极限思想在中学数学知识理解中的应用
极限思想在中学数学知识理解中的应用作者：安乐乐成波
来源：《丝路视野》2019年第03期
摘要：本文首先利用极限的思想方法给出了一类无限循环小数的一个解释，结果表明无限循环小数可能是整数。
其次，通过例题给出了无限循环小数的算术运算的方法。
最后，讨论了指数函数和三角函数某些特殊值的本质含义。
本文研究结果能够帮助学生更深入地理解无限循环小数和函数等概念内涵。
关键词：极限中学数学理解
高等數学的许多思想方法对于理解中学数学中的一些概念有着重要的指导意义，在文献中，我们可以看到运用高等数学中的一些思想方法可以更好地解决中学数学中出现的难题，理解相关概念。
本文用高等数学中的极限思想方法解决中学数学中的几个典型问题，帮助学生准确深刻理解一些中学数学概念和方法。
参考文献
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[4]华东师范大学数学系.数学分析（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2010.。
极限思想方法中学数学中的运用
标》 积分 课程 设计 的 核心 ， 是这 次高 中数 学 课 程 改 革 力 度较 微 也 大 的地方 之一 ， 目的在 于 降低形 式 化极 限思 想方 法 给 学 生 带来 其
的学 习 困难 。
把 球 心 Ｏ和各小 网格 的顶 点 相连 ， 则整 个球 体被 分割 成 ｎ个 设 ｎ个 “ 锥 体 ” 体 积 分 别 是 。 ： 小 的 ， ，
“ 锥体 ” 每个 “ 小 ， 小锥 体 ” 的底 面是 球 面的一 部分 。 ３ １２ 求 近 似 和 ． ．
… …
２ 极 限思想 方法 中学 数学 中 的运 用策 略
，
△ 则 球 的体积 Ｖ＝ ， △ ＋… … ＋ 。当每 个 网格 都 很 ＋ △
２ １ 介 绍极 限思 想 和其 发 展史 ， ． 揭示 知 识 的产 生 发 展 过 程
【 要】 极 限是数学 中最 基本 、 摘 最重要的概念 ， 它从数量上描 述变量在无 限变化 过程 中的变化趋 势 。极 限思想 在中学数
学教育 中应该占有 一席之地 ， 本论文希望通过对高 中生极 限概 念的认知学习研 究 ， 了解高 中生对极 限的认知状况 ， 为实际教学 中如何有针对性的帮助学生建立正确 的极限概念和培 养学 生的极限思想提供参考 。
跨世纪
２０ ０９年 １月 第 １ ７卷第 １ 期
Ｃ ｏｓＣ ｎｕｙＪｎ ａ ０ ９， ｏ １ ，Ｎ ． ｒｓ ｅｔｒ，ａ ｕｒ ２ ０ Ｖ ｌ ７ ｏ １ ｙ
・９ ３・
极 限 思 想 方 法 中 学 数 学 中 的运 用
郭 艺 杰
（ 建 师范 大学 数 学 与计算 机 科学 学 院 ， 建 ， 州 ，６８ ３ 福 福 漳 ３３０ ）
除错 概念 和结 论 逐 步形 成 的过 程 ， 会 蕴 涵 在 其 中 的 思 想 方 法 ， 体 追寻 数学 发展 的历 史足 迹 ， 数学 的学 术形 态 转 化 为学 生 易 于 接 把 受 的教育 形态 。其 后关 于微 积分 课程 的设 计 ，新 课标 》 《 的定 位 是
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想是以极限的概念来分析数学问题，它提供了一种有效的方
法来研究函数、曲线、表面以及对这些图形和曲线进行计算和分析。
极限思想可以帮助人们更深入地理解数学知识，了解并分析数学中的
现象，并使用极限的思想来解决数学问题。
极限思想在中学数学中有着广泛的应用。
在微积分中，通过极限的思
想可以求得函数在某点附近的解析解及导数；在代数学中，极限思想
可以用来计算多项式的极值；在解析几何中，可以利用极限思想求出
圆周上某点到圆心的距离；在概率论与数理统计中，用极限思想可以
研究正态分布的形成。
此外，极限思想也用于优化问题中，帮助研究者设计出最优的解决方案；在几何图形中，极点的概念也可以用极限思想判断；在动力学和
运动中，可以利用极限思想找到运动物体的运行轨迹。
总之，极限思
想在中学数学中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学公式，更加深入地剖析数学问题，有效地解决实际问题，为数学有着重要作用。
极限思想在中学数学教学中的应用
