人教版九年级数学《实际问题与一元二次方程》(数学人教九上)
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【合作互动】
问题2 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的 小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
[解]设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91, 解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去), 答：每个支干长出9个小分支.
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【合作互动】
问题2 [变式练习]例2 元旦当天，小明将一条短信发送给了若干人，每个收到短 信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157 人，问小明给多少人发了这条短信？
【内化导行】
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问题3 1.根据题意，填空: (1)某农户的粮食产量，平均每年的增长率为10%，第一年的产量是6万kg，第二
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(352x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中 墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进 行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方 程的根的情况可得到结论.
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解:(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由
（1）知AB=35 x m,从而有x·35 x =160,方程整理为x2-35x+320=0.
2
2
此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用
35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
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【内化导行】
问题3
[变式练习]某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计， 2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数 下降的百分率是多少?
[解]设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，由 题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a， 解得x1=0.5,x2=2.5， 显然x=2.5不合题意，应舍去， 即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.
年的产量为 6.6万kg ，第三年的产量为 7.26万kg . (2)某糖厂2014年食糖产量为100万吨，如果在以后两年平均减产的百分率为x，
那么预计2015年的产量将是 100(1－x)万吨 ， 2016年的产量将是 100(1－x)2万吨 .
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【合作互动】
问题3 探究2(增长率问题) 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种 药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为 3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
【情感预热】
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问题1 探究1(传播问题) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，
每轮传染中平均1个人传染了几个人？
[解]设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有（1+x）人患了流感，第二轮 传染后共［1+x+(1+x)·x］人患流感，依题意可列方程为1+x+(1+x)·x=121 方程可整理为(1+x)2=121. ∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)， 答：故平均一个人传染了10个人.
畅言教育
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次 方程（第2课时）
本课时编写：襄阳市第41中学 李刚
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【情感预热】
问题1 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与 整个封面长、宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度(结果保留小数点后一位)？
[答案]设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40， 解得x1=1,x2=-11/2(不合题意应舍去)， 即花边的宽度为1m.
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问题2 例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面 上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块 台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺） [分析]设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）
[思考](1)本题中有哪些数量关系？ (2)如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”？ (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
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问题1 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与
整个封面长、宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面
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问题3 例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围 成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽； （2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ （3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
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【内化导行】
课堂小结： （1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？本节课还有
哪些疑惑？说一说！ 教师强调增长率(或下降率)问题公式：a(1±x)n＝b.
【内化导行】
（2）知识网络：
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布置作业： 教材P22 习题21.3第7题；教材第26页复习题21第10题。
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问题3 例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围 成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽； （2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ （3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD= 35 x，依题意可列方程为x·35 x =150,
[追问]照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？
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问题1 [变式练习1]某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有 169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
[变式练习2]某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后 就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几 台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽
度(结果保留小数点后一位)？
[分析]封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是 9∶7． [解]设上、下边村的宽均为9xcm，左、右边村的宽均为7xcm,则中央的矩形长
为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm，依题意得，
[思考] （1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？
它与年平均下降率是否是一回事？ （2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 5000(1-x) 元，
第二年后的成本为 5000(1-x)2 元，你能列出相应的方程并求出x的值吗？对于 乙种药品呢？
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2
2
解这个方程，得x1=20,x2=15.
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方
形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
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问题3 例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围 成，且竹篱笆总长为35m.
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问题3 探究2(增长率问题) 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种
药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为
3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
[解]设甲种药品成本的年平均下降率为x，依题意得， 5000（1-x）2=3000 解得，x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）. ∴甲药品成本的年平均下降率为22.5%. 设乙种药品成本的年平均下降率为y，依题意得， 6000（1-y）2=3600 解得，y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）. ∴乙药品成本的年平均下降率为22.5%. 答：两种药品成本的年平均下降率相同，一样大.
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次 方程（第1课时）
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问题1 探究1(传播问题) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，
每轮传染中平均1个人传染了几个人？
分析：
（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有 1+x 人患了流感； （2）第二轮传染后，被传染的人数为 (1+x)·x 人，故第二轮传染后共[1+x+(1+x)·x] 人患了流感.
