三种数学思想方法教案

课题：中职常见的三种数学思想方法教学目标：1.理解数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想；2.学会用数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等三种思想解答实际数学问题。

教学重点：帮助学生树立数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。

教学难点：数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想在实际数学问题中的应用。

教学方法：讲练结合及世界大学城空间网络教学教学设计：Ⅰ.新课讲授（一）专题一：数形结合思想1．数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．角度一：利用数形结合讨论方程的解或图像交点[例1]函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3方法规律：讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解.强化训练：1．方程log3(x+2)=2x解的个数为角度二：利用数形结合解不等式或求参数问题[例2]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．方法规律：解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决。

强化训练：2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，则a 的取值范围为 ( )A．(2,3] B．[4，＋∞)C．(1,2] D．[2,4)通法领悟1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图像；(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的专题训练（二）专题二：分类讨论思想思想方法概述：1．分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．角度一：由概念、法则、公式引起的分类讨论[例1] 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点C 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32方法规律：圆锥曲线没有给定时，要讨论是哪类圆锥曲线，否则会造成漏解.本题中由于所给曲线有两个焦点，所以不必考虑抛物线. 强化练习：1．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，则m ＝________.角度二：由参数的变化而引起的分类讨论[例2] 解关于x 的不等式x 2-(a+1)x+a<0 (a ∈R )方法规律：由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；而有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论.在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的.强化练习：2．已知a>0,且a ≠1,函数f(x )=log a (1-ax),求f(x)的定义域.通法感悟1．中职数学教材中与分类讨论有关的知识点(1)绝对值概念的定义；(2)一元二次方程根的判别式与根的情况；(3)二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；(4)反比例函数y ＝k x (x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图像位置及函数单调性的关系；(5)幂函数y ＝xa 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；(6)指数函数y ＝ax 及其反函数y ＝log a x 中底数a >1及0<a <1对函数单调性的影响；(7)等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；(8)不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；(9)直线与圆锥曲线位置关系的讨论；(10)运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在．（三）专题三：转化与化归思想思想方法概述：1．转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．角度一：一般与特殊的转化[例1]已知sin x+cosx=2，则tan x＋tan-1x=()A.4B.3C.2D.1方法规律：(1)有些数学题具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化为特殊问题，有时需要把特殊问题化为一般问题.其模式是：首先假设使问题特殊(或一般)化，降低难度，然后再解这个特殊(或一般)性的问题，从而使原问题获解.(2)本例是用特殊法求解，简单、迅速，当选择题或填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只要把题中的参变量用特殊值代替，即一般化为特殊，即可得到结论.强化训练：1．等比数列{a n}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，则S5＝________.角度二：等与不等的转化[例2] 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．[思路点拨] 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．方法规律：等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效角度三：正向与逆向的转化[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 ________．[思路点拨] 至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解．[解析] 他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14 ∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P1=1－0.14=0.9999 方法规律：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中.强化训练：2．由命题“存在x ∈R ，使e |x －1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是 ( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2解析： 命题“存在x ∈R ，使e|x －1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.通法归纳领悟“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转化”等，应用时还应遵循以下四条原则：1．熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识和经验来解答问题．2．简单化原则将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．3．直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性．总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原则对我们学习数学是非常有帮助的．专题训练Ⅱ.在线测试Ⅲ.教学反思。