广东省实验中学高二(上)期中数学试卷(文科) (2)
广东实验中学18-19学度高二上年中-数学文
广东实验中学18-19学度高二上年中-数学文文科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页、总分值为150分，考试用时120分钟、 本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号、2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上、3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回、 参考公式：2=4S R π球表面积第一部分 基础检测(共100分)【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、直线0133=++y x 的倾斜角是〔 〕A 、30 B 、60 C 、120 D 、1352、以下二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是〔 〕Ａ、10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥ Ｂ、10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ、10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤ Ｄ、1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥03、如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=， 那么那个平面图形实际的面积是〔 〕A、2B 、1 CD、4、以)1,5(),3,1(-B A 为端点的线段的垂直平分线方程是〔 〕Ａ、083=--y x B 、043=++y x C 、063=+-y x D 、023=++y x5、一个棱锥的三视图如右图所示，那么那个棱锥的体积是〔 〕 A 、 B 、12x11-2-O1C 、24D 、366、四棱锥P —ABCDABCD 是边长为2的正方形，那么CD 与PA所成角的余弦值为 〔 〕ABC 、45D 、357、直线03)1(:1=--+y k kx l 和02)32()1(:2=-++-y k x k l 互相垂直，那么=k 〔 〕A 、-3或-1B 、3或１C 、-3或１D 、-1或38、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，那么以下结论中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A 、D 1O ∥平面A 1BC 1 B 、D 1O ⊥平面MACC 、异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°D 、二面角M －AC －B 等于90°A 、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个平面相交B 、平行于同一平面的两个不同平面平行C 、假设直线不平行平面α，那么在平面α内不存在与平行的直线D 、假如平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β10、过原点引直线l ，使l 与连接A(1，1)和B(1，-1)两点的线段相交，那么直线l 倾斜角的取值范围是〔〕A 、],43[]4,0[πππ⋃B 、]43,4[ππC 、]4,4[ππ-D 、),43[]4,0[πππ⋃ 【二】填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分、11、光线自点），（33-A 射出，通过x 轴反射以后通过点)5,2(B 。
广东实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
广东实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
三、填空题
四、解答题
17．为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作
为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)[)50,6060,70，
，[)[)70,8080,90，，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图
（茎叶图中仅列出了得分在[)[]50,6090,100，的数据），如下图所示．
(1)试估测本次竞赛学生成绩的平均数；
(2)在[)[)70,8080,90，
内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[)70,80的概率．
18．已知分别过定点,A B 的直线1:30,l ax y +-=于C 点
(1)若1l 为ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边(2)若l 为ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边(1)证明：面PAB ⊥面ABCD
(2)M 是棱PD 上的中点，若过点,C M 的平面α与BD
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点使椭圆上的其余点均在圆Q外．求
准方程．。
广东省20212021学年高二上学期期中考试文科数学试卷Word版含答案
广东实验中学2021—2021学年（上）高二级期中考试文科数学本试卷共4页，满分150分，考试历时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必需维持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列叙述中不正确．．．的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B ．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tan α2．已知直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 3．下面四个命题：①别离在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③若是一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ④若是一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③4．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是 （）A ．12B ．24C ．36D ．485．已知1sin()23πα+=，则cos(2)πα+的值为（ ） A ．79- B ． 29 C ． 79 D 23-俯视图侧视图正视图3346．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立．．．的是 ( ) A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 7．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝08．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．56π9．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(2，－5) B ．(－2,1) C ．(－2,5) D ．(4，－3) 10．将函数x y sin =的图象C 按顺序作以下两种变换：⑴向左平移3π个单位长度；⑵横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所取得的曲线/C 对应的函数解析式是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π+=x y 11．{}n a 知足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，则S 21 为 （ ） A ．29B ．211C ．6D ．512．设点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离为d(k ),则d(k )的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=彼此平行，那么a 的值等于14．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n≥1),则该数列的通项a n =_________. 15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 .16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB上一个动点，则PM 的最小值为________．三、解答题题（六小题 共70分） 17．（本小题满分10分）在锐角．．△ABC 中，a 、b 、c 别离为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A (1)肯定角C 的大小：（2）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。
广东省2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析
