离散数学

离散数学试题（A 卷答案）一、（10分）（1）证明(P →Q )∧(Q →R )⇒(P →R )（2）求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。

解：（1）因为((P →Q )∧(Q →R ))→(P →R )⇔⌝((⌝P ∨Q )∧(⌝Q ∨R ))∨(⌝P ∨R ) ⇔(P ∧⌝Q )∨(Q ∧⌝R )∨⌝P ∨R⇔(P ∧⌝Q )∨((Q ∨⌝P ∨R )∧(⌝R ∨⌝P ∨R )) ⇔(P ∧⌝Q )∨(Q ∨⌝P ∨R )⇔(P ∨Q ∨⌝P ∨R )∧(⌝Q ∨Q ∨⌝P ∨R ) ⇔T所以，(P →Q )∧(Q →R )⇒(P →R )。

（2）(P ∨Q )→R ⇔⌝(P ∨Q )∨R ⇔(⌝P ∧⌝Q )∨R⇔(⌝P ∨(Q ∧⌝Q )∨R )∧((P ∧⌝P )∨⌝Q ∨R )⇔(⌝P ∨Q ∨R )∧(⌝P ∨⌝Q ∨R )∧(P ∨⌝Q ∨R )∧(⌝P ∨⌝Q ∨R ) ⇔2M ∧4M ∧6M ⇔0m ∨1m ∨3m ∨5m所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。

二、（10分）分别找出使公式∀x (P (x )→∃y (Q (y )∧R (x ，y )))为真的解释和为假的解释。

解：设论域为{1，2}。

若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝F ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝F ，则 ∀x (P (x )→∃y (Q (y )∧R (x ，y )))⇔∀x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2))))⇔(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ⇔(T →((F ∧F)∨(F ∧F)))∧(T →((F ∧F)∨(F ∧F))) ⇔(T →F)∧(T →F) ⇔F若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝T ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝T ，则 ∀x (P (x )→∃y (Q (y )∧R (x ，y )))⇔∀x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2))))⇔(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ⇔(T →((T ∧T)∨(T ∧T)))∧(T →((T ∧T)∨(T ∧T))) ⇔(T →T)∧(T →T) ⇔T三、（10分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个喜欢步行的人都不喜欢做汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。

有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。

解论域：所有人的集合。

A(x)：x喜欢步行；B(x)：x喜欢坐汽车；C(x)：x喜欢骑自行车；则推理化形式为：∀x(A(x)→⌝B(x))，∀x(B(x)∨C(x))，⌝∀x C(x)∃x⌝A(x)下面给出证明：(1)⌝∀x C(x) P(2)∃x⌝C(x) T(1)，E(3)⌝C(c) T(2)，ES(4)∀x(B(x)∨C(x)) P(5)B(c)∨C(c) T(4)，US(6)B(c) T(3)(5)，I(7)∀x(A(x)→⌝B(x)) P(8)A(c)→⌝B(c) T(7)，US(9)⌝A(c) T(6)(8)，I(10)∃x⌝A(x) T(9) ，EG四、（10分）下列论断是否正确？为什么？(1)若A∪B＝A∪C，则B＝C。

(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C。

(3)若A⊕B＝A⊕C，则B＝C。

解 (1)不一定。

例如，令A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{2}，则A∪B＝A∪C，但B＝C不成立。

(2)不一定。

例如，令A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，3}，则A∩B＝A∩C，但B＝C不成立。

(3)成立。

因为若A⊕B＝A⊕C，对任意的x∈B，当x∈A时，有x∈A∩B⇒x∉A⊕B⇒x∉A⊕C＝(A∪C)－(A∩C)⇒x∈A∩C⇒x∈C，所以B⊆C；当x∉A时，有x∉A∩B，而x∈B⇒x∈A∪B，所以x∈A∪B－A∩B＝A⊕B⇒x∈A⊕C，但x∉ A，于是x∈C，所以B⊆C。

同理可证，C ⊆B。

因此，当A⊕B＝A⊕C时，必有B＝C。

五、（10分）若R是集合A上的自反和传递关系，则对任意的正整数n，R n＝R。

证明当n＝1时，结论显然成立。

设n＝k时，R k＝R。

当n＝k＋1时，R k+1＝R k*R＝R*R。

下面由R是自反和传递的推导出R*R＝R即可。

由传递性得R*R⊆R。

另一方面，对任意的<x，y>∈R，由R自反得<y，y>∈R，再由关系的复合得<x，y>∈R*R，从而R⊆R*R。

因此，R＝R*R。

由数学归纳法知，对任意的正整数n，R n＝R。

六、（15分）设函数f ：R ×R →R ×R ，f 定义为：f (<x ，y >)＝<x ＋y ，x －y >。

(1)证明f 是单射。

(2)证明f 是满射。

(3)求逆函数f －1。

(4)求复合函数f －1 f 和f f 。

证明 (1)对任意的x ，y ，x 1，y 1∈R ，若f (<x ，y >)＝f (<x 1，y 1>)，则<x ＋y ，x －y >＝<x 1＋y 1，x 1－y 1>，x ＋y ＝x 1＋y 1，x －y ＝x 1－y 1，从而x ＝x 1，y ＝y 1，故f 是单射。

