高中数学 第1章1.2.4第一课时知能优化训练 苏教版必修2

1．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是________．
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面BCC1B，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．故填平行或相交．答案：平行或相交
2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．
解析：α∥β，a⊂α，b⊂β，a与b的关系不确定，可借助正方体来判断．
答案：平行或异面
3．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为________．
解析：∵α∥β，∴α与β没有公共点．
∵a⊂α，∴a与β没有公共点．∴a∥β.
答案：a∥β
4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________．
解析：以长方体为模型观察，这条直线可能和这两个平面都平行，也可能在一个平面内，且与另一个平面平行．
答案：至少与一个平面平行
一、填空题
1．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的四个结论：
①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l⊥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中错误结论的序号是________．
解析：①依据异面直线判定定理知其正确．②l、m在α内的射影为两条相交直线，记为l′、m′，则l′∥l，m′∥m.又∵n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′.∴n⊥α.故②正确．③满足条件的l和m可能相交或异面，故错误．④依据面面平行的判定定理知其正确．答案：③
2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下面说法正确的是________(填序号)．
①有且只有一条直线与平面α的距离为d；
②所有直线与平面α的距离都等于d；
③有无数条直线与平面α的距离等于d；
④所有直线与平面α的距离都不等于d.
解析：两个平面平行，其中一个平面内的所有直线到另一个平面的距离等于这两个平面间的距离．
答案：②
3．已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个结论：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确结论的序号是________．
解析：由α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m、n异面，∴②错．
答案：①③
4．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．
解析：由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，
由面与面平行的性质知AB∥A′B′，
同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′，故两个三角形相似． 答案：相似
5．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①
⎭
⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②
⎭
⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③
⎭
⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 不共面；④
⎭
⎪⎬
⎪⎫α∥βm ∥α⇒m ∥β，其中错误的是________(填序号)． 解析：
由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于②，n 可能在平面β内．对于③，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊂平面AD 1，CC 1⊂平面CD 1，而AA 1∥C 1C ，从而A 1A 与CC 1可确定一个平面AA 1C 1C ，即AA 1、C 1C 可以共面．对于④，m 可能在平面β内．故②③④错．
答案：②③④ 6．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．
①平面ABC 必平行于α； ②平面ABC 必与α相交； ③平面ABC 必不垂直于α；
④存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内．
解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A 、B 、C 在α的同侧，则平面ABC 必平行于α；若A 、B 、C 在α的异侧，平面ABC 必与α相交且交线是△ABC 的一条中位线所在直线，排除①②③.
答案：④
7．已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和
D ，
E ，
F ，已知AB ＝6，DE DF ＝2
5
，则AC ＝________.
解析：∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝
DE
EF
. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，∴AB BC ＝23
. 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15.
答案：15
8．设平面α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，当点S 在平面α，β之间时，CS 等于________．
解析：
如图，由题意知， △ASC ∽△BSD ，
∵CD ＝34，∴SD ＝34－CS . 由AS ∶BS ＝CS ∶(34－CS )知， 8∶9＝CS ∶(34－CS )，∴CS ＝16. 答案：16
9．下列说法中，正确说法的序号是________．
①平行于同一直线的两个平面平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③平行于同一平面的两个平面平行．
解析：①不正确，如图，直线a与平面α和平面β都平行，且α∩β＝b(易知a∥b)；
②正确；③正确．
答案：②③
二、解答题
10．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：如图，连结A1C交AC1于点E，连结DE，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连结ED，
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED.
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.
又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.
求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：
如图，作MP ∥BB 1，交BC 于点P ，连结NP ，
∵MP ∥BB 1，∴
CM MB 1＝CP PB
， ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ， ∵CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB ， ∴NP ∥CD ∥AB ，
∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . 又MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解：能．如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连结A 1M ，MC ，CN ，NA 1， ∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，
∴四边形A 1MCN 是平行四边形． 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，
A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩P
B ＝P ，
∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，
因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连结MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝ 3.
∴S △A 1MN ＝1
2×22×3＝ 6.
故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。