深圳2022-2023学年度第一学期期中考试试题高二数学（答案在最后）考试时长：120分钟，卷面总分：150分一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1.在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为3π4的直线方程为．A.10x y ++=B.10x y +-= C.10x y -+= D.10x y --=【答案】A 【解析】【详解】由题意可得，直线的斜率1k =-，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为=1y x --，即10x y ++=，故选：A ．2.圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（）．A.1B.2C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为1，可求a 值.【详解】圆220x y ax ++=的圆心坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12a-=，解得2a =-．故选：D ．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.3.在递增的等差数列{}n a 中，已知4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，则20a =（）A.19B.20C.21D.22【答案】B 【解析】【分析】根据方程的根与递增的等差数列，可得4646a a =⎧⎨=⎩，于是可求得公差1d =，则由等差数列的通项性质可得20a 的值.【详解】解：4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，方程为()()460x x --=则4646a a =⎧⎨=⎩或6446a a =⎧⎨=⎩，由于递增的等差数列{}n a 中，所以4646a a =⎧⎨=⎩，则公差64164a a d -==-所以2041641620a a d =+=+=.故选：B.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则8a =A.16 B.15C.14D.13【答案】B 【解析】【详解】设公差为d ，由253,25a S ==可得11543,5252a d a d ⨯+=+=∴1a 1,d 2==，则81715a a d =+=故选B5.已知点()2,1A --，()3,0B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围（）A.[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(][),13,-∞-+∞ D.[]1,3-【答案】A 【解析】【分析】设()1,2Q -，分别求出QA k ，QB k ，根据21y x -+表示直线QM 的斜率即可得到结果.【详解】设()1,2Q -，则()()21312QAk --==---，201132QB k -==---因为点(),M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围是[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：A.6.已知数列{}n a 满足：211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，若23a =，24621a a a ++=，则468a a a ++=（）A.84B.63C.42D.21【答案】C 【解析】【分析】利用题意得到{}n a 是等比数列，故设其公比为()0q q ≠，可得到2433321q q ++=，可得到22q =，即可求得答案【详解】∵211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，∴数列{}n a 是等比数列，设其公比为()0q q ≠，∵23a =，2424633321a a a q q ++=++=，即4260q q +-=，解得22q =或23q =-（舍去），∴()222468246246242a a a a q a q a q a a a ++=++=++=，故选：C.7.直线210x y +-=与直线230x y --=交于点P ，则点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为（）A.2B.22C.32D.42【答案】B 【解析】【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可.【详解】由题可列：210230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(1,1)-，因为直线()()21130kx k y k k -+++=∈R ，即(23)(1)0k x y y -++-=恒过定点(1,1)Q -，所以点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为PQ ==，故选：B8.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个L 按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A.2048B.2049C.4096D.4097【答案】D 【解析】【分析】根据给定的条件，由1小时、2小时、3小时后的结果总结出规律，再计算作答.【详解】依题意，1小时后的细胞个数为1321=+，2小时后的细胞个数为2521=+，3小时后的细胞个数为3921=+，…，则(N )n n *∈小时后的细胞个数为21n +，所以12小时后细胞存活个数是12214097+=.故选：D二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9.已知R b ∈，圆()()221:14C x y b -+-=，222:1C x y +=，则（）A.两圆可能外离B.两圆可能相交C .两圆可能内切D.两圆可能内含【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.【详解】圆()()221:14C x y b -+-=的圆心为()11,C b ，半径12r =，圆222:1C x y +=的圆心为()20,0C ，半径21r =；则121C C =≥，12123,1r r r r +=-=，当28b >时，1212C C r r >+，两圆外离；当208b <<时，121212r r C C r r -<<+，两圆相交；当20b =时，1212C C r r =-，两圆内切；当28b =时，1212C C r r =+，两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含.故选：ABC.10.已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若917a S =，下列说法正确的是（）A.80a =B.90a = C.116a S = D.810S S >【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质求出9a ，用公差d 表示首项，再判断各项作答.【详解】令等差数列{}n a 的公差为d ，有0d >，其前n 项和为n S ，由917a S =得：1917917172a a a a +=⨯=，解得90a =，有890a a d d =-=-<，A 不正确，B 正确；1988a a d d =-=-，16171799(8)8S S a a a d d =-=-+=-，即116a S =，C 正确；91010890S S a a a d d -=+=+=>，810S S <，D 不正确.故选：BC11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A.若223n S n =-，则{}n a 是等差数列B.若{}n a 是等差数列，且35a =，2102a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值C.若等差数列{}n a 的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2D.若{}n a 是等差数列，则三点1010,10S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2020,20S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、3030,30S ⎛⎫ ⎪⎝⎭共线【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列及等差数列前n 项和n S 的性质，逐项分析判断.【详解】A 项，1n =时，111a S ==-，2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-1n =时，121a =≠-，所以，{}n a 不是等差数列；B 项，由已知可得，61a =，又35a =所以，403d =-<，12303a =>.所以，n S 有最大值；C 项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为510d =，所以2d =；D 项，设三点分别为A ，B ，C ，112n S n a d n -=+，则1019102S a d =+，20119202a d S =+，30129302a d S =+.则()10,5AB d =uu u r ，()10,5BC d =uu u r ，AB BC =uu u r uu u r，所以三点共线.故选：BCD.12.设圆22:(3)(4)9C x y -+-=，过点(1,2)P 的直线l 与C 交于,A B 两点，则下列结论正确的为（）A.P 可能为AB 中点B.||AB 的最小值为3C.若||AB =，则l 的方程为2y =D.ABC 的面积最大值为92【答案】AD 【解析】【分析】判断点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，且此时||AB 最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC ，利用基本不等式可判断D.