝(－∞，22)． 答案：(－∞，22) 4．试比较1.70.2、log 2.1 0.9与0.82.1的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________．解析：log 2.10.9<0，1.70.2>0，0.82.1>0.∵1.70.2>1.70＝1，0.82.1<0.80＝1，∴log 2.10.9<0.82.1<1.70.2.答案：log 2.10.9<0.82.1<1.70.25．设集合M ＝{x |x －m ≤0}，N ＝{y |y ≥－1}，若M ∩N ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：M ＝(－∞，m ]，N ＝[－1，＋∞)，∵M ∩N ＝∅，∴m <－1.答案：m <－16．(2012·山东高考改编)函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋ 4－x 2的定义域为________． 解析：x 满足⎩⎨⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎨⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. 答案：(－1，0)∪(0，2]7．若函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________．解析：由条件可得3a －b ＝0，即b ＝3a ，∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ，令g (x )＝0得x ＝－1，0.答案：－1，08．函数f (x )＝log 13(－3x ＋2)的单调递增区间为________．解析：∵函数的定义域为－3x ＋2>0，∴x <23. 令u ＝－3x ＋2，∵f (u )＝log 13u 是减函数，要求f (x )的单调增区间，只需求u ＝－3x＋2的递减区间，即(－∞，23)． 答案：(－∞，23) 9．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－110．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝2x，函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又∵当x >0时，f (x )＝2x ，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x ＝－f (x )，∴f (x )＝－2－x ＝－(12)x . ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，0，x ＝0，－（12）x ，x <0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >00，x ＝0－（12）x ，x <0 11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则不等式f (x )≥1的解集是________． 解析：x >0时，由log 3x ≥1得x ≥3，∴x ≥3.当x ≤0时，由2x ≥1得x ≥0，∴x ＝0.由上可知解集为{x |x ＝0或x ≥3}．答案：{x |x ＝0或x ≥3}12．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下左图，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是________．解析：由f (x )的图象可知a ∈(0，1)，b ∈(－∞，－1)．∵0<a <1，∴y ＝a x 单调递减，b <－1，∴x ＝0时，y ＝b ＋1<0，故g (x )＝a x ＋b 的图象是①.答案：①13．函数y ＝log 2x ＋log 2(1－x )的最大值是________．解析：要使函数有意义，只要⎩⎨⎧x >01－x >0， 解得0<x <1，又y ＝log 2[x (1－x )]＝log 2[－(x －12)2＋14]， 当x ∈(0，1)时，0<－(x －12)2＋14≤14，∴y ≤log 214＝－2， ∴y max ＝－2.答案：－214．设定义在R 上的关于x 的函数f (x )＝ax ＋a ＋1，当－1<x <1时，函数有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：根据零点存在性定理知，f (－1)f (1)<0，∵f (－1)＝1>0，∴f (1)＝2a ＋1<0，解得a <－12. 答案：a <－12二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)[(549)0.5＋(0.008)－23÷(0.2)－1]÷0.06250.25； (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝[(73)2×0.5＋(0.2)3×(－23)÷(0.2)－1]÷(0.5)4×14＝(73＋52÷5)÷0.5＝223÷12＝443. (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝[(log 66－log 63)2＋log 62·(log 63＋log 66)]÷log 64＝[log 62(log 62＋log 63＋1)]÷2log 62＝1.16．(本小题满分14分)已知集合M ＝{x |－ax 2＋2x ＋1＝0}只有一个元素，A ＝{x |y ＝－x ＋1}，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x －1}．(1)求A ∩B ；(2)设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与A ∩B 的关系．解：(1)由x ＋1≥0得x ≥－1，则A ＝{x |x ≥－1}；由y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，得y ≤0，则B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤0}．(2)因为集合M 只有一个元素，所以当a ＝0时，方程2x ＋1＝0只有一个实数解，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4－4(－a )＝0，解得a ＝－1.所以N ＝{－1，0}，则N ⊆A ∩B .17．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53. (1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ＝ax 2＋2－3x －b. 因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x ， f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．证明：设x 1<x 2≤－1，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝23(x 2－x 1)(1－1x 1x 2) ＝23(x 2－x 1)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵x 1<x 2≤－1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>1， f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．18．(本小题满分14分)A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得小于10 km ，已知供电费用刚好和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数k ＝0.2，若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)写出x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小．解：(1)10≤x ≤90.(2)y ＝[20x 2＋10(100－x )2]×0.2＝6x 2－400x ＋20 000(10≤x ≤90)．(3)由(2)知，y ＝6x 2－400x ＋20 000＝6(x －1003)2＋40 0003. ∴当x ＝1003时，y min ＝40 0003. 即核电站建在距A 城1003km 处时，才能使供电费用最小． 19．(本小题满分16分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2，2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1，2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解：(1)由条件得f (1)＝1，f (2)＝2，f (0)＝2得a ＝1，b ＝－2，c ＝2，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∴M ＝f (－2)＝4＋4＋2＝10，m ＝f (1)＝1.(2)由条件得ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个相等实根1，从而a ＋b ＋c ＝1，(b －1)2＝4ac ，得c ＝a ，b ＝1－2a .则f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a .∵a ≥1，∴对称轴x ＝2a －12a ＝1－12a ∈[12，1)， ∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (1－12a )＝1－14a. ∴g (a )＝9a －14a－1，(a ≥1)， 又g (a )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (a )最小值＝g (1)＝8－14＝314. 20．(本小题满分16分)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(1)求证：函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数；(2)若f (1)<f (lg x )，求x 的取值范围．解：(1)证明：设x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0，因为f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，∴f (－x 1)>f (－x 2)，又因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)，f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数．(2)当0<x ≤1时，lg x ≤0，由f (1)<f (lg x )得f (－1)<f (lg x )，函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，∴－1>lg x ，0<x <110， 当x ≥1时，lg x ≥0，由f (1)<f (lg x )，f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，∴lg x >1，x >10，综上所述，x 的取值范围是1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪(10，＋∞)．。