定积分在物理学上的应用PPT课件
h
wh 0 f(x)dx.
2021
8
wh 0hkxdx
kh 2
2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
whnw1 kh2
2
n
k 2
,
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 nn1.
2021
9
二、水压力
由物理学知 道，在水 深为 h处 的压强为
ph， 这 里 是 水 的 比 重 ． 如 果 有 一 面 积 为 A
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
四、 转动惯量 (补充)
2021
1
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
连线方向．
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
2021
15
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
2a
o 2a
面积微元 2(ax)d,x
a
d ( P x 2 a ) 2 ( a x ) 1 dx x
P0 a2(x2a)a (x)dx73 a 3 .
2021
14
三、引力
由物理学知道，质量分别为m1,m2相距为 r的两个质点间的引力的大小为Fkmr1m 2 2， 其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的
的 平 板 水 平 地 放 置 在 水 深 为 h处 ， 那 么 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力 为 PpA．
如 果 平 板 垂 直 放 置 在 水 中 ， 由 于 水 深 不 同
的 点 处 压 强p不 相 等 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力
就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思 想 ．
2021
10
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一端
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,R]
取 任 一 小 区 间 [x,xd]x
小 矩 形 片 上 各 处 的 压 强 近
似 相 等px,
o
x
xdx
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
对它的作用力的大小为
F
k
q r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移
动到 r b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
2021
3
解
取r为积分变量，
q
• o
a ••r•1 •r •d•r• b r
r[a,b],
取 任 一 小 区 间 [ r ,r d ] ,功r元素
故端面所受侧压力为
P R 2 g(R x)R 2 x 2d x R
4Rg R R2x2dx 0 令xRsitn
奇函数
o xy xdx R
x
4R g2 xR 2x2R 2 2arcR xsR 0in
gR3
2021
13
例 6 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与
7
例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 次锤n击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f(x)kx ,
第一次锤击时所作的功为
w1
1
0
f(x)dx k
2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
解 建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,5]
点击图片任意处播放\暂停
o
x xdx
取 任 一 小 区 间 [x,xd],x
5
x
2021
6
这一薄层水的重力为 9.832dx
功元素为 d w 8.2 8 x d,x
o
x xdx
5
x
5
w088.2xdx
88.2
x2 2
5 0
346(2千焦)．
2021
dw
kq r2 dr,
所求功为 w
abkr2qdr
kq
1b r a
kq a1
1b.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w
akr2qdr
kq
1 r
a
kq a
.
2021
4
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
体,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图),求移动过程中气体压力所
作的功 .
解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即 p
k
V
k xS
,
故作用在活塞上的
力为
FpS k
x 功元素为 dW Fdx k d x
x
S
oaxxdx b x
所求功为 W abkxdx klnxbaklnba
2021 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
W F s.
如 果 物 体 在 运 动 的 过 程 中 所 受 的 力 是 变 化 的 ， 就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思 想 .
2021
2
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
x
2021
11
小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dP 2xR2x2dx
端 面 上 所 受 的 压 力
P0R2xR2x2dx
RR 2 x 2 d (R 2 x 2 ) 0
32
R2x2
30R
2
3
R3.
2021
12
说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为 g(Rx),
侧压力元素 dP 2g(Rx) R 2 x2d x,
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取 y为 积 分 变 量 y
l, 2
2l ,
取 任 一 小 区 间 [y,yd]y
2 ydy
yr
o
a
•
M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
2021
16
小段与质点的距离为 r a2y2,
合集下载
定积分在物理中的应用PPT精品课件
W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件
4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.
高等数学(同济第六版)课件 第六章 6.3定积分物理应用
第三节 定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
《高中定积分的应用》课件
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在物理中的应用课件
S＝∫10(t2－4t＋3)dt＋∫31（t2－4t＋3）dt＋∫43(t2－ 4t＋3)dt＝∫10(t2－4t＋3)dt－∫31(t2－4t＋3)dt＋∫43(t2－4t ＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|10－13t3－2t2＋3t|31＋13t3－2t2＋3t|43 ＝43－0－43＋634－20＝4(m)．
归纳升华 利用定积分求变力做功注意以下两个方面： (1)应将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问 题．
类型 2 利用定积分求变速直线运动的路程或位移
[典例 2] 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求质点在 t＝4s 时的位置及经过 的路程．
定积分在物理中的应用
1．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s ＝_∫__ba_v_(t_)_d_t _.