【详解】圆22:(3)(4)9C x y -+-=，圆心(3,4)，半径3r =对于A ，22(13)(24)89-+-=<Q ，即点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，故A 正确；对于B ，当⊥CP 直线l 时，||AB 最小，42131CP k -==-Q ，1l k ∴=-，则直线l 的方程为30x y +-=，圆心(3,4)到直线l 的距离d ==，||2AB ∴=，故B错误；对于C ，当直线l 斜率不存在时，即1x =，此时||AB ==当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由||AB ==，得2d =，则圆心(3,4)到直线l的距离2d ==，解得0k =，即2y =，所以满足题意的直线为2y =或1x =，故C 错误；对于D，2211992222ABCd d S AB d -+=⋅=⨯=V ，当且仅当229d d -=，即2d =时等号成立，所以ABC 的面积最大值为92，故D 正确.故选：AD三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.过点()1,2A 且与两定点()2,3、()4,5-等距离的直线方程为_________.【答案】3270x y +-=，460x y +-=【解析】【分析】①过点()1,2A 且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行时满足条件，求出斜率，利用点斜式可写出直线方程；②经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点时满足条件，求出中点，利用点斜式可写出直线方程．【详解】解：①过两定点()2,3、()4,5-的直线斜率为：53442--=--，则过点()1,2A 的直线且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行的直线为：24(1)y x -=--，即460x y +-=；②两定点()2,3、()4,5-所在线段的中点为()3,1-．则经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点的直线为：122(1)31y x ---=--，即3270x y +-=．综上可得：满足条件的直线方程为：3270x y +-=，460x y +-=．故答案为：3270x y +-=，460x y +-=．【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a n =，则12111nS S S +++= __________．【答案】21nn +【解析】【分析】先求数列{}n a 的前n 项和为n S ，再利用裂项相消法求和即可；【详解】因为n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n +16.已知圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，(),P x y 为圆C 上一点，则2x y -的最大值为__________．【答案】20【解析】【分析】由圆C 关于直线320x y ++=对称列方程求a ，由此确定圆的圆心坐标和半径，设2z x y =-，由直线2z x y =-与圆C 有公共点，列不等式求z 的范围及最大值.【详解】方程22240x y ax y +-+=可化为()()22224x a y a -++=+，所以圆22:240C x y ax y +-+=的圆心为(),2C a -，因为圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，所以()3220a +⨯-+=，所以4a =，令2z x y =-，则≤，所以1010z -≤，所以020z ≤≤，所以2x y -的最大值为20，故答案为：20.四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知直线():20R l x ky k k -++=∈．（1）若直线l 不经过．．．第一象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）[]2,0-（2）S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=【解析】【分析】(1)验证0k =时，直线l 是否符合要求，当0k ≠时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k 的取值范围；(2)先求直线在x 轴和y 轴上的截距，表示AOB 的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当0k =时，方程20x ky k -++=可化为2x =-，不经过第一象限；当0k ≠时，方程20x ky k -++=可化为121y x k k=++，要使直线不经过第一象限，则10210kk⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得20k -≤<．综上，k 的取值范围为[]2,0-．【小问2详解】由题意可得0k >，由20x ky k -++=取0y =得2x k =--，取0x =得2ky k+=，所以()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫==⋅⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时取等号，综上，此时min4S =，直线l 的方程为240x y -+=．18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-.（1）求B ；（2）若1b =，ABC 的面积为34，求ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；（2）利用三角形面积公式得到ac ，再由余弦定理求出a c +，即可求出三角形的周长；【详解】解：（1）将22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-展开得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，由正弦定理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==因为0B π<<，所以3B π=（2）根据余弦定理，22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-因为ABC 的面积为1sin 24ac B =，所以1ac =因为1b =，所以21()3a c =+-，解得2a c +=ABC 的周长为+3a cb +=19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，满足122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T .【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）()1212n n T n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）根据等差的前n 项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列{}n a 通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{}n c 的和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项，521030d ⨯+=，2d =则()2212n a n n =+-=；12b q =，()43522b b b +=+，即()32411122b q b q b q +=+，11b =，2q =，12n n b -=；（2）2n nn n b b a n ⋅==⋅，所以23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅，12(12)212n n n +-=-⋅-，化简得，()1212n n T n +=+-⋅.20.如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中线为AM ．（1）求AM 的值；（2）求sin BAM ∠．【答案】（1）5AM =；（2）35.【解析】【分析】(1)在ABC 中，利用余弦定理求BC ，在ABM ，ACM △中分别利用余弦定理求cos BMA ∠，cos CMA ∠，由此列方程求AM ，(2)在ABM 中由余弦定理求cos BAM ∠，再由同角关系求sin BAM ∠.【小问1详解】由余弦定理，得(2222222cos 22222522BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯，即213BC =，13BM CM ==在ABM 中，由余弦定理，得2222cos 2213BM AM AB BMA BM AM AM+-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得222259cos 2213CM AM AC CMA CM AM AM+-∠==⋅由BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =．【小问2详解】在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为45BAC ∠=︒，所以π0,4BAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5BAM BAM ∠=-∠=．21.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝12n n+·a n (n ∈N *).