极限思想在中学数学教学中的应用极限思想是一种重要的数学思想方法，在中学数学教学中运用极限思想，有助于学生对数列、定积分等复杂问题的理解，提高學生解决相关数学问题的能力。
如何引导学生掌握和应用极限思想，是中学数学教学中要认真思考的问题。
文章简单介绍了极限思想的内涵及在中学数学中的意义，并举出具体例子说明其在实际问题中的应用，以期提高学生的数学思维和解题能力。
标签：极限思想；中学数学教学；应用一、极限思想概述极限思想考察当变量按某种方式变化，譬如变量趋于无穷大或者趋于某一定值时，研究对象最终的变化趋势和趋向的唯一数值；是通过极限的概念，对研究对象从有限拓展到无限，从对常量的研究逐渐转化为对变量的研究，来分析和解决问题的一种思想方法。
二、极限思想在中学数学中的作用1.有利于提高数学思维能力新课标强调对学生数学思维能力和数学素养的培养。
教师通过极限思想教学的渗透，可让学生的思维从有限发散到无限，理解无限逼近的意义，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，学会将极限思想应用到其他数学问题的学习和解决当中。
2.有利于解决复杂数学问题教学中灵活渗透极限思想，能降低问题难度，理顺解题思路，提高解题的效率和质量。
例如，求曲边梯形的面积，首先插入分点分割曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看成小矩形，这些小矩形的面积和近似等于曲边梯形的面积，分划不同，得到的矩形面积和也不同，当分划足够细时求出极限从而得到曲边梯形面积。
利用这种极限思想，还能解决众多数学问题，如平面曲线的弧长问题。
3.有利于和大学数学知识衔接高等数学的许多概念和方法与极限密切相关，中学教学中让学生掌握极限思想方法，能促进中学与大学数学知识的衔接，为高等数学学习奠定基础。
三、极限思想在中学数学教学中的应用1.极限思想在函数中的应用函数是中学数学教学中的重要内容，贯穿于中学数学的始终，是变量数学的基础。
解决函数问题，可以充分利用极限思想。
通常可以用反函数的方法进行解答，答案为D，由于是选择题，也可以采用极限思想，迅速判断出大致范围，提高解题效率。
谈极限思维在高中数学教学中的应用
谈极限思维在高中数学教学中的应用摘要：在高中数学教学中，通过极限思维的应用，可以大大提高学生对数学知识的理解，并使学生更高质量地完成数学问题，对学生数学综合素养的培养有极大的帮助。
因此在实践教学中，教师需要根据学生的发展需要，让学生开展合理的思维训练，引导学生在训练中强化自己的数学思维观念。
本文就极限思维在高中数学教学中的应用展开分析。
关键词：高中数学;极限思维;教学策略;极限思维是数学学习中非常重要的思想，它可以引导学生用极限的方法对数学知识、数学问题进行分析，对学生数学学习能力的提高大有裨益。
在实践教学中，高校数学教师需要进一步提高学生对极限思维培养的重视程度，引导学生通过极限思维了解数学知识，并解决相应的数学问题。
因此，促进学生实际学习效果的提高。
教师在日常教学中也需要深入挖掘教材中的极限思想，结合学生的认知状况，引导学生运用极限思维处理复杂的数学问题，促进学生数学学习能力的提高。
一、高中数学教学现状分析数学学科是高中教育体系中最基础、最重要的课程,数学学习情况将会对学生的升学及综合素养提升都带来直接影响。
从高中数学教学现状看,还存在一些不足,从而制约了学生的全面发展。
首先是在教学中还存在学生自身的学习欲望比较低的状况。
高中阶段的数学知识抽象性强,加上数学知识比较零散、内容涉及面比较广,而学生自身的数学学习水平、数学基础能力都有差异,有的学生基础能力比较好,数学学习能力强,能在课堂上很好地掌握知识;但是也有的学生数学基础比较差,知识接受能力弱,难以完全掌握教师讲解的知识,在学习中存在一些问题,如果学生没有及时处理这些问题,就会出现问题积累越来越多,最终影响到学生学习效果,降低了学生的学习积极性。
对教师而言,为了保证学生能获取良好知识,教师在课堂上会抽出大量时间讲解知识,然后引导学生开展习题训练,让学生巩固所学知识。
这种方式会造成部分学生没有完全听懂、在做题时不知道如何下手的情况,不利于这部分学生的综合发展。
例谈极限思想在初中数学教学的渗透
逐 渐减 小 时， 弦长 与弧 长 的差距 越 来越 小， 也 就 是说分 子与分母越 来越接近 ， 那 他们 的 比就 该趋 向 １ ．
