算法设计与分析分布式部分习题解答

2. 证明在引理2.6中，一个处理器在图G中是从Pr 证明在引理2.6中 一个处理器在图G中是从Pr 可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值 变量曾被赋过值。 可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值。
解： 引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵 引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵 以pr为根的生成树。 pr为根的生成树。 两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的 两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的 每个容许执行中），不是空口讨论。方法不一，原则是有理 有据，逻辑清楚。 <1> => pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静 pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静 止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m 止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m，执行 了alg2.2第5行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也 alg2.2第 行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也 会执行。也就是被赋值。 <2> <=当第7行执行过，由于是容许执行，第5行也执行过， <=当第7行执行过，由于是容许执行，第5 即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。 即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。
6.
证明同步环上不存在匿名的、 证明同步环上不存在匿名的、一致性的 Leader选举算法 Leader选举算法。 选举算法。
解：由Lemma3.1可得。 解：由Lemma3.1可得。 假设R是大小为n>1的环（非均匀），A 假设R是大小为n>1的环（非均匀），A是其上的一 个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是 个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是 同步的且只有一种初始配置，故在R 同步的且只有一种初始配置，故在R上A只有唯一的 合法执行。 Lemma3.1： 在环R上算法A Lemma3.1： 在环R上算法A的容许执行里，对于每 轮k，所有处理器的状态在第k轮结束时是相同的。 ，所有处理器的状态在第k Note：每个处理器同时宣布自己是Leader！ Note：每个处理器复杂度为O(n)。 修改Alg2.3，使其时间复杂度为O(n)。 解：两种考虑方式： <1> 在每个处理器中维护一本地变量，同时添加一 消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N 消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N通知 其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M 其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M时 便不会向Pi转发。 便不会向Pi转发。 <2> 在消息M和<parent>中维护一发送数组，记录 在消息M <parent>中维护一发送数组，记录 已经转发过M 已经转发过M的处理器名称。 两种方式都是避免向已转发过M 两种方式都是避免向已转发过M的处理器发送消息 M，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降 ，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降 为O(n)。 O(n)。
解：考虑运行在环上的分布式算法的1 time时间复杂性和时 解：考虑运行在环上的分布式算法的1-time时间复杂性和时 间复杂性。 <1> 1-time时间复杂性： 1-time时间复杂性： 满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时 满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时 间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1 间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1-time 时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。 时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。 <2> 时间复杂度： 满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个 满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个 时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转 时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转 发轨迹可能呈链状结构，时间复杂性与环节点个数相关，为 O(n)。 O(n)。
3. 证明Alg2.3构造一颗以Pr为根的DFS树。 证明Alg2.3构造一颗以 为根的 构造一颗以Pr为根的DFS树
解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反 解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反 证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。 证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。 可以证明：在有子结点与兄弟结点未访问时，子结点总是先 加入树中。根据alg2.3 xxx步证明这一点。 加入树中。根据alg2.3 的xxx步证明这一点。
8.
若将环Rrev划分为长度为 若将环Rrev划分为长度为j（j为2的幂）的连 划分为长度为j 的幂） 续片段，则所有这些片段是次序等价的。 续片段，则所有这些片段是次序等价的。
解：。。。。
附1：“表面上，1-time复杂性至少等于时间复杂性， ：“表面上，1 time复杂性至少等于时间复杂性， 因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。 因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。 但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的 但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的 1-time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为 time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为 什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？ 什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？
4. 证明Alg2.3时间复杂度为O(m)。 证明Alg2.3时间复杂度为 时间复杂度为O(m)。
解： <1>同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息( <1>同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息(M or Parent or Reject)在传输，从算法的第6、14、16、20、 Reject)在传输，从算法的第6 14、16、20、 25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器 25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器 结点，除根结点外，所有的处理器都是收到消息后才被激 活，所以，不存在多个处理器在同一轮发送消息的情况， 所以时间复杂度与消息复杂度一致。 <2> 异步模型：在一个时刻内至多有一个消息在传输，因 此，时间复杂度也与消息复杂度一致。消息复杂度：对任 一边，可能传输的消息最多有4个，即2 一边，可能传输的消息最多有4个，即2个M，2个相应M 个相应M 的消息（Parent Reject），所以消息复杂度为O(m)。 的消息（Parent or Reject），所以消息复杂度为O(m)。 综上，该算法的时间复杂度为O(m)。 综上，该算法的时间复杂度为O(m)。
算法设计与分析 分布式部分习题解答
helibao@ 2012.1.4
1. 分析在同步和异步模型下汇集算法的复杂性。 分析在同步和异步模型下汇集算法的复杂性。
解：与广播算法分析时间复杂性的步骤一致，一两句的说明 与广播算法分析时间复杂性的步骤一致， 不是分析。 不是分析。 <1> 同步模型 引理：在汇集算法的每个容许执行里， 引理：在汇集算法的每个容许执行里，树中每个高为 t 轮里收到所有孩子的msg。 子树根结点在第 t 轮里收到所有孩子的msg。 归纳证明。。。 归纳证明。。。 定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 定理： 存在一个时间复杂度为O(d)的 同步汇集算法。 同步汇集算法。 <2> 异步模型 引理：在汇集算法的每个容许的执行里， 引理：在汇集算法的每个容许的执行里，树中每个高为 t 收到所有孩子的msg。 的子树根结点在时刻 t 收到所有孩子的msg。 归纳证明。。。 归纳证明。。。 定理： 存在一个时间复杂度为O(d)的 定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 异步汇集算法。 异步汇集算法。
例如：echo协议，即应答协议，主要用于调 例如：echo协议，即应答协议，主要用于调 试和检测中，是路由也是网络中最常用的数 据包，可以通过发送echo包知道当前的连接 据包，可以通过发送echo包知道当前的连接 节点有哪些些路径，并且通过往返时间能得 出路径长度。echo算法的实现，如果转发消 出路径长度。echo算法的实现，如果转发消 息同步进行，则对应1 time时间复杂性，为 息同步进行，则对应1-time时间复杂性，为 O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可 O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可 能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。 能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。
祝大家考试顺利
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Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间 Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间 内将询问包发送到网络上的其它节点，但却可能需 要O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。 O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。
附2：算法3.2（同步Leader选举算法） ：算法3.2（同步Leader选举算法） 为何非唤醒msg要延迟2^i 为何非唤醒msg要延迟2^i -1轮？ 如何修改算法3.2来改善时间复杂性？ 如何修改算法3.2来改善时间复杂性？ 解： <1> 降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为 降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为 Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。 Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。 <2> 方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点 方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点 不延迟，时间复杂度由O(n*2^i)降为O(N*2^i+n-N)， 不延迟，时间复杂度由O(n*2^i)降为O(N*2^i+n-N)， N为自发唤醒的节点数。 方案2：原算法延迟函数为f(id)=2^id，时间复杂度 方案2：原算法延迟函数为f(id)=2^id，时间复杂度 为O（n*2^i）。通过重新定义延迟函数来降低时 n*2^i）。通过重新定义延迟函数来降低时 间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？ 间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？ Note：思考方案2 Note：思考方案2中消息复杂度和时间复杂度的关 系！！！