（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝4n na n a -，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n ＜2.【答案】（1）证明见解析；n4n 2n a =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，进行求解即可；（2）由412442142n n n n n nna b n n a n ===---，进而利用112n n b -≤，得到231111112222n n T -≤++++⋯+，最后利用等比数列求和公式进行求证即可【详解】证明：（1）由题设得1112n n a a n n+=⋅+，又12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222n n n a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，12142222n n n nna n n --⎛⎫=⨯=⋅= ⎪⎝⎭（2）由（1）知412442142n n n n n nna b n n a n ===---，因为对任意*n ∈N ，1212n n --≥恒成立，所以，112n n b -≤所以23111111121222222n n n T -⎛⎫≤++++⋯+=-< ⎪⎝⎭故T n ＜2成立【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出112n n b -≤，属于中档题22.函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠所经过的定点为(,)m n ，圆C 的方程为222()()(0)x m y n r r -+-=>10y ++-=被圆C（1）求m n 、以及r 的值；（2）设点(2,1)P -，探究在直线1y =-上是否存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B两点的距离之比TB k TP =（k 为常数）．若存在，请求出点B 坐标以及常数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5,1m n ==-，=5r ；（2）存在一点10(,1)3B --，．【解析】【分析】（1）由函数()f x过定点可求，的值，由直线与圆相交的弦长公式：求出的值；（2）假设存在，设点(,1)(2)B m m -≠，圆与直线1y =-的交点为(0,1),(10,1)S Q --，当T 分别在、时满足的距离比可得的值，可得点坐标，设圆上任一点(,)T x y，再利用两点间距离公式，由TBTP ==．【详解】（1）在函数()()()log 410,1a f x x a a =-->≠中，当5x =时，1y =-，所以其经过的定点为点()5,1-，即5m =，1n =-．由于直线被圆C，圆C 半径为r ，圆心()5,1-10y ++-=的距离为2d ==，那么2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解之有=5r ．（2）假设在直线1y =-上存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比TBk TP =（k 为常数）．圆与直线1y =-的交点为()0,1S -，()10,1Q -，设()(),12B t t -≠，而若点T 取S 或Q 时，则SB QB SP QP =，即1028tt -=，解得103t =-．此时53TB TP =．下面证明：对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TB TP =．设(),T x y 为圆上任意一点，则()()225125x y -++=，即()22110y x x +=-+，由TB =，TP =，TBTP ==53==，所以在直线1y =-上存在一点10,13B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TBk TP ==．。
广东省高二上学期期中数学试卷含答案(共5套)
21．（本小题满分 12 分）
设函数
在点
处的切线方程为
.
（1）求 的值，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
.
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的标准方程为 （1）求椭圆的标准方程；
，该椭圆经过点
，且离心率为 ．
（2）过椭圆
长轴上一点
，证明：直线
恒过定点．
作两条互相垂直的弦
．若弦
的中点分别为
深圳市高级中学第一学期期中考试 高二数学参考答案
的最小值是
C． 恒过定点 A ．若直线
D． 过点 A ，其中 是正实
A．
B．
C．
D． 5
11．若
，
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
12．设 是定义在 上的奇函数 ,且
,当
时，有 f (x) xf ( x) 恒成立，则不等式
的
解集为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
当 n≤9 时， an＜ 0， 当 n＝10 时， an＝ 0，
当 n≥11 时， an＞ 0． 所以当 n＝ 9 或 n＝ 10 时，由 Sn＝－ 18n＋ n( n－1) ＝ n2－19n 得 Sn 取得最小值为 S9＝ S10＝－ 90．
(3) 记数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn，由题意可知
联立
，消去 x，得 ky2+y–k=0．
如图，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1≠０， x2≠０，
2 A.
3
2 B. -
3
广东省实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试卷含答案
广东实验中学2017—2018学年（上）高二级模块考试文科数学本试卷分第一部分和第二两部分，共4页,满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回.第一部分(共100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M xx =<，{}2230N xx x =--<，且MN =( ）A ．{}2xx <- B ．{}3xx > C ．{}12x x -<< D ．{}23x x <<2．在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ， 且满足b B a 3sin 2=，则角A 等于( ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π3．各项都为正数的等比数列}{na 中，首项为3，前3项和为21，则=++543a a a （）A ．33B ．72C ．84D ．189 4．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题:1)若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥； 3）βα⊥则有若,//n m ； 4)n m //,则有若βα⊥． 其中正确命题的个数是( ):A ．0B ．1C ．2D ．3 5．将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移12π=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是:( )A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=xD ．2π=x6．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n 作为点P 的坐 标，则点P 落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为 （ ）A ．61B ．41C ．92 D ．3677．已知|a |=｜b ｜=|b a -|=1，则｜a +b 2｜的值为（ ）． A ．7 B ．3 C ．1 D58．右面的程序框图给出了计算数列{}na 的前10项和s 的算法，算法执行完毕后，输出的s 为（ )A ．173B ．174C ．175D ．1769．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1/4 ，则该椭圆的离心率为 ( ） A ． 1/3 B ．1/2 C ．2/3 D ．3/4 10．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石二、填空题（每题5分，共10分）11．已知圆M ：（x +1）2+y 2=1,圆N ：(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为____________12．将8进制的数字206(8）转化为2进制的数字为 ___________________(2)三、解答题（本大题共四题共40分,请在答题卷上写出必要的步骤） 13．（10分）已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x（1) 求)(x f 的最大值及此时x 的值；（2) 求)(x f 在定义域上的单调递增区间.14．（10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据。
广东省广州市实验中学_学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)【含答案】