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问题2 [变式练习]有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一 个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要 制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程 PPT课件
谢谢！
已知两轮过后患流感人数为:
121 +121×10 =1331 第三轮新增感染人数
应用1: 某种电脑病毒传播非常 快, 如果一台电脑被感染, 经过 两轮感染后就会有81台电脑被 感染．请你用学过的知识分析,
每轮感染中平均一台电脑会感染 几台电脑? 若病毒得不到有效控 制, 3轮感染后, 被感染的电脑会 不会超过700台?
解：设平均一台电脑会感染x台电脑.
列方程 1 x x1 x 81
整理，得 x+12 81
直接开平方，得 x+1 9
所以
x1 8
x 2
-10（舍去）
81+81×8=729（人）
答：平均一台电脑会感染8台电脑，
3轮过后感染的电脑会超过700台。
应用2: 某种植物的主干长出若干数目的
支干,每个支干又长出同样数目的小分支,
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人
第一轮的传染源—— 1人 第一轮新增患病人数 X人
第二轮的传染源（第一轮后患病人数） (X+1)人
第二轮新增患病人数 x(X+1)人
第二轮后患病人数
(X+1) +x(X+1)人=121
主干,支干和小分支的总数是91,每个支
干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支。
列方程 得1+x+x2=91
化为一般形式
x2 x 90 0
…… ……
小 分
小 分
……
实际问题与一元二次方程-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=1202．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=120003．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．244．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=9305．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=50006．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=120【答案】D【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．2．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000【答案】D【解析】由题意可得：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，确定问题的等量关系是解题关键. 3．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．24【答案】A【解析】（x−3）（x−4）=0，x−3=0或x−4=0，所以x1=3，x2=4，∵菱形ABCD的一条对角线长为6，∴边AB的长是4，∴菱形ABCD的周长为16．4．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=930【答案】D【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x−1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.5．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000【答案】A【解析】设教育经费的年平均增长率为x，则2017的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）万元，2018的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．故选A．【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．6．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．【答案】（x＋1）2＝2【解析】设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：整理得：故答案为：8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．【答案】2【解析】设人行道的宽度为x米，根据题意得，（36−3x）（24−2x）=600，化简整理得，（12−x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是2 m．故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600 m2得出等式9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．【答案】100（1−m）2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【答案】（1）（40−x），（20+2x）；(2)20【解析】（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.故答案为：(40−x)，.（2）由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=10 ，x2=20 ,为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.答：如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元.11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【答案】（1）；；（2）【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）利用长方形的面积减去四个正方形的面积，列出代数式；（2）根据剩余部分与减去部分面积间的关系，列出一元二次方程．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．【答案】（1）田丰每次价格下调的百分率是20%；（2）小李选择方案一购买更优惠．【解析】（1）设田丰每次价格下调的百分率为x．由题意得：15（1−x）2=9.6．解这个方程，得：x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：田丰每次价格下调的百分率是20%．（2）小李选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000−400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小李选择方案一购买更优惠．。
最新人教版数学九年级上册第二十一章3 实际问题与一元二次方程 (第2课时)
21.3 实际问题与一元二次方程/
1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜
产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜
产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ A ）
A．80（1+x）2=100
B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100
D．80（1+x2）=100
链接中考
21.3 实际问题与一元二次方程/
2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．
据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．
预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估
计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均
增长率约为（ C ）
A．2%
B．4.4%
C．20%
知识点
有关增长/下降率的问题
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药
品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种
药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪
种药品成本的年平均下降率较大?
【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间
有何数量关系？
探究新知
D．44%
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程/
基础巩固题
1.某厂今年一月的总产量为500பைடு நூலகம்,三月的总产量为720
吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
人教版九年级数学上册实际问题与一元二次方程
量平均每年须降低的百分率是
．
（2）若明年年底要将图书增加到7.
5(1+x)(1+x) 1400（1-x)2=12600.