师： 你 们 的解 释 不 仅 使 我 们 看 到 了变 化 趋 势， 而 且对 为什 么 最后 比值 趋 向于１ 有 了更 进 一 步 的算理 上 的认 识 （ 全班 掌 声后， 老 师 给
入 极 限思想能使 问题 变得更加生动 、有趣， 使 课 堂富有数学味． 案例 ３ （ 浙教 版九上 １ ． ２ 反 比例函数 图像
与性质） 反比 例函数Ｙ：－ 。 （ ｚ≠０ ） 图像的两个
分支都无 限接近坐 标轴， 但永远 都不与坐标轴 相 交． 教 学 说 明：教 师一 般 会沿 用 小学 已有 经 验“ 除数不为零” ， 先确定 函数的定义域和值域， 再引导学生画 图说 明反 比例 函数与坐标轴无交 点． 但笔者在教学 中考虑到学生之前接触 的一 次函数都与坐标轴 有交点， 第一次学这样无 交 点情况， 学生感觉突 兀且无 既得知识经验可考， 于 是尝试从形的角度 开展教学， 以Ｙ＝ 二图像
初 中生有 困难 ， 但对 于处于初高 中衔接 段的初
教 学案例， 并结 合近年来 中考题对 极 限思想在 初 中教学 的渗透作一探讨 ， 以期抛砖引玉．
一
三 来说 ， 笔 者 觉 得不 妨 做 一定 渗 透和 适 当拓 展． 令人 欣喜 的是， 笔 者在课 堂上提 出引 申问 题后， 大多 学生给 出 了正确 答案 ， 且 能用极 限 的观 点给 出理 由 （ 尽管这种 理 由看上去还很肤 浅） ， 课后 大 多学 生能够 体会 到 “ 割 之弥 细， 所
失 弥少” 的极 限意境， 并对 极 限思想 表现 出一 定兴趣．
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。
极限思想在高中数学中的应用
极限思想在高中数学中的应用作者：谈家国来源：《中学生数理化·教与学》2014年第08期极限思想是古人很早提出的一种设想.中国的古人曾经提出如果知识是无穷尽的，而人们所知是有穷尽的，假设人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能够获得无限的知识？人们意识到无限的思想以后，就意识到如果不确定某个值，就选取一个最接近于它的值，并用这种值描述它的趋势，这种思想构建了现代微积分知识的基础.古时候，人们有时会无意识地应用这种知识.例如，中国古代有本书，讲述这样一则故事.有一个牧羊人，他有17只羊，又有3个儿子，他依照村规把一半的财产分给大儿子，又将剩下三分之一的财产分给二儿子，剩下九分之一财产分给三儿子.可是人们发现17只羊没有办法完整的分配.这时有位智者，他将自己的1只羊放进17只羊中，即为18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己带回家.古时人们夸赞这种分配方法非常公平，然而现在人们可以看到，它是利用了极限的方法，让分配的方法尽可能地合乎当初预定的结果.这种分配方法与现代微积分的知识是不谋而合的.极限的思想，即为一种无限接近于精准答案的思想，这种在精准答案不确定的的情形下，应用最接近于精准答案的思路，能够解决人们的很多数学问题.高中教师要引导学生理解到极限思想的最大应用价值.一、应用极限思想解决无限的问题所谓无限的问题是指人们需要求取一个数值，而这个数值求取的过程非常烦琐，人们如果穷举这个范围内所有的数值将会非常困难.但是如果人们有无限的思想，则可以就用无限接近的思想给出这个范围内最大的一个极限和一个最小的极限，则人们不需要穷举范围内所有的数值，直接可以判断该范围.例如，在讲“解析几何初步”时，教师引导学生思考：已知一个锐角三角形，它的边AC已固定，BC=1，现B点在以C为圆心，半径为1的圆周上做运动（图略），求取AB的极限范围.分析：如果这一题用普遍的方法计算，学生会把计算过程变得非常烦琐.然而如果学生能用数形结合的思想思考圆周运动的定义，则可迅速通过计算AB的取值范围直接得到答案为（3，5）.二、应用极限思想解决逼近的问题所谓逼近的问题是指人们遇到某种问题时，需要了解它的取值，然而这种取值是没有精确答案的，人们于是使用极限的思想，尽可能取出与该精准值最接近的一个答案，它即为该问题的最终答案.这种逼近的问题能帮助人们尽可能的解决不可能解决的问题.三、应用极限思想解决决策的问题所谓的概述问题是指人们在统计或计算中，需要了解某种数值.