2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．若直线a不平行于平面M，则直线a与平面M有公共点C．已知直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D．若直线a∥平面M，则直线a与平面M内的所有直线平行2．如图所示的一个几何体及其正视图如图，则其俯视图是（）A．B．C．D．3．过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=04．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为（）A．4（+1）π B．4（2+1）πC．4πD．8π5．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（ ）A ．288πB ．144πC ．108πD ．36π 6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣7．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3中点，D 是EF 与SG 2的交点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体G ﹣SEF 中必有（ ）A ．SD⊥平面EFGB ．SE⊥GFC ．EF⊥平面SEGD ．SE⊥SF8．已知直线（a ﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a 2﹣1）x+（2a+1）y ﹣7=0平行，则a 值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣49．如图，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，AB 的中点为E ，AA′的中点为F ，则直线D′F 和直线CE （ ）A．都与直线DA相交，且交于同一点B．互相平行C．异面D．都与直线DA相交，但交于不同点10．已知△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），则△ABC的外接圆方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2=5 B．（x+3）2+（y+2）2=20 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=20 D．（x﹣3）2+（y﹣2）2=511．一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，则该几何体的体积为（）A．25π B．19π C．11π D．9π12．已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，则直线l在x轴上的截距是；y轴上的截距是．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点（1，0）到它的距离为1的直线是．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为．三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O（﹣1，1），其中A（﹣2，0），B（1，1）．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．18．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．19．如图所示，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求证：平面AB1D1∥平面BDC1；（2）求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．20．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．若直线a不平行于平面M，则直线a与平面M有公共点C．已知直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D．若直线a∥平面M，则直线a与平面M内的所有直线平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据平面平行的几何特征，可判断A；根据直线与平面位置关系的分类与定义，可判断B；根据公理3和线面平行的性质定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；若直线a不平行于平面M，则a与M相交，或a在M内，则直线a与平面M有公共点，故B 正确；已知直线a∥平面α，P∈α，则P与a确定的面积与平面α相交，由公理3可得两个平面有且只有一条交线，且过点P，再由线面平行的性质定理可得交线平行于直线a，故C正确；若直线a∥平面M，平面M内的直线与直线a平行或异面，故D错误；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的几何特征，考查空间想象能力，难度中档．2．如图所示的一个几何体及其正视图如图，则其俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】该几何体的俯视图即上部分四棱锥的俯视图，且四条棱都能看见，应为实线．【解答】解：因为该组合体上部为四棱锥，且顶点在底面的投影在底面中心，所以该几何体的俯视图为C．故选C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，是基础题．3．过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=0【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．【解答】解：过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，∴﹣2×2﹣3+c=0，解得c=7，故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为（ ）A ．4（+1）πB ．4（2+1）πC ．4πD ．8π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，求出母线长，再求底面积与侧面积的和即可．【解答】解：底面半径和高都为2的圆锥，其底面积为S 底面积=π•22=4π，母线长为=2，所以它的侧面积为S 侧面积=π•2•2=4π； 所以圆锥的表面积为：S=S 底面积+S 侧面积=4π+4π=4（+1）π．故选：A ． 【点评】本题考查了求空间几何体表面积的应用问题，是基础题目．5．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（ ）A ．288πB ．144πC ．108πD ．36π 【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．【解答】解：根据题意，长方体内接于球，所以球的直径为该长方体的对角线；即（2R ）2=32++42=36，解得R=3；所以这个球的体积为V 球=πR 3=×π×33=36π．故选：D ．【点评】本题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则四面体A′BDA为正四面体．取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，则AE=A′E=且AE⊥BD，A′E⊥BD，则∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，在△AA′E中，cos∠AEA′==故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．故选：A．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE⊂平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ES F＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．故选：B．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．已知直线（a﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a2﹣1）x+（2a+1）y﹣7=0平行，则a值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣4【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由已知条件利用两直线平行的性质能求出a的值．【解答】解：∵直线（a﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a2﹣1）x+（2a+1）y﹣7=0平行，∴当a=1时，两直线都垂直于x轴，两直线平行，当a=﹣1时，两直线x=4与y=﹣7垂直，不平行，当a≠±1时，由两直线平行得：，解得a=0．∴a值为0或1．故选：C．【点评】本题考查直线方程中参数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，则直线D′F 和直线CE（）A．都与直线DA相交，且交于同一点B．互相平行C．异面D．都与直线DA相交，但交于不同点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论．【解答】解：连接EF，A′B，CD′，则∵AB的中点为E，AA′的中点为F，∴EF∥A′B，∵A′B∥CD′，∴EF∥CD′，∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点，故选：A．【点评】本题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．