温馨提示 在求物理运动的路程时要注意：物体运动 的
解：在 t＝4s 时该质点的位移为∫40(t2－4t＋3)dt＝ 13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，
即在 t＝4s 时该质点距出发点43(m)． 又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上的速度 v(t)≥0，在区间 [1，3]上的速度 v(t)≤0. 所以在 t＝4s 时所经过的路程为
物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果 物体沿着与 F 相同的方向移动了 s m，则力 F 所做的功 为 W＝Fs；如果物体在变力 F(x)的作用下沿着与 F(x)相 同的方向从 x＝a 移动到 x＝b，则变力 F(x)做的功 W＝ _∫__ba_F_(_x_)d_x__.
定积分在物理中的应用 课件
3
0
3
所以点P在x轴正方向上距离原点 50 处．
3
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
s3＝
4 0
(8t－2t2)dt－
5 4
(8t－2t2)dt
＝(4t2－ 2 t3)| 4 －(4t2－ 2 t3)| 5 ＝26.
3
0
3
4
(4)依题意
t 4
(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－ 2 t3＝0，
y F(x)
b
F
W a F (x)dx
Oa
x
b
例2 如图1.7 - 4,在弹性限 度内 ,将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m 处,求克 服弹力所做的功.
Q
l
图1.7 4 F
解 在弹性限度内,拉伸(或
压缩)弹簧所需的力F x 与
弹簧拉伸或压缩 的长度 x
成正比,即F x = kx,其中常
(1)由v(t)=8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，t>4时，P点向
x轴负方向运动．
故t=3时，点P离开原点的路程s1=
3 0
(8t－2t2)dt=(4t2-
2 t3)| 3 =18.
3
0
(2)当t=5时，点P离开原点的位移s2=
5 (8t-2t2)dt
0
=(4t2－ 2 t3)|5 = 50 .
Q
l
数k是比例系数.
图1.7 4 F
由变力做功公式,得W =
l 0
kxdx
=
1 kx2 2
l 0
=
1 2
kl
2
J.
答:
定积分在物理中的应用 课件
0.2
500xdx
0
250x 2
|0.2
0
10(J).
所以在区间［0，1］及［3，4］上的v(t)≥0，
在区间［1，3］上，v(t)≤0．
所以在t=4 s时的路程为s=01(t2-4t+3)dt- (13t2-4t+3)dt+
(34t2-4t+3)dt
=(
t3 3
-2t2+3t)
|–10 (
-2t 3t2+3t)
3
+|(13
-2tt 32+3t)
3
=4(|m34 ).
物体产生的位移，求积分区间上的定积分W=
b
a
F(x)dx即可.
【知识拓展】如果做变速直线运动的物体的运动速度与时间的 函数关系为：v=v(t)，其在区间［a，b］上的运动路程可分 以下三种情况求解：
(1)当t∈［a，b］，v(t)≥0时，路程s= vab (t)dt，此时路程与
位移相等.
(2)当t∈［a，b］，v(t)<0时，路程s=-abv(t)dt.
【类题试解】在弹性限度内，弹簧拉长1cm要用5N的拉力，要
把弹簧拉长2dm，则拉力做的功为( )
A.0.1J
B.0.5J
C.5J
D.10J
【解析】选D. 设弹簧所受的拉力F(x)=kx，弹簧受5 N拉力的
伸长量为1 cm，由题意，得5=0.01k，得k=500，所以
F(x)=500x，依题意，得W
指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢
量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际
路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量).
定积分在物理中的应用.ppt
F(x)=W kxdx kx |0 kl J 0 2 2
l
l
1 2 答:克服弹力所作的功为 kl J 2
练习
一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同 的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),求力F(x)所作的功.
20 10
v/m/s
40
O
10 20 30 40 50 60 t/s
=
+
+
解: 由v-t图象曲线可知:
3t , vt 30, 1.5t 90,
10 40
0 t 10; 10 t 40; 40 t 60;
60
v/m/s
40 30 20 10
10 20 30 40 50 60 t/s
因此汽车在这1min行驶的路程是:
3 2 10 3 2 60 40 t |0 30t |10 t 90t |40 2 4 1350m
0 10 40
s 3tdt 30dt 1.5t 90dt O
答:汽车在这 1 min 行驶的路程是1 350 m.
W
4
0
3 2 4 F x dx 3x 4dx x 4 x |0 40J 0 2
4
练习
把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比.已知1kg的力 能使弹簧伸长1cm,问把弹簧拉长10cm要作多少功?
练习
按万有引力定律,两质点间的吸引力F
km1m2 , k为常数, 2 r
m1 , m2为两质点的质量,r为两点间距离,若两质点起始距 离为a,质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处,试求所作 之功(ｂ＞a)?