(2)对任意的<u ，w >∈R ×R ，令x ＝2w u +，y ＝2w u -，则f (<x ，y >)＝<2w u +＋2w u -，2w u +－2w u ->＝<u ，w >，所以f 是满射。

(3)f －1(<u ，w >)＝<2w u +，2w u ->。

(4)f －1 f (<x ，y >)＝f －1(f (<x ，y >))＝f －1(<x ＋y ，x －y >)＝<2yx y x -++，2)(y x y x --+>＝<x ，y >f f (<x ，y >)＝f (f (<x ，y >))＝f (<x ＋y ，x －y >)＝<x ＋y ＋x －y ，x ＋y －(x －y )>＝<2x ，2y >。

七、（15分）设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R 的关系图。

(2)写出R 的关系矩阵。

(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。

解 (1)R 的关系图如图所示： (2) R 的关系矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111)(R M (3)对于R 的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R 不是自反的；由于对角线上存在非0元，R 不是反自反的；由于矩阵不对称，R 不是对称的；经过计算可得 )(0111011100000111)(2R M R M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，所以R 是传递的。

八、（10分）若<G ，*>是群，H 是G 的非空子集，则<H ，*>是<G ，*>的子群⇔对任意的a 、b ∈H 有a *b－1∈H 。

证明 必要性：对任意的a 、b ∈H ，由<H ，*>是<G ，*>的子群，必有b －1∈H ，从而a *b －1∈H 。

充分性：由H 非空，必存在a ∈H 。

于是e ＝a *a －1∈H 。

任取a ∈H ，由e 、a ∈H 得a －1＝e *a －1∈H 。

对于任意的a 、b ∈H ，有a *b ＝a *(b －1)－1∈H ，即a *b ∈H 。

又因为H 是G 非空子集，所以*在H 上满足结合律。

综上可知，<H ，*>是<G ，*>的子群。

九、（10分）给定二部图G ＝<V 1，V 2，E >，且|V 1∪V 2|＝m ，|E |＝n ，证明n ≤m 2/4。

证明 设|V 1|＝m 1，则|V 2|＝m －m 1，于是n ≤m 1(m －m 1)＝m 1m －21m 。

因为0)2(21≥-m m ，即21124m mm m-≥，所以n ≤m 2/4。

离散数学试题（B 卷答案）一、（20分）用公式法判断下列公式的类型： (1)(⌝P ∨⌝Q )→(P ↔⌝Q ) (2)(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))解：（1）因为(⌝P ∨⌝Q )→(P ↔⌝Q )⇔⌝(⌝P ∨⌝Q )∨(P ∧⌝Q )∨(⌝P ∧Q )⇔(P ∧Q )∨(P ∧⌝Q )∨(⌝P ∧Q ) ⇔1m ∨2m ∨3m ⇔0M所以，公式(⌝P ∨⌝Q )→(P ↔⌝Q )为可满足式。

（2）因为(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m所以，公式(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))为可满足式。

二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。

存在着身体健康的科学家。

所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。

解：论域：所有人的集合。

Q (x )：x 是勤奋的；H (x )：x 是身体健康的；S (x )：x 是科学家；C (x )：x 是事业获得成功的人；F (x )：x 是事业半途而废的人；则推理化形式为：∀x (S (x )→Q (x ))，∀x (Q (x )∧H (x )→C (x ))，∃x (S (x )∧H (x ))∃x (C (x )∨F (x ))下面给出证明：(1)∃x (S (x )∧H (x )) P (2)S (a )∧H (a ) T(1)，ES (3)∀x (S (x )→Q (x )) P(4)S (a )→Q (a ) T(1)，US (5)S (a ) T(2)，I (6)Q (a ) T(4)(5)，I (7)H (a ) T(2)，I (8)Q (a )∧H (a ) T(6)(7)，I(9)∀x(Q(x)∧H(x)→C(x)) P(10)Q(a)∧H(a)→C(a) T(9)，Us(11)C(a) T(8)(10)，I(12)∃x C(x) T(11)，EG(13)∃x(C(x)∨F(x)) T(12)，I三、（10分）设A＝{∅，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)⊕B。