这种数值人们如果要精准的计算，常常会得出不必要的循环小数，而在实践生活中人们不需要特别精准的答案，只需要一个大概的数值帮助自己决策，因此可以用极限的思想把一此过于复杂的计算与统计全部省略，得到人们需要的大概数字.例如，在讲“算法初步”时，教师可以引导学生思考：现在某凉茶公司出售一瓶饮料，它的售价为2元，顾客可以拿五只空瓶换一瓶饮料，如果该饮料成本为1元，使用该种销售方法，每瓶厂家可得到的毛利为多少？分析：学生如果能理解极限的思想，就可理解到x空瓶能换x5瓶凉茶，以此类推，它能再次换回x52瓶，如果以极限的思想计算，则可将它的公式列为：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，则每瓶凉茶的价格为2x5x4=85=1.6，最终可得利润为6角钱.极限思想能帮人们化繁为简，解决实践生活中的一些问题，实际上那位古老的卖羊故事即利用极限思想完成该类问题.从以上的极限思想应用中可以看到，实际上极限思想拥有以下几种思想：无穷大的思想，它是指用一种数学方式描述出一种事物的趋势，人们可能不了解这件事情的极限，但是人们可以掌握该事物的趋势，并在该趋势范围内选取人们需要的一个范围，它能避免人们无穷列举的问题；无穷小的思想，它是指人们需要精准的掌握一件事物，然而这件事物几乎不可能让人们精准的了解或描述，因此人们用无限小的思想尽可能地选取最接近于精准答案的那个答案，它能避免人们无法精神描述的问题；辅助决策的思想，这是指人们在决策一件事物时，人们有时无法作准最精密无误的决策，然而人们却又必须解决决策的问题，所以人们寻找一个能帮助自己决策的答案，这个答案能接近于人们需要的这个目标.微积分是目前高中学生需要学习的数学知识，学生在学习微积分时，常常会感觉到微积分知识复杂，他们觉得学习那么复杂的事物不知道能解决什么问题，教师要引导学生理解到无限思想应用的方法，当学生理解到无限思想的巨大用处时，就会对学生微积分知识产生兴趣.。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
浅谈中学数学中的极限思想毕业论文
浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。
极限思想在中学数学中的应用
极限思想在中学数学中的应用第一章绪论1.1 选题提出的背景1.2 选题研究的意义1.3 选题研究的现状第二章极限思想2.1 极限思想的产生2.2 极限思想的发展2.3极限思想的内涵第三章极限思想在中学数学中的教学.3.1 高中教学中贯彻数学思想方法3.2 极限思想在教学中的渗透第四章极限思想在中学数学中的应用4.1极限思想在数列中的应用4.3 极限思想在函数中的应用4.4 极限思想在解析几何中的应用4.5 极限思想在立体几何中的应用绪论1.1 选题提出的背景万事万物总在变化，我们为了描述正在变化的现象，在数学中导入了函数这一概念，随着对变量和自变量等函数关系的不断深入变化，微积分就这么产生了，极限是微积分的基础，也是微积分中最重要的一部分，它是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。
极限思想微积分的基本思想，他作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关，如：求物体运动的瞬时加速度，求曲线的切割，求函数的最大值，最优化问题等。
这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈的努力，创立了微积分，在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想，极限思想、德国数学家克莱因在二十世纪初提出让微积分进入中学数学课堂。
很多国家都开始将微积分的内容设置在高中数学课程的重要位置上，并要求微积分的分割以及逐步逼近等思想。
这些都体现了极限思想这一数学思想。
在英国，微积分的思想方法出现在高中数学教材上，在美国，微积分设置在高中数学类的选修课上，日本则在高中教材数学二，数学三中分别系统的介绍了微积分的概念和方法。
在我国现行的高中数学课本中融入部分微积分的内容和思想。
自建国以来，关于“在中学数学课程中开设微积分”这一热点话题曾多次在数学改革中探讨，1950 年-1958 年，在新中国成立初期，我国中学数学教材的编写主要参考了前苏联中学数学的课本。
虽包含了部分微积分的初步知识，但并没有做出明确的大纲学习要求。