完成任务，求原计划每天打多少口井？
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；
【解析】设原计划每天打x口井，由题意可列方程 5000（1－x）2=3000
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
平均一个人传染了____个人．
5(1+x)(1+x)
若设每年的平均增长率为x
解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
学校图书馆去年年底图书馆有藏书5万册，为了扩大同学们的阅读量，准备购买新图书
=(1+10)+10(1+10)+10×10(1+10)
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均 下降率．
跟踪训练
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有 一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小 岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰 好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡 航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行， 欲将一批物品送达军舰． (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍， 军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E 处， 那么相遇时补给船航行了多少海 里?（结果精确到0.1海里）
5000（1－x）
2=3000
解方程，得: x1≈0.225，x2≈1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率 约为22.5％
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程优秀教学案例
4.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
（四）总结归纳
1.让学生汇报各自小组的讨论成果，总结一元二次方程解决实际问题的方法；
2.教师引导学生归纳一元二次方程的解法及其应用，强调重点和难点；
3.结合学生的讨论，总结解决实际问题的策略和技巧；
4.培养学生自主探究、动手实践的能力，使其能在实际问题中灵活运用一元二次方程的解法。
（三）情感态度与价值观
1.让学生体验数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣和信心；
2.通过解决实际问题，让学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生的数学应用意识；
3.培养学生勇于探索、积极动脑思考的良好学习习惯，增强学生的自主学习能力；
3.通过设置悬念，引发学生的好奇心，激发学生积极探索的欲望；
4.结合学生的认知水平，创设适宜难度的情境，使学生能顺利地进入学习状态。
（二）问题导向
1.引导学生分析问题，明确已知条件和所求目标，培养学生的问题解决能力；
2.鼓励学生提出假设，引导学生运用一元二次方程进行验证，培养学生的推理能力；
3.设计具有挑战性的问题，激发学生的思维，使学生在解决问题的过程中不断提高；
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够相互交流、分享解题思路，培养团队合作精神和沟通能力。这种学习方式不仅提高了学生的学习效果，还使他们能够从同伴那里获得不同的观点和解决问题的方法。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本案例以购物场景为背景，让学生在熟悉的环境中感受数学与生活的紧密联系。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使他们能够更容易地理解一元二次方程在实际问题中的应用，从而提高了教学的实效性。
人教版 九年级数学上册21.3.3实际问题与一元二次方程
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[（50+x) — 40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其 销售量会减少10 x个，故销售量为（500 —10 x）个，根据每 件商品的利润×件数=8000，则应用（500 —10 x）· [（50+x) —40]=8000
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20
从刹车到停车每秒平均车速减少值是：20÷2.5=8（m/s）
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x） m/s,则这段路程内的平均车速为〔20+(20-8x)〕÷2=（20-4x） m/s, 所以x（20-4x）=15
整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得x= x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到15m若售价为60元，则进货 量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个。
跟踪练习：
1．一个小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀 减速，滚动10m后小球停下来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
九年级上册第21章
21.3.3 实际问题与一元二次方程
复习旧知：
1、一元二次方程的解法有哪些？ 2、列一元二次方程解应用题的步骤？
思考并回答： 路程、速度和时间三者的关系是什么？ 路程＝速度×时间 下面我们要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来
建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．
解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为 （500 —10 x）个，则（500 —10 x）· [（50+x) —40]=8000， 整理得：x2-40x+300=0
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
1 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的 知2－练 价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出 此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不 少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种 商品多少件？
知2－讲
解：设平均一个人传染了x个人．则 第一轮后共有（1+x）个人患了流感， 第二轮后共有[1+x+x(1+x) ]个人患 了流感.
依据题意得：1+x+x(1+x)=121.
解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.
平均一个人传染了10个人
感悟新知
知2－练
1 早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患
(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际 意义.
(2)设未知数可直接设元，也可间接设元.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 列一元二次方程 解营销问题
学习目标
1 课时讲解 营销利润问题
营销策划问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活 中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二 次方程解决与营销有关的问题.
感悟新知
知识点 1 营销利润问题
知1－练
例 1 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元， 生产 1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的 进步，现在生产1 t甲种药品的成本是 3 000元， 生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成 本的年平均下降率较大?
人教版初中九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》精品课件
新知探究
知识点
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中 平均一个人传染了几个人？
第1轮 1
第2轮
小明
•••
第1轮传染后人数x+1
2
x
小明
第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1
新知探究
知识点
根据示意图，列表如下：
传染源人数 第1轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
第2轮传染后的人数 1+x+x(1+x)=(1+x)2
(1+x)n
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
新知探究 跟踪训练
有一株月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的 小分支，主干、支干、小分支的总数是 73，设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意可列方程为( B )
A.1+x+x(1+x)=73 C.1+x2 =73
B.1+x+x2=73 D.(1+x)2=73
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数
(1+x)1
(1+x)2
பைடு நூலகம்
第三轮传染后的人数 (1+x)3
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1 331.
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是： 121(1+x)=121(1+10)=1 331.
学习目标 1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程. 2.正确分析问题中的数量关系. 3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。