已知△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），则△ABC的外接圆方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2=5 B．（x+3）2+（y+2）2=20 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=20 D．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由条件求得△ABC为直角三角形，可得它的外接圆的圆心为斜边AC的中点（3，2），半径为AC，由此求得它的外接圆的标准方程．【解答】解：由△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），可得AB⊥CB，故△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点（3，2），半径为AC=•=，故圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=5，故选：D．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．11．一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，则该几何体的体积为（）A．25π B．19π C．11π D．9π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．代入体积公式计算．【解答】解：三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．∴圆台的上底面面积S1=π×12=π，圆台的下底面面积S2=π×22=4π，圆柱的底面面积S3=π×22=4π，∴V圆台=（S1+S2+）×3=7π，V圆柱=S3×1=4π，V=V圆台+V圆柱=11π．故选C．【点评】本题考查了常见几何体的三视图及体积，是基础题．12．已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】直线的斜率．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】求出直线AC的斜率k AC=1，直线AB的斜率k AB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率k l的取值范围．【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D（2，0），∵三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），直线AC的斜率k AC==1，直线AB的斜率k AB==﹣1，∴结合图象，得：直线l的斜率k l的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，则直线l在x轴上的截距是﹣2 ；y轴上的截距是 3 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】直线l：3x﹣2y+6=0中，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．【解答】解：∵直线l的方程为3x﹣2y+6=0，∴当y=0时，解得x=﹣2，当x=0时，解得y=3，∴直线l在x轴上的截距是﹣2，y轴上的截距是3．故答案为：﹣2，3．【点评】本题考查直线方程的横截距和纵截距的求法，是基础题，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点（1，0）到它的距离为1的直线是3x+4y+2=0或3x+4y ﹣8=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．根据点（1，0）到它的距离为1，可得=1，解得m即可得出．【解答】解：设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．∵点（1，0）到它的距离为1，∴=1，解得m=2或﹣8．因此所求的直线方程为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．故答案为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角．【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连结A′B、A′C′，∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，∵A′B=BC′=A′C′，∴∠A′C′B=60°，∴异面直线AC与BC′所成的角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为x﹣26y+1=0 ．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a，b．再利用点斜式即可得出．【解答】解：设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a=﹣3，b=﹣1．∴反射光线的斜率为： =，∴反射光线的方程y﹣2=（x﹣3），化为x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O（﹣1，1），其中A（﹣2，0），B（1，1）．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），由平行四边形的性质和中点坐标公式求出C（0，2），D（﹣3，1），由此能求出该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【解答】解：设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），由已知，，解得，∴C（0，2），D（﹣3，1），∴AD所在直线方程为：，即y=﹣x﹣2．DC所在直线方程为：，即y=．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行四边形的性质和中点坐标公式的合理运用．18．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA的值，即可求得圆的标准方程．【解答】解：由已知，线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心．线段AB的斜率为：K AB==，∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2，又∵线段AB的中点为（0，﹣4），∴线段AB的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x，即2x+y+4=0．由，求得，∴圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2）∴圆C的半径r满足：r2=（2+1）2+（﹣3+2）2=10，∴圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．19．如图所示，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求证：平面AB1D1∥平面BDC1；（2）求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）在平面AB1D1找两条相交直线AB1，AD1分别平行于平面BDC1；（2）连接D1C，设D1C∩C1D=O，证明D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高，求出底面积，即可求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【解答】（1）证明：由已知，在四边形DBB1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1，故四边形DBB1D1为平行四边形，即D1B1∥DB，﹣﹣﹣﹣﹣2’∵D1B1⊄平面DBC1，∴D1B1∥平面DBC1；﹣﹣﹣﹣﹣3’同理在四边形ADC1B1中，AB1∥DC1，﹣﹣﹣﹣﹣4’同理AB1∥平面DBC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’又∵AB1∩D1B1=B1，﹣﹣﹣﹣﹣6’∴平面AB1D1∥平面BDC1．﹣﹣﹣﹣7’（2）解：连接D1C，设D1C∩C1D=O，则在正方形D1C I CD中，D1C⊥DC1，﹣﹣﹣﹣8’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面C1CDD1，所以D1C⊥B1C1，﹣﹣﹣﹣9’∵DC1∩B1C1=C1，∴D1C⊥平面AB1C1D，﹣﹣10’即D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高；由已知，在正方形DCC1D1中，边长为1，∴D1C=DC1=，∴四棱锥的高D1O=，﹣﹣﹣﹣11’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形AB1C1D为矩形，且C1D=，B1C1=1，故=1×=﹣﹣﹣﹣12’∴==﹣﹣﹣﹣14’【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查四棱锥D1﹣AB1C1D的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）存在满足条件的点P ．在梯形ACDE 内过C 作CP⊥AE，垂足为P ，则垂足P 即为满足条件的点．由已知推导出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能证明CP⊥平面ABE ．（2）连接BP ，则∠CBP 为BC 与平面ABE 所成角，由此能求出直线BC 与平面BAE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）存在满足条件的点P ．在梯形ACDE 内过C 作CP⊥AE，垂足为P ，则垂足P 即为满足条件的点．证明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC ，∴BA⊥平面ACDE ，又∵CP ⊂平面ACDE ，∴BA⊥CP．由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE ．（2）连接BP ，由（1）可知CP⊥平面ABE ，P 为垂足，∴∠CBP 为BC 与平面ABE 所成角θ．在RT△APC 中，∠PAC=60°，∠APC=90°，∴PC=ACsin60°=．在RT△BAC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∴BC===， ∴在RT△BPC 中，∠BPC=90°，BC=，PC=，即sin θ=sin∠CBP===，且0＜θ＜，∴cos θ===，故直线BC 与平面BAE 所成角的余弦值为．【点评】本题考查使得线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．【考点】直线与平面垂直的判定；余弦定理．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性、余弦定理和余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
广东省实验中学0910学年高二上学期期中考试(数学文)
广东省实验中学09-10学年高二上学期期中考试（数学文）本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页，满分为150分。
考试用120分。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分 基础检测（共100分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某影院有50排座位，每排有60个,分别编写为00，01，…59,一次报告会影院内坐满了听众.会后留下座位号为18的所有人进行座谈,这是运用了 （ ）A ．简单随机抽样B ．分层抽样C ．系统抽样D ．放回抽样 2．命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是 （ ） ....A p qB p qC pD ∨∧⌝简单命题3．从一组数据中，取出1f 个1x ，2f 个2x ，3f 个3x 组成一个样本，则这个样本的平均数是（ ） A ．1233x x x ++ B ．1233f f f ++ C ．1122333x f x f x f ++ D ．112233123f x f x f x f f f ++++ 4．关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是 （ ） A ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 B ．直方图的高表示取某数的频率C ．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值D ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 5．一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．两次中靶 B ．两次都不中靶 C ．至少有一次中靶 D ．只有一次中靶 6．某运动员第二赛季各场次得分的茎叶图如下： 0 681 22672 247993 0036 45 5那么，其中3 0036表示A ．有两场得30分，有一场得33分，有一场得36分B ．有一场得36分B ．有一场得33分，有一场得36分 D ．有三场得36分7．如果右边程序运行后输出的结果是132，那么在程序中until 后面的“条件”应为( )A ．i>11B ．i>=11C ．i<=11D ．i<118．现有五个球分别记为A,,C,J,K,S,随机放进三个盒子，每个盒子放一个球，则K 或S 在盒子中的概率是（ ） A ．35 B ．310 C ．910 D ．110二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．将十进制数83转化为二进制数是___________________ 10．|x|≤1且|y|≤1是x 2+y 2≤1的 条件. 11．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是______________。
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2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面3．下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．485．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=08．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）11．{a n}满足a n+a n+1A．B．C．6 D．512．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）A．2 B．3 C．3D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于．=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n+115．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为．三、解答题题（六小题共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．=2S n+1（n≥1）．21．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{}的前n项和+++…+．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．（1）求证：A1C∥平面AD1E；（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确．C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，正确；D．若直线的倾斜角为α，时，则直线的斜率不存在，因此不正确．故选：D．2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用线面平行的性质定理即可判断出．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b⊂α，∴a与b的位置关系是平行或异面．故选：D．3．下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线平行，平面与平面平行，直线与平面平行的判定方法和几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：对于①，分别在两个平面内的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；对于②，若两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的任何一条直线与另一个平面也无公共点，必平行于另一个平面，故正确；对于③，如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行，故错误；对于④，如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，存在两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；故正确的命题是：②④，故选：B4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120所以a1+a10=24故选B5．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选D．7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出AB的中点坐标，求出AB的中垂线的斜率，然后求出中垂线方程．【解答】解：因为A（1，3），B（﹣5，1），所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：=，所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故选B．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】PQ与直线l垂直，斜率之积等于﹣1，PQ中点在直线l上，PQ中点的坐标满足直线l的方程．【解答】解：设点P（﹣3，4）关于直线l：x+y﹣2=0对称的点Q的坐标（x，y）则PQ中点的坐标为（），利用对称的性质得：K PQ==1，且，解得：x=﹣2，y=5，∴点Q的坐标（﹣2，5），故选B．10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的平移原则，向左平移x+φ，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到x+，然后得到函数解析式．【解答】解：将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：向左平移个单位长度；得到函数y=sin（x+），横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（x+）的图象，所得到的曲线C/对应的函数解析式是y=sin（x+）．故选D．=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）11．{a n}满足a n+a n+1A．B．C．6 D．5【考点】数列递推式；数列的求和．=（n∈N且n≥1），a2=1，令n=1，可得a1+1=，解得a1．则【分析】数列{a n}满足a n+a n+1S21=a1+（a2+a3）×10．=（n∈N且n≥1），a2=1，【解答】解：∵数列{a n}满足a n+a n+1∴a1+1=，解得a1=﹣．则S21=a1+（a2+a3）×10=﹣+=．故选：A．12．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）A．2 B．3 C．3D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】把直线l化为一般式方程后，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用|a|=以及完全平方公式化简后，由基本不等式即可求出距离d的最大值．【解答】解：直线l：y=k（x﹣2）的方程化为kx﹣y﹣2k=0，所以点P（﹣1，3）到该直线的距离为d===3=3，由于≤1，所以d≤3，即距离的最大值等于3，故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据它们的斜率相等，可得=﹣1，解方程求a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，∴它们的斜率相等，∴=﹣1∴a=2故答案为：2．=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=2n+1﹣3．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n+1【考点】数列递推式．+3=2（a n+3）（n≥1），由此可知该数列的通项a n=2n+1﹣3．【分析】由题意知a n+1=2a n+3（n≥1），【解答】解：在数列{a n}中，若a1=1，a n+1∴a n+3=2（a n+3）（n≥1），+1即{a n+3}是以a1+3=4为首项，为公比的等比数列，a n+3=4•2n﹣1=2n+1，所以该数列的通项a n=2n+1﹣3．15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是三棱柱，根据三视图的数据，求出它的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱，底面是正三角形，其底边上的高为，则边长为6；由三视图可得棱柱高为4，它的体积：V=Sh=（×6×3）×4=36；故答案为36．16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要使PM的最小，只需CM最小即可，作CH⊥AB于H，连PH，根据线面垂直的性质可知PH⊥AB，PH为PM的最小值，在直角三角形PCH中求出PH即可．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，连PH，∵PC⊥面ABC，∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，而CH=2，PC=4，∴PH=2．故答案为：2三、解答题题（六小题共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）先取DE的中点P，利用N，P为中点，可以推出PN∥DC，且PN=DC，再利用四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，可以推出AM∥DC，且AM=DC，故有PN∥AM，且PN=AM，⇒四边形AMNP是平行四边形，⇒MN∥AP即可证：MN∥平面DAE；（2）先利用BC⊥平面ABE⇒AE⊥BC，再利用BF⊥平面ACE⇒AE⊥BF，可以证得AE⊥平面BCE，进而可证AE⊥BE．【解答】证明：（1）取DE的中点P，连接PA，PN，因为点N为线段CE的中点，所以PN∥DC，且PN=DC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM=DC，所以PN∥AM，且PN=AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP．而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE．（2）因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF，又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE．19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）直线AC的方程为x﹣2y+c=0，将A坐标代入求c即可；（2）求出AB长度，利用方程组求出B的坐标，从而利用两点式求直线方程．【解答】解：（1）由条件知直线AC垂直于直线2x+y﹣6=0，设直线AC的方程为x﹣2y+c=0，把A（1，﹣1）代入得c=﹣3，故直线AC的方程为x﹣2y﹣3=0，…因为AC⊥BC，所以A到直线BC的距离为AC=，…（2）由AC=得到AB=…设B（x，y），则，…解得B（2，2）或者B（4，﹣2），…所以直线AB的方程为3x﹣y﹣4=0或x+3y+2=0…20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）令f （x ）=0，求出函数的零点即可；（2）求出a +3的范围，从而求出t 的范围．【解答】解：（1）a=3时，f （x ）=4x ﹣2x +1﹣3，令4x ﹣2x +1﹣3=0，得：（2x ﹣3）（2x +1）=0，∵2x +1≠0，∴2x ﹣3=0，故函数f （x ）的零点是log 23；（2）若f （x ）有零点，则a=（2x ﹣1）2﹣1，∵2x ＞0，∴a=（2x ﹣1）2﹣1∈2，+∞）， ∴∈（0，3﹣2，1）．21．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1（n ≥1）．（1）求{a n }的通项公式；（2）等差数列{b n }的各项为正，前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求数列{}的前n 项和+++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ． 由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，（d ＞0），再利用等差数列的求和公式与“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）由a n +1=2S n +1（n ≥1）．可得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得a n +1﹣a n =2a n ，∴a n +1=3a n ，又a 2=2S 1+1=3，∴a 2=3a 1．故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n =3n ﹣1．（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ．又a 1=1，a 2=3，a 3=9．由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，或﹣10．∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，因此d=2，b 1=3，∴T n =3n +=n 2+2n ． =． ∴数列{}的前n 项和+++…+=+++…++==﹣．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．（1）求证：A1C∥平面AD1E；（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF，推导出EF∥A1C，A1C∥平面AD1E．（2）推导出AD1⊥A1D，CD⊥AD1，从而AD1⊥平面A1CD，进而平面AD1E⊥平面A1CD，作DP⊥A1C于P，得到DP⊥EF，从而DP⊥平面AD1E，由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP=，由此求出当CP=时，DP⊥平面AD1E．（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，B1到平面AD1E的距离为B1Q，由此能求出三棱锥B1﹣AD1E体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF．…因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点，又E是CD的中点，所以EF∥A1C．…因为EF⊂平面AD1E，A1C⊄平面AD1E，所以A1C∥平面AD1E．…解：（2）在对角线A1C上存在点P，且CP=，使得DP⊥平面AD1E．证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D．因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD．…因为AD1⊂平面AD1E，所以平面AD1E⊥平面A1CD．…作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF．因为DP⊂平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF，所以DP⊥平面AD1E．…由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP===．所以当CP=时，DP⊥平面AD1E．…（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，由（2）知DP⊥平面AD1E，由题意知B1Q⊥平面AD1E，故B1到平面AD1E的距离为B1Q=，…===，…∴===．